ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên.. a Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c.. Chứng minh rằng:... Cho ∆ABC trung tuyến AM.. Một đường thẳng

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI

Năm học: 2007 – 2008

Bài 1 (4 điểm) Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên Chứng minh rằng các số a và ab + 4

không có ước số chung khác ±1

Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d Thế thì:

ab d và ab + 4 d  ab + 4 – ab d

Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4 Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1

Vậy: a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1

Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phương trình (a, b là số nguyên dương và a ≠ b) Tìm tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm số nguyên dương

Giải: Trừ hai phương trình của hệ vế với vế ta được: (a – b)(x – y) = 0

Do a ≠ b nên: x – y = 0  x = y Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 

Vì x nguyên dương nên: a + b \ 15 và a, b là số nguyên dương Suy ra: a + b  {3; 5; 15}

– Nếu a + b = 3  (a, b)  {(1; 2); (2; 1)}

– Nếu a + b = 5  (a, b)  {(1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2)}

– Nếu a + b = 15  (a; b)  {(1; 14); (14; 1); (2; 13); (13; 2); (3; 12); (12; 3); (4; 11); (11; 4); (5; 10); (10; 5); (6; 9); (9; 6); (7; 8); (8; 7)}

Giải: (1) 

Dễ thấy: x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho

– Nếu x > 5: –2(x – 5) > –3(x – 5) Phương trình có vế trái nhỏ hơn vế phải  x > 5 không là

nghiệm của phương trình đã cho

– Nếu x < 5: –2(x – 5) < –3(x – 5) Phương trình có vế trái lớn hơn vế phải  x < 5 không là

nghiệm của phương trình đã cho

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5

Bài 4 (5 điểm)

a) Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c Chứng minh rằng: Với điều kiện nào của a, b thì , khi đó tính giá trị của c theo a và b

b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng: a + b ≤ 2

Giải: a) Theo ĐL Pitago: a2 + b2 = c2

Mặt khác: a2 + b2 ≥ 2ab

Cộng vào 2 vế a2 + b2: 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab  2c2 ≥ (a + b)2

Do a, b, c là các số dương vì là độ dài ba cạnh tam giác Nên:

Dấu “=” xảy ra  a = b Khi đó:

b) (a – b)2 ≥ 0  2ab ≤ a2 + b2 (1) Theo giả thiết: a2 + b2 ≤ 2 (2)

Cộng (1) và (2): a2 + b2 + 2ab ≤ a2 + b2 + 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a2 + b2 ≤ 2)

Do đó: (a + b)2 ≤ 4  |a + b| ≤ 2 Nên: a + b ≤ |a + b| ≤ 2

Vậy: a + b ≤ 2

Bài 5 (4 điểm) Cho ∆ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần

lượt tại D và E, BE cắt CD tại O Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

Giải: Gọi N là giao điểm của AM và DE

Do DN // BM nên:

Do EN // CM nên:

Suy ra: Do BM = CM (gt)  DN = EN

Ta có: SBMND = SCMNE (1)

Mặt khác: SDNO = SENO; SDBO = SCOE; SBOM = SCMO

Suy ra: SDNO + SDBO + SCMO = SENO + SCOE + SCMD

Do đó: Đường gấp khúc MON chia hình thang BCED thành

hai phần có diện tích bằng nhau Đoạn NM cũng chia hình thang

thành hai phần có diện tích bằng nhau Suy ra: N, O, M thẳng hàng  A, O, M thẳng hàng

N O

E D

M

A