ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI môn toán CẤP HUYỆN LỤC YÊN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 a b c 2 (1) a b c 2 (2) + + =   + + =  Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a b c 2 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + + Bài 2 (4 điểm) Giải các phương trình: a) 2 x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6+ + = + + + − b) 2 x 2x 2 2 2x 3− + = − Bài 3 (4 điểm) Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng: a) MP MQ MR 1 AP BQ CR + + = b) MA MB MC 2 AP BQ CR + + = Bài 4 (4 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông EFGH. Với giá trị nào của AE thì diện tích EFGH đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5 (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho: (a, b) = 1 và 2 2 a b 9 a b 41 + = + PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Năm học: 2008 – 2009 Bài 1 (4 điểm) Từ (1) suy ra: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 4 (3) (0,5 điểm) Từ (2) và (3) suy ra: 2(ab + bc + ca) = 2 ⇔ ab + bc + ca = 1 (0,5 điểm) Xét: 1 + b 2 = ab + bc + ca + b 2 = (b + c)(a + b) (0,5 điểm) 1 + c 2 = ab + bc + ca + c 2 = (a + c)(b + c) (0,5 điểm) 1 + a 2 = ab + bc + ca + a 2 = (a + b)(a + c) (0,5 điểm) Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a b c 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + + 2 2 2 a (b c) b (a c) c (a b) = + + + + + = (0,5 điểm) = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = (0,5 điểm) = 2(ab + bc + ca) = 2 (0,5 điểm) Bài 2 (4 điểm) a) Điều kiện: x ≥ –3, ta có: (0,5 điểm) (1) ⇔ (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0+ + − + − + + = ⇔ ( x 3 2)( x 5 3) 0+ − + − = (0,5 điểm) ⇔ x 3 2 x 3 4 x 1 x 5 9 x 4 x 5 3  + = + = =   ⇔ ⇔    + = = + =     (0,5 điểm) Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 = 1; x 2 = 4 (0,5 điểm) b) Điều kiện: 3 x 2 ≥ . Ta có: (0,5 điểm) 2 x 2x 2 2 2x 3− + = − ⇔ 2 x 4x 4 2x 3 2x 3 1 0− + + − − − + = (0,5 điểm) 2 2 (x 2) ( 2x 3 1) 0 x 2 0 x 2 2x 3 1 ⇔ − + − − = − =   ⇔ ⇔ =  − =   (0,5 điểm) Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = 2 (0,5 điểm) Bài 3 (4 điểm) a) Kẻ AH và MK vuông góc với BC ⇒ MBC ABC S MK S AH = (1) (0,5 điểm) Mặt khác: MK // AH (cùng vuông góc với BC) Theo Ta lét: MK MP AH AP = (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) suy ra: MBC ABC MP S AP S = Tương tự: AMC ABC MQ S BQ S = và AMC ABC MR S CR S = (0,5 điểm) Vậy: BMC AMC AMB ABC ABC ABC MP MQ MR S S S S 1 AP BQ CR S S + + + + = = = (0,5 điểm) MA MB MC AP MP BQ MQ CR MR b) AP BQ CR AP BQ CR − − − + + = + + (1 điểm) MP MQ MR 3 3 1 2 AP BQ CR   = − + + = − =  ÷   (1 điểm) Bài 4 (4 điểm) H K R P Q B C A M Gọi diện tích của EFGH là S Theo giả thiết: AE = BF = CG = DH ⇒ BE = CF = CG = AH Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH (0,5 điểm) Ta có: S = S ABCD – 4.S AEH ⇔ S = a 2 – 2.AE.AH Do đó S nhỏ nhất ⇔ AE.AH lớn nhất (1 điểm) Ta có với mọi x, y ∈ R: (x – y) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2xy ⇔ x 2 + y 2 + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y) 2 ≥ 4xy ⇔ 2 (x y) xy 4 + ≤ Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y (0,5 điểm) Suy ra: S = 2.AE.AH ≤ 2 2 (AE AH) a 2 2 + = (1 điểm) Dấu “=” xảy ra ⇔ AE = AH ⇔ AE = a 2 (0,5 điểm) Vậy: 2 2 2 a a a minS a AE 2 2 2 = − = ⇔ = (0,5 điểm) Bài 5 (4 điểm) Vì (a, b) = 1 suy ra: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1 (0,5 điểm) Thật vậy, giả sử (a + b, a 2 + b 2 ) = d (d ≠ 1). Suy ra: 2 2 2 a b d a b d a b d (1) ab d (2) a b d (a b) 2ab d + + +    ⇔ ⇔    + + −    M M M M M M (0,5 điểm) – Vì (a, b) = 1 nên từ (2) suy ra: a  d hoặc b  d (0,5 điểm) + Nếu a  d thì từ (1) suy ra b  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau) + Nếu b  d thì từ (1) suy ra a  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau) – Vậy: (a + b, a 2 + b 2 ) = 1 (1 điểm) Vì (a + b, a 2 + b 2 ) = 1. Kết hợp giả thiết suy ra: 2 2 2 a b 9 a b 9 a b 9 a 4 ab 20 b 5 a b 41 (a b) 2ab 41 + = + = + = =     ⇔ ⇔ ⇔     = = + = + − =     hoặc a 5 b 4 =   =  (1 điểm) Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4 (0,5 điểm) H G F B A D C E Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên . DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4 điểm) Cho. và 2 2 a b 9 a b 41 + = + PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LỤC YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Năm học: 2008 – 2009 Bài 1 (4 điểm) Từ (1) suy ra: a 2 + b 2 + c 2 . hoặc b  d (0,5 điểm) + Nếu a  d thi từ (1) suy ra b  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau) + Nếu b  d thi từ (1) suy ra a  d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau) – Vậy: (a +