ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI môn toán CẤP HUYỆN LỤC YÊN

Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2008 – 2009

MÔN THI: TOÁN

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

a b c 2 (1)

a b c 2 (2)

  





 Chứng minh rằng:

(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b )

Bài 2 (4 điểm)

Giải các phương trình:

a) x2 8x 15 3 x 3 2 x 5 6      b) x2  2x 2 2 2x 3  

Bài 3 (4 điểm)

Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R Chứng minh rằng:

a) MP MQ MR 1

AP  BQ  CR  b) MA MB MC 2

AP  BQ  CR 

Bài 4 (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông EFGH Với giá trị nào của AE thì diện tích EFGH đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 5 (4 điểm)

Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:

(a, b) = 1 và a b2 2 9

a b 41







PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN

Năm học: 2008 – 2009

Bài 1 (4 điểm)

Từ (1) suy ra:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 (3) (0,5 điểm)

Từ (2) và (3) suy ra:

2(ab + bc + ca) = 2  ab + bc + ca = 1 (0,5 điểm)

Xét:

1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) (0,5 điểm)

1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (a + c)(b + c) (0,5 điểm)

1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) (0,5 điểm)

Do đó:

(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b )

a (b c) b (a c) c (a b)

       (0,5 điểm)

= a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = (0,5 điểm)

= 2(ab + bc + ca) = 2 (0,5 điểm)

Bài 2 (4 điểm)

a) Điều kiện: x ≥ –3, ta có: (0,5 điểm)

(1)  (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0       

 ( x 3 2)( x 5 3) 0     (0,5 điểm)

x 5 3



(0,5 điểm)

Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4 (0,5 điểm)

b) Điều kiện: x 3

2

điểm)

x2  2x 2 2 2x 3  

 x2  4x 4 2x 3    2x 3 1 0   (0,5 điểm)

(x 2) ( 2x 3 1) 0

x 2 0

x 2 2x 3 1

 



 



(0,5

điểm)

Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 (0,5 điểm)

Bài 3 (4 điểm)

a) Kẻ AH và MK vuông góc với BC

 MBC ABC

S AH (1) (0,5

điểm)

Mặt khác: MK // AH (cùng vuông góc với BC) Theo Ta lét: MK MP

AH AP (2)

(0,5 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra: MBC

ABC

MP S

Tương tự: AMC

ABC

MQ S

BQ S và

AMC ABC

MR S

điểm)

1

điểm)

b)

Bài 4 (4 điểm)

R

P

Q

A

M

Gọi diện tích của EFGH là S Theo giả thiết:

AE = BF = CG = DH  BE = CF = CG = AH Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH

(0,5 điểm)

Ta có: S = SABCD – 4.SAEH  S = a2 – 2.AE.AH

Do đó S nhỏ nhất  AE.AH lớn nhất (1 điểm)

Ta có với mọi x, y  R: (x – y)2 ≥ 0  x2 + y2 ≥ 2xy

 x2 + y2 + 2xy ≥ 4xy  (x + y)2 ≥ 4xy xy (x y)2

4



 Dấu “=” xảy ra  x = y (0,5 điểm)

Suy ra: S = 2.AE.AH ≤ (AE AH)2 a2



Dấu “=” xảy ra  AE = AH  AE = a

Bài 5 (4 điểm)

Vì (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a2 + b2) = 1 (0,5 điểm)

Thật vậy, giả sử (a + b, a2 + b2) = d (d ≠ 1) Suy ra:

ab d (2)

a b d (a b) 2ab d



điểm)

– Vì (a, b) = 1 nên từ (2) suy ra: a  d hoặc b  d (0,5 điểm)

+ Nếu a  d thì từ (1) suy ra b  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)

+ Nếu b  d thì từ (1) suy ra a  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)

– Vậy: (a + b, a2 + b2) = 1 (1 điểm)

Vì (a + b, a2 + b2) = 1 Kết hợp giả thiết suy ra:

a b 41 (a b) 2ab 41

hoặc a 5

b 4











(1 điểm)

Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4

(0,5 điểm)

H

G

F

B A

E

Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên