Sai lầm trong toán học

NGUYỄN VĂN XÊ GV. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ************ MỘT SỐ SAI LẦM PHỔ BIẾN KHI GIẢI TOÁN ( Dùng cho học sinh cấp II & III ) Các em học sinh thân mến ! Khi giải bài tập toán các em thường mắc những sai lầm đáng tiếc.Để giúp các em biết cách né tránh những sai lầm đó , thầy giới thiệu các em một số bài toán mà học sinh thường gặp sau đây. Chúc các em học môn toán có hiệu qủa cao. Khi có điều gì thắc mắc liên hệ : Lớp TOÁN Nguyễn Văn Xê ĐT: 0511.719098 – 0905333264 ( Tài liệu thân tặng các em học sinh cấp II & III ) 1. Đối với các em học sinh lớp 6: Đề bài:Tính M = 25 – 15. 1719.3 19.218 + + Lời giải sai: M = 10. 173 218 + + = 10. 20 20 = 10. 1 = 10 Sai ở đâu: Các em phải thực hiện nhân chia trước, cộng trừ sau, không thể lấy 25 – 15 Không được rút gọn số 19 của tử số với số 19 của mẩu số Sửa lại là: M = 25 – 15. 1757 3818 + + = 25 – 15. 74 56 = 25 – 74 56.15 = 25 – 74 840 = 74 84074.25 − = 74 1010 = 37 505 2. Đối với các em học sinh lớp 7: Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy M, trên tia đối CA lấy N sao cho CN = BM, MN cắt BC tại H. vẽ tia Mx song song với AC cắt BC tại E. Chứng minh EH = CH. x E H N M C B A Lời giải sai: Ta có: EBM ˆ = BCA ˆ ( Vì tam giác ABC cân) Mà BCA ˆ = BEM ˆ ( Hai góc đồng vị ) Nên EBM ˆ = BEM ˆ Do đó tam giác MBE cân tại M Do đó: I = ∫ 1 1 2 u udu = ∫ 1 1 2 1 duu = 0 Các em thấy bài toán đơn giản tưởng là đúng, nhưng sai rồi các em ạ! Vì hàm u = ( x + 1) 2 không phải là hàm số đơn điệu trên [ ] 0;2 − nên không thể đổi biến, đổi cận như trên được. Lời giải đúng là: I = ∫ ∫ − − − + =++=+ 0 2 0 2 3 22 2 0 3 )1( )1()1()1( x xdxdxx = 3 2 3 1 3 1 = − − Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 3 2 + + x x Lời giải sai: Tập xác định D = R Ta có y’ = 2 3 2 )1( 13 + +− x x y’ = 0 khi x = 3 1 10 0 1 3 - ∞ + ∞ - + - ∞ - ∞ y y' x Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất y max = 10 tại x = 3 1 Và không có giá trị nhỏ nhất ! Các em thường mắc sai lầm là lim f(x) = - ∞ x → - ∞ nhưng lim f(x) = - 1 và lim f(x) = 1 x −∞→ x +∞→ Vậy hàm số đạt y max = 10 và y min = - 1 Các em thấy khi giải toán chúng ta dễ mắc những sai lầm đáng tiếc.Vì không có điều kiện nên thầy chỉ nêu một ít. Khi nào có dịp thầy sẽ trình bày nhiều hơn. Chúc các em thành công. - Nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất x = 22 2 ba ba + + ; y = 22 2 ba ba + − - Nếu a = 0 và b = 0 thì hệ vô nghiệm. Vậy không có giá trị a, b nào để hệ có vô số nghiệm. 6. Đối với các em học sinh lớp 11: Đề bài: Giải phương trình )43(log2log 2 2 2 += xx ( 1 ) Lời giải sai: Điều kiện    >+ > 043 0 2 x x ⇔      −> ≠ 3 4 0 x x Phương trình ( 1 ) ⇔ )43(log2log2 22 += xx ⇔ )43(loglog 22 += xx ⇔ x = 3x + 4 ⇔ x = - 2 Giá trị này không thõa mãn điều kiện nên phương trình vô nghiệm. Các em thấy sai lầm khi biến đổi xx 2 2 2 log2log = Nhớ rằng: xx 2 2 2 log2log = Lời giải đúng là: ( 1 )    >+ += ⇔ +=⇔ +=⇔ 043 43 )43(loglog )43(log2log2 22 22 x xx xx xx        −>    −= −= ⇔        −>    −−= += ⇔ 3 4 1 2 3 4 43 43 x x x x xx xx ⇔ x = - 1 Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 7. Đối với các em học sinh lớp 12: Đề bài: Tính tích phân I = ∫ − + 0 2 2 )1( dxx Lời giải sai: Đặt u = ( x + 1) 2 ⇒ du = 2( x + 1)dx Nên dx = u du 2 Khi x = - 2 thì u = 1 x = 0 thì u = 1 Suy ra ME = MB Vì MB = NC ( Giả thiết ) Do đó ME = NC Xét hai tam giác MEH và tam giác NCH có: HME ˆ = HNC ˆ ( Hai góc so le trong) ME = NC ( Chứng minh trên) EHM ˆ = CHN ˆ ( Hai góc đối đỉnh) Suy ra ∆ MHE = ∆ NHC ( g – c – g ) Vậy EH = CH Sai ở đâu: Các em xem lại xét hai tam giác MHE và NHC có đúng không, hai góc EMH và gócMHE không kề cạnh ME, đó là trường hợp ( g – g – c ) đó các em ạ ! Cần sửa lại là thay CHNEHM ˆˆ = ( Hai góc đối đỉnh) thành hai Góc HEM ˆ = HCN ˆ ( Hai góc so le trong) để được ( g – c – g ) nhé ! 3. Đối với các em học sinh lớp 8: Đề bài: Giải phương trình: a) 2x 3 – 8x = 6x 2 – 24 Lời giải sai: Phương trình 2x 3 – 8x = 6x 2 – 24 ⇔ 2x( x 2 – 4 ) = 6( x 2 – 4 ) ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = { 3 } Sai lầm là rút gọn hai vế (x 2 – 4) Lời giải đúng là: Phương trình 2x 3 – 8x = 6x 2 – 24 ⇔ 2x( x 2 – 4) = 6(x 2 – 4) ⇔ 2x( x 2 – 4) – 6( x 2 – 4 ) = 0 ⇔ ( x 2 – 4 )( 2x – 6 ) = 0 ⇔ x 2 – 4 = 0 hoặc 2x – 6 = 0 *) x 2 – 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ± 2 *) 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Vây tập hợp nghiệm của phương trình là S = { - 2 ; 2 ; 3 } b) xx 272 −=− ⇔ x – 2 = 7 – 2x hoặc - ( x – 2 ) = 7 – 2x ⇔ x + 2x = 7 + 2 hoặc - x + 2 = 7 – 2x ⇔ 3x = 9 hoặc - x + 2x = 7 – 2 ⇔ x = 3 hoặc x = 5 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = { 3 ; 5 } Các em thấy bài toán trên sai ở đâu? Nếu thử lại x = 5 ta có 25 − = 7 – 2.5 3 ⇒ = - 3 ( Vô lý) Như vậy nghiệm x = 5 không thích hợp. Lời giải đúng là: Xét hai trương hợp: + Nếu x ≥ 2 thì 2 − x = x – 2 ta dược phương trình x – 2 = 7 – 2x ⇔ x + 2x = 7 + 2 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 ( thoã mãn điều kiện x ≥ 2) + Nếu x < 2 thì 2 − x = - ( x – 2 ) ta được phương trình - ( x – 2 ) = 7 – 2x ⇔ - x + 2 = 7 – 2x ⇔ - x + 2x = 7 – 2 ⇔ x = 5 ( loại vì không thõa mãn điều kiện x < 2) Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = { 3 } 4. Đối với các em học sinh lớp 9: Đề bài: Cho phương trình x 2 + 2mx + m 2 – m + 3 = 0 Tìm m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 23 Lời giải sai: Áp dụng hệ thức Viét ta có: S = x 1 + x 2 = a c = m 2 – m + 3 Phương trình có tích hai nghiệm bằng 23 nên x 1 . x 2 = 23 suy ra m 2 – m + 3 = 23 ⇔ m 2 – m + 3 – 23 = 0 ⇔ m 2 – m - 20 = 0 (1) ∆ = b 2 – 4ac = ( - 1 ) 2 – 4.1.(-20) = 81 >0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m 1 = 4 2 91 2 −= − = ∆−− a b m 2 = 5 2 91 2 = + = ∆+− a b Vậy với m = -4 và m = 5 thì phương trình có tích hai nghiệm bằng 23 Các em thấy sai ở đâu không? Nếu thử lại với m = - 4 thay vào phương trình đề bài ta có x 2 + 2.( - 4)x + ( - 4) 2 – ( - 4 ) + 3 = 0 x 2 - 8x + 16 + 4 + 3 = 0 x 2 – 8 x + 23 = 0 Ta có ∆ ’ = b’ 2 – ac = 16 – 23 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm , tức là m = - 4 không thõa mãn. Các em có thể giải là: Ta có: ∆ ’ = b’ 2 – ac = m 2 – ( m 2 – m + 3 ) = m 2 – m 2 + m – 3 = m – 3 Phương trình đã cho có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ( nhớ là a ≠ 0) ⇔ m - 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 Áp dụng hệ thức Viét ta có S = x 1 . x 2 = a c = m 2 – m + 3 Phương trình có tích hai nghiệm bằng 23 nên m 2 – m + 3 = 23 ⇔ m 2 – m - 20 = 0 Tìm được m = 5 và m = - 4 Nhưng các em loại m = - 4 vì không thõa mãn điều kiện m ≥ 3 Vậy với m = 5 thì phương trình có tích hai nghiệm bằng 23 5. Đối với các em học sinh lớp 10: Đề bài: Tìm a. b để hệ sau có vô số nghiệm    =+ =− 1 2 aybx byax Lời giải sai: Ta có D = b a a b − = a 2 + b 2 D x = 1 2 a b − = 2a + b D y = b a 1 2 = a – 2b Hệ đã cho có vô số nghiệm khi D = D x = D y = 0 Nếu D = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 0 suy ra a = 0 và b = 0 Mà với a = 0 và b = 0 thì D x = D y = 0 Vậy hệ có vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0 Các em tìm thấy sai ở đâu không? Khi a = b = 0 thay vào hệ ta có:    =+ =− 100 200 yx yx hệ vô nghiệm, chứ không phải hệ có vô số nghiệm! Vậy đáp số bài toán là: j . DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ************ MỘT SỐ SAI LẦM PHỔ BIẾN KHI GIẢI TOÁN ( Dùng cho học sinh cấp II & III ) Các em học sinh thân mến ! Khi giải bài tập toán. em thường mắc những sai lầm đáng tiếc.Để giúp các em biết cách né tránh những sai lầm đó , thầy giới thiệu các em một số bài toán mà học sinh thường gặp