Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 15

Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Bảng B Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: 1. Tính: 20062005 1 43 1 32 1 21 1 + ++ + + + + + 2. Xác định m để phơng trình: ( ) 021 2 =++ mxmx có 2 nnghiệm x 1 , x 2 sao cho x 1 , x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 Câu 2: 1. Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) = + + =+ 9 4040 54 yxyx yxyx 2. Giải phơng trình : ( )( ) ( ) 8 1 3 1231 = + ++ x x xxx Câu 3: Cho đờng thẳng xy 2 = , xy 2 1 = , 2 = y cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó. Câu 4: 1. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: a 2 ( b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b) 2.Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của : 11 +++= xyyxA Câu 5: 1.Cho (O) đờng kính AB. Trên đờng thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CE, CF với (O) (E, F là 2 tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ 1 cát tuyến bất kì cắt (O) tại Mvà N (M nằm giữa C và N). Chứng minh rằng: a. CIM ~ CNO . Từ đó chứng minh tứ giác DIMN nội tiếp trong đờng tròn. b. góc = BINAIM . 2. Cho (O) đờng kính AB, điểm C thuộc đờng kính ấy. Dựng dây DE AB sao cho AD EC. Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đáp án và thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán BảNG b Câu ý Nội dung Điểm I 4,0 1 2,0 Ta có : ;23 32 1 ;12 21 1 = + = + 20052006 20062005 1 = + Do đó: ++ + + + + + 43 1 32 1 21 1 = + 20062005 1 1200620052006 2312 =+++= 1,0 1,0 2 2,0 02)1( 2 =++ mxmx Điều kiện: =+ > > > 22 2 2 1 5 0 0 0 xx P S ( x 1, x 2 là 2 nghiệm của phơng trình) = > >+ >+ 252 02 01 08)1( 2 2 PS m m mm Giải ra : == > +<+> 4 -m hoặc 2-2m hoặc 6 0 3322 m m m 6= m KL: m=6 là giá trị cần tìm. 0,5 0,5 0,5 0,5 II 4,0 1 2,0 = + + =+ (2) (1) 9 4040 )(5)(4 yxyx yxyx Điều kiện : yx Từ phơng trình (1) rút ra: x = 9y. Thế vào phơng trình (2) đợc: 919 8 40 10 40 ===+ xy yy Vậy x=9; y = 1 1,0 1,0 2 2,0 Điều kiện : > 1 3 x x Đặt ( ) 1 3 1 + = x x xy phơng trình trở thành: 82 2 =+ yy Giải ra : y = 2; y = - 4 y = 2 81=x (loại ) 81+=x y= -4 có: ( ) 1 3 14 + = x x x bình phơng 2 vế ( với điều kiện: 3x ) 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ 521+−=x (lo¹i) 521 −−=x KÕt luËn : 81+−=x ; 521 −−=x III TÝnh A( )2;4();2;2( B TÝnh 24 −= OAB S 0,5 0,5 1,0 IV 4,0 1 2,0 Thay b - c = -(c - a) - (a - b) BiÕn ®æi: a 2 (b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b) = = -a 2 (c-a) -a 2 (a-b) + b 2 (c-a) + c 2 (a-b) =(a-b)(c 2 -a 2 ) + (c-a)(b 2 -a 2 ) = ……………. =(a-b)(c-a)(c-b) 0,75 0,75 0,5` 2 2,0 ( ) ( ) ( ) 2211 22 2 2 ++=+++≤+++= yxyxyxxyyxA ( B§T Bunhia cop_Xki) 0,5 L¹i cã: 2|| 2)(2)( 222 ≤+⇔ =+≤+ yx yxyx 0,5 2222222 2 +≤⇒+≤++≤−⇒ Ayx 0,5 KL: A Min = - 22 + t¹i x=y= 2 1 − A Mix = 22 + t¹i x=y= 2 1 0,5 V 6,0 1a 4,0 Chøng minh CM.CN = CE 2 0,5 CI . CO = CE 0,5 XÐt ∆ CIM vµ ∆ CN cã: /\ ICM (chung) 0,5 y y= x2 y= x 2 1 2 A B y=2 0 2 x 1 2 3 4 E N M A O I B C F CO CM CN CI =  CIM∆ ~ CNO∆  /\/\ CNOCIM = do ®ã tø gi¸c OIMN néi tiÕp trong ®êng trßn 0,5 1b 2,0 Ta cã : /\/\ ONMBIM = ( tø gi¸c ONMI néi tiÕp ) Vµ gãc /\/\ NMONIA = 2 1 (= s® ON ) OMN∆ c©n t¹i O  /\/\ NMOONM =  /\/\ NIABIM = suy ra: /\/\ BINAIM = 0,5 0,5 0,5 0,5 2 2,0 * Ph©n tÝch: * CD: Dùng DE lµ dêng trung trùc cña BC * Chøng minh: 1,0 1,0 D A B C E . b - c = -( c - a) - (a - b) BiÕn ®æi: a 2 (b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b) = = -a 2 (c-a) -a 2 (a-b) + b 2 (c-a) + c 2 (a-b) =(a-b)(c 2 -a 2 ) + (c-a)(b 2 -a 2 ) = ……………. =(a-b)(c-a)(c-b) 0,75 0,75 0,5` 2. Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Bảng B Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1:. sao cho AD EC. Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng THPT Thạch Thành 3 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đáp án và thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán BảNG b Câu ý