Đặc trưng euler trong toán học

Đặc trưng EulerBách khoa toàn thư mở Wikipedia Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, đặc trưng Euler hoặc đặc trưng Euler-Poincaré là một topo bất biến, m

Đặc trưng Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, đặc trưng Euler (hoặc đặc

trưng Euler-Poincaré) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình dạng hoặc cấu trúc của

một không gian tôpô không phụ thuộc vào cách nó được uốn cong Nó thường được ký hiệu là

Đặc trưng Euler (S) của một mặt phẳng S được chia làm các tam giác là số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác

Định lý: Đặc trưng Euler theo 2 phép phân chia tam giac của cùng 1 mặt phẳng là bằng nhau

Các đặc trưng Euler đã được xác định cho các khối đa diện và được sử dụng để chứng minh định lý khác nhau về chúng, bao gồm cả việc phân loại các khối Platon Leonhard Euler, tên của ông đặt cho khái niệm này, đã có các công trình nghiên cứu đầu tiên về đặc trưng này Trong toán học hiện đại, đặc trưng Euler xuất hiện từ phép đồng đều và liên hệ với nhiều bất biến khác

Mục lục

[ẩn]

1

Khối đa diện

1.1

Đồ thị phẳng

1.2

Chứng minh công thức Euler

2

Định nghĩa tô pô học

3

Tính chất

3.1

Bất biến đồng luân

3.2

Nguyên tắc hợp và loại trừ

3.3

Tính chất tích

3.4

Không gian phủ

3.5

Tính chất sự phân thớ

4

Quan hệ với các bất biến

5

Ví dụ

5.1

Ví dụ quả banh

6

Khái quát hóa

7

Chú thích

8

Xem thêm

9

Đọc thêm

Liên kết ngoài

Khối đa diện [ sửa | sửa mã nguồn ]

Đặc trưng Euler được định nghĩa cổ điển cho các khối đa diện lồi, theo công thức

Kết quả này được gọi là công thức đa diện Euler hoặc định lý đa diện Euler Đặc trưng Euler cho

hình cầu (tức χ = 2), và áp dụng giống với khối đa diện hình cầu Minh họa cho công thức trên một

số khối đa diện được đưa ra dưới đây

Trong đó V, E và F tương ứng là số đỉnh (góc), các cạnh và mặt trong đa diện nhất định Bất kỳ bề mặt đa diện lồi của Euler có đặc trưng

V

Cạnh

E

Mặt

F

Đặc trưng Euler:

V − E + F

Bề mặt của khối đa diện không lồi có thể có những đặc trưng Euler khác nhau;

V

Cạnh

E

Mặt

F

Đặc trung Euler:

V − E + F

Tetrahemihexahedron 6 12 7 1

Đối với các khối đa diện bình thường, Arthur Cayley thu được một dạng biến đổi của công thức Euler bằng cách sử dụng mật độ của khối đa diện D, số đỉnh và mặt :

Phiên bản này giữ cho cả hai khối đa diện lồi (nơi mật độ là tất cả 1), và không lồi đa diện Kepler-Poinsot:

Tất cả các Đa diện xạ ảnh đều có đặc trưng Euler bằng 1, tương ứng với mặt phẳng xạ ảnh thực, trong khi khối đa diện hình xuyến đều có đặc trưng Euler bằng 0, tương ứng với hình xuyến

Đồ thị phẳng [ sửa | sửa mã nguồn ]

Xem thêm: Đồ thị phẳng#Công thức Euler cho đồ thị phẳng

Các đặc trưng Euler có thể được xác định cho đồ thị phẳng liên thông bằng cách cùng công thức như cho các bề mặt đa diện, nơi F là số lượng mặt trong đồ thị, bao gồm cả

các mặt bên ngoài

Đặc trưng Euler của bất kỳ đồ thị phẳng liên thông G là 2 Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng trực quan về số lượng k mặt được xác định bởi G, bắt đầu với một cây như trường hợp cơ sở Đối với cây, E = V-1 và F = 1 Nếu G có thành phần bù C, cùng tranh luận bằng trực quan trên F cho thấy rằng Một trong số ít các lý thuyết đồ thị của Cauchy cũng chứng minh kết quả này

Chứng minh công thức Euler [ sửa | sửa mã nguồn ]

Các bước chứng minh cho hình lập phương.

Có nhiều cách chứng minh cho công thức Euler Trong số đó do Cauchy đưa ra vào năm 1811, như sau: Chúng minh áp dụng cho bất kỳ đa diện lồi, và nói chung cho bất kỳ đa diện có biên tương đương hình học với một mặt cầu và các mặt đa diện có tương đương tô pô với đĩa phẳng

Xóa một mặt của bề mặt đa diện Bằng cách kéo các cạnh của mặt mất tích xa nhau, biến dạng tất

cả các phần còn lại thành một đồ thị phẳng của các điểm và các đường cong, được minh họa bằng hình đầu tiên của ba đồ thị cho các trường hợp đặc biệt của khối lập phương (Giả sử rằng bề mặt

đa diện đồng phôi với mặt cầu ngay từ đầu.Sau khi biến dạng này, những mặt chính tắc nói chung

là không chính tắc nữa Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ, nhưng số lượng các mặt đã được giảm 1 Do

đó, chứng minh công thức Euler cho đa diện giảm để chứng minh cho này bị biến dạng, đối tượng phẳng

Nếu có một mặt với hơn ba bên, vẽ một đường chéo-có nghĩa là, một đường cong qua mặt kết nối hai đỉnh mà chưa được kết nối Này cho biết thêm một cạnh và một mặt và không thay đổi số đỉnh,

do đó, nó không thay đổi số lượng (Giả định rằng tất cả các mặt đĩa cần thiết ở đây,

để hiển thị thông qua định lý đường cong Jordanrằng hoạt động này làm tăng số lượng mặt lên một.) Tiếp tục bổ sung các cạnh theo cách này cho đến khi tất cả các mặt có hình tam giác

Áp dụng nhiều lần một trong hai biến đổi sau đây, duy trì bất biến mà ranh giới bên ngoài luôn luôn

là một chu kỳ đơn giản:

Xóa một hình tam giác với một cạnh tiếp giáp với bên ngoài, được minh họa bằng đồ thị thứ hai Điều này làm giảm số cạnh và mặt của mỗi khối và không làm thay đổi số đỉnh, vì vậy nó bảo

Xóa một hình tam giác với hai cạnh chia bởi các bên ngoài của mạng, được minh họa bằng đồ thị thứ ba Mỗi tam giác bị xoá tức là bỏ đi một đỉnh, hai cạnh và một mặt, vì vậy nó bảo

Những biến đổi cuối cùng giảm đồ thị hai chiều để một hình tam giác đơn (Nếu không có sự đơn giản chu kỳ bất biến, loại bỏ một hình tam giác có thể ngắt kết nối hình tam giác còn lại, vô hiệu các phần còn lại của các đối số một để loại bỏ hợp lệ là một ví dụ cơ bản của một bắn phá )

Tại thời điểm này hình tam giác đơn độc có V = 3, E = 3, và F = 1, do đó Kể từ khi một trong hai bước chuyển đổi trên bảo quản số lượng này, chúng tôi đã cho

thấy cho biến dạng, đối tượng phẳng như vậy, thể hiện

cho đa diện Điều này chứng minh định lý

Để chứng minh thêm, xem Twenty Proofs of Euler's Formula của David Eppstein Nhiều bằng

chứng, trong đó có sai sót và hạn chế của họ, được sử dụng như ví dụ trongProofs and

Refutations của Imre Lakatos.[1]

Định nghĩa tô pô học [ sửa | sửa mã nguồn ]

Các bề mặt đa diện được thảo luận ở trên, trong ngôn ngữ hiện đại, hai chiều hữu hạn CW-phức (Chỉ khi những mặt tam giác được sử dụng, chúng là đơn hình phức hữu hạn hai chiều phức.) Nói

chung, đối với bất kỳ CW-phức hữu hạn, đặc trưng Euler có thể được định nghĩa là tổng luân phiên

với k n là số ô của n chiều trong

Tương tự, đối với một đơn hình phức, đặc trưng Euler bằng tổng luân phiên

với k n là số n-đơn trong phức.

Hơn nữa nói chung, với bất kỳ không gian topo, chúng ta có thể xác định số Betti thứ n b n như cấp bậc của các nhóm đồng điều đơn lẻ thứ n Các đặc trưng Euler có thể được định nghĩa là tổng

luân phiên

Số này được định nghĩa tốt nếu các con số Betti là tất cả hữu hạn và nếu chúng không vượt quá

một chỉ số nhất định index n0 Với đơn hình phức, đây không phải là định nghĩa giống như ở đoạn trên nhưng là một tính toán tương đồng cho thấy rằng hai định nghĩa sẽ cho cùng giá trị

Tính chất [ sửa | sửa mã nguồn ]

Đặc trưng Euler của bất kỳ đa tạp đóng chiều lẻ là 0.[2] Trường hợp cho các ví dụ định hướng là hệ quả của Tính đối ngẫu Poincaré tính chất này được áp dụng nói chung cho bất kỳ Không gian Compắcđược phân tầng tất cả các lớp có số chiều lẻ Hơn nữa, đặc trưng Euler thường được dùng tốt đối với nhiều phép tính cơ bản trên không gian topo, như sau

Bất biến đồng luân [ sửa | sửa mã nguồn ]

Bởi vì tính tương đồng là một bất biến topo (trong thực tế, một bất biến đồng luân — hai không gian tôpô đó là tương đương đồng luân có các nhóm tương đồng đẳng cấu), nên đó là đặc trưng Euler

Ví dụ, bất kỳ đa diện lồi đồng phôi với quả cầu trong không gian ba chiều, do đó bề mặt của nó là đồng phôi (do đó tương đương đồng luân) để các quả cầu hai chiều, có Đặc trưng Euler là 2 Điều này giải thích lý do tại sao các khối đa diện lồi có đặc trưng Euler là 2

Nguyên tắc hợp và loại trừ [ sửa | sửa mã nguồn ]

Nếu M và N là 2 không gian topo bất kì, Ta có đặc trưngn Euler của hội rời là tổng của các đặc trưng Euler của chúng, do đó tính tương đồng là cộng dưới 2 hội rời:

Nói một cách tổng quát hơn, nếu M và N là không gian con của X, thì ta có hội và giao của chúng

Trong một vài trường hợp, Đặc trưng Euler tuân theo một nguyên tắc hợp và loại trừ:

Điều này đúng trong các trường hợp dưới đây:

Nếu M và N là một cặp loại trừ Đặc biệt, nếu phần trong của M và N ở trong hội vẫn phủ các hội.[3]

Nếu X là một không gian compắc địa phương, và nó dùng đặc trưng Euler với những hỗ

trợcompắc, không có giả thuyết nào trên M hoặc N là cần thiết.

Nếu X là một không gian phân tầng tất cả các tầng của X đều là không gian, Nguyên tắc hợp và loại trừ dùng nếu M và N là hội của các phân tầng Điều này áp dung trong trường hợp cụ thể

nếu M và N là 1 dạng đại số phức.[4]

Nói chung, nguyên tắc hợp và loại trừ là sai Một phản ví dụ được đưa ra bằng cách cho X là đường thẳng thực, M a tập con bao gồm 1 điểm và N là phần bù của M.

Tính chất tích [ sửa | sửa mã nguồn ]

Như vậy, đặc trưng Euler của bất kỳ không gian tích M × N là

Những tính chât cộng và nhân được cảm sinh bởi lực lượngcủa các tập hợp Bằng cách này, đặc trưng Euler co thể được xem như 1 sự khái quát hóa (của) lực lượng; tham khảo [1]

Không gian phủ [ sửa | sửa mã nguồn ]

Xem thêm về nội dung này tại Công thức Riemann–Hurwitz

Tương tự, Cho một không gian phủ có k-phủ có

Tổng quát hơn, cho một không gian phủ bị rẽ nhánh, đặc trưng Euler của phủ có thể được tính toán như trên, với một hệ số hiệu chính cho những điểm rẽ nhánh, nó sinh racông thức Riemann–

Hurwitz

Tính chất sự phân thớ [ sửa | sửa mã nguồn ]

(Bản mẫu:Fibration property)

Tính chất tích dùng rộng hơn, cho sự phân thớ với điều kiện nhất định

Nếu là một sự phân thớ (fibration) với sợi(fiber) F, với cơ sở B liên thông đường, và sự

phân thớ là định hướng trong một trường K, ta có các đặc trưng Euler với các hệ số trong

trường K đáp ứng các tính chất tích:[5]

Điều này bao gồm những không gian tích và những không gian phủ như các trường hợp đặc biệt,

và có thể được chứng minh bằng dãy phổ Serre trên sự tương hợp (của) một sự phân thớ

Đối với các chùm sợi(fiber bundles), tnó co thể được hiểu dưới dạng của một ánh xạ

truyền – chú ý rằng đây là 1 đường nâng lên và đi "the wrong way" –

Quả cầu 2

Hình xuyến

Chai Klein

Hai quả cầu (không liên thông)

Ba quả cầu (không liên thông)

thành phần của nó với các phép chiếu là phép nhân bởi các lớp

Euler của sợi:[6]

Quan hệ với các bất biến [ sửa | sửa mã nguồn ]

Đặc trưng Euler của một mặt định hướng đóng có thể được tính theo giống g (số hình mặt

xuyến trong 1 tổng liên thông phân tích của một bề mặt; bằng trực quan)

Đặc trưng Euler của một mặt không được định hướng đóng có thể được tính theo giống không định

hướng k (số mặt phẳng chiếu thực trong 1 tổng liên thông phân tích của một bề mặt)

Với các đa tạp trơn kín, Đặc trưng Euler trùng với số Euler, nghĩa là.,lớp Euler của họ tiếp

tuyến được đánh giá trên các lớp cơ bản của một đa tạp Lớp Euler, lần lượt, liên quan đến tất cả các lớp đặc trưng khác của họ vector

Với các đa tạp Riemannian, Đặc trưng Euler cũng có thể đươc tìm bởi bằng cách lấy tích phân đường cong; xem Định lý Gauss– Bonnet trong trường hợp 2 chiều và Định lý tổng quát Gauss– Bonnet trường hợp tổng quát

Một dạng rời rac tương tự của Định lý Gauss– Bonnet là định lý Descartes': "tổng góc khuyết" của một đa diện, được đo trong vòng tròn đầy đủ, là đặc trưng Euler của khối đa diện

Định lý Hadwiger's biểu thị đặc trưng Euler là duy nhất (lên đến tích vô hướng phép tịnh tiến-bất biến, phép cộng hữu hạn, tập hàm không cần thiết-không âm được xác định dựa vào hội hữu hạn của các tập không gian compact lồi trong Rn đó là "bậc thuần nhất 0"

Ví dụ [ sửa | sửa mã nguồn ]

Đặc trưng Euler có thể được tính dễ dàng cho các bề mặt tổng quát bằng cách tìm một đa giác (polygonization) của bề mặt (nghĩa là, một mô tả như một CW-phức) và sử dụng các định nghĩa trên

Bất kỳ không gian co (tức là, nó tương đương đồng luân với 1 điểm) có tương đồng tầm thường, nghĩa là số Betti thứ 0 là 1 và những số khác là 0 Tóm lại, Đặc trưng Euler của nó là 1 Trường hợp này bao gồm không gian Euclid của bất kỳ chiều nào, cũng như quả cầu đơn vị đặc trong bất kì không gian Euclide — 1 chiều - khoảng, 2 chiều - đĩa, 3 chiều - quả cầu,

Quả cầu n chiều có số Betti là 1 trong chiều 0 và n, và tất cả các số Betti khác là 0 Suy ra Đặc trưng

Euler của nó là — tức là,hoặc 0 hoặc 2

Không gian chiếu thực n chiều là thương của n quả cầu bởi ánh xạ ngược Suy ra rằng đặc trưng

Euler của nó chính xác một nửa đã tương ứng của các quả cầu - Hoặc là 0 hoặc 1

Hình xuyến n chiều là tích 2 không gian của n vòng tròn đặc trưng Euler của nó là 2 bởi tính chất

tích

Ví dụ quả banh [ sửa | sửa mã nguồn ]

Có bao nhiêu ngũ giác và hình lục giác tạo nên một quả bóng đá? Giả sử chúng ta sử dụng hình lục giác và ngũ giác ; Suy ra ta có mặt mỗi hình ngũ giác (hình lục giác) có 5

đỉnh (6 đỉnh), và mỗi đỉnh có 3 mặt chung, suy ra ta có đỉnh Tương tự, mỗi ngủ giác (lục giác) có 5 cạnh (6 cạnh), và mỗi cạnh có 2 mặt chung, suy ra ta

có cạnh Vì thế Đặc trưng Euler

là

Bởi vì quả cầu có đặc trưng Euler 2, nen ta có Kết quả là chúng tôi luôn luôn cần 12 ngũ giác trên một quả banh / bóng đá, số lượng hình lục giác về nguyên tắc không bị giới hạn (nhưng đối với một quả banh / bóng đá thực sự rõ ràng là một lựa chọn một số để làm cho bóng càng tròn càng tốt) Kết quả này cũng được áp dụng cho fullerenes

Khái quát hóa [ sửa | sửa mã nguồn ]

Với mỗi tổ hợp ô phức, nó định nghĩa đặc trưng Euler là số 0, trừ đi số 1, cộng với số lượng ô-2, , nếu tổng xen kẽ này là hữu hạn Cụ thể là, các đặc trưng Euler của một tập hợp hữu hạn chỉ đơn giản là số lượng của nó, và các đặc trưng Euler của một đồ thị là số lượng các các đỉnh trừ đi

số của các cạnh.[7]

Tổng quát hơn, nó có thể định nghĩa đặc trưng Euler của bất kỳ chuỗi phức là tổng luân phiên các bậc của các nhóm tương đồng của các chuỗi phức

1 phien bản được sử dụng trong hình hoc đại số là như sau với bất kì họ trên sơ đồ chiếu

xuống X, định nghĩa là đặc trưng Euler của nó

tại là chiều thứ i nhóm họ đối đồng điều(sheaf cohomology) của

Một khái quát khác về khái niệm Đặc trưng Euler trên đa tạp xuất phát từ quỹ đạo đa tạp Trong khi mỗi ống có một số đặc trưng Euler nguyên, một quỹ đạo đa tạp có thể có một đặc trưng Euler phân

đoạn Ví dụ, giọt nước mắt quỹ đạo đa tạp có đặc trưng Euler 1 + 1/p, với p là một số nguyên tố tương ứng với các góc hình nón 2π / p.

Khái niệm Đặc trưng Euler của một poset hữu hạn bị chặn là một sự tổng quát, quan trọng trong tổ hợp Một poset được "bao bọc" nếu nó có các yếu tố nhỏ nhất và lớn nhất, gọi chúng là 0 và 1 Đặc trưng Euler của một poset như được định nghĩa là số nguyên μ(0,1), trong đó μ là hàm Mobius về tỷ

lệ đại số đó là poset

Điều này có thể được tiếp tục tổng quát bằng cách định nghĩa một Q-giá trị đặc trưng Euler cho các loại() hữu hạn nhất định, một khái niệm tương thích với của đồ thị của các đặc trưng Euler, quỹ đạo đa tạp và posets đề cập ở trên Trónghoan2 cảnh này, các đặc trưng Euler của một nhóm hữu hạn hoặc nửa nhóm G là 1/|G|, và các đặc trưng Euler của một phỏng nhóm(groupoid) hữu hạn là

tổng của 1/|G i |, nơi mà chúng tôi đã chọn một nhóm đại diện G i cho mỗi thành phần liên thông của phỏng nhóm.[8]

Phi hàm Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bài viết hoặc đoạn này cần thêm chú thích nguồn gốc để có thể kiểm chứng thông tin

Những nội dung không có nguồn có thể bị đặt vấn đề và xóa bỏ Mời bạn bổ sung chú thích từ các nguồn đáng tin cậy để giúp cải thiện bài viết.

1000 giá trị đầu tiên của

Trong lý thuyết số, hàm số Euler ký hiệu bởi của một số nguyên dương n được định nghĩa là

số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n

Chẳng hạn, vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9

Hàm số trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient"