ĐỀ TH IVÒNG 2 (CHUYÊN TOÁN) CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2013 – 2014

ĐỀ THI CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2013 – 2014 VÒNG 2 (CHUYÊN TOÁN) Câu 1 (2,5 điểm) 1. Các số thực , ,a b c thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức sau : i. ( ) ( ) ( ) a b b c c a abc+ + + = ii. ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b b c c a a b c+ + + = Chứng minh rằng : 0abc = . 2. Các số thực dương ,a b thỏa mãn 2013 2014 .ab a b> + Chứng minh bất đẳng thức : ( ) 2 2013 2014a b+ > + Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ ( ) ,x y thỏa mãn hệ phương trình 3 3 2 2 2 4 6 19 15 1 x y x y x xy y  − = +   − + =   Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu n S là tổng của n số nguyên tố đầu tiên ( ) 1 2 3 2, 2 3, 2 3 5, S S S= = + = + + . Chứng minh rằng trong dãy số 1 2 3 , , , S S S không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương . Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn ( ) O , BD là đường phân giác của góc ABC. Đường thẳng BD cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai E. Đường tròn ( ) 1 O đường kính DE cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai F 1. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm cạnh AC 2. Biết tam giác ABC vuông tại B, 60BAC∠ = ° và bán kính của đường tròn ( ) O bằng R . Hãy tính bán kính của đường tròn ( ) 1 O bằng R . Câu 5 (1 điểm) Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là ba số nguyên tố. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC không thể là số nguyên. Câu 6 (1 điểm) Giả sử 1 2 11 , , ,a a a là các số nguyên dương lớn hơn bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn 1 2 11 407.a a a+ + + = Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số 1 2 11 1 2 11 , , , ,4 ,4 , ,4a a a a a a bằng 2012. . ĐỀ THI CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 20 13 – 20 14 VÒNG 2 (CHUYÊN TOÁN) Câu 1 (2, 5 điểm) 1. Các số th c , ,a b c th a mãn đồng th i 2 đẳng th c sau : i. ( ) ( ) ( ) a. 0abc = . 2. Các số th c dương ,a b th a mãn 20 13 20 14 .ab a b> + Chứng minh bất đẳng th c : ( ) 2 2013 20 14a b+ > + Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ ( ) ,x y th a mãn hệ. trình 3 3 2 2 2 4 6 19 15 1 x y x y x xy y  − = +   − + =   Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu n S là tổng của n số nguyên tố đầu tiên ( ) 1 2 3 2, 2 3, 2 3 5, S S