ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÒNG HUYỆN

UBND HUYN HA BNH  (Đ gm 01 trang)   ! "# $%#& '()*)+,#-.'/0 (Không k thi gian giao đ) 1 23: (5 điểm) Chứng minh: 4 2n - 3 2n - 7+ 24 (n ≥ 1) 23: ( 5 điểm ) a) Giải phương trình: 2 2 2 2 3 2 13 8 2 3 7x x x x− + − + + + − = b) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )      += += += xzzx zyyz yxxy 87 65 43 23: ( 5 điểm ) a) Chứng minh rằng: 2013 2014 + 2014 2013 > 2013 + 2014 b) Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 23!# ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng. b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC. c) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.  40 1 UBND HUYN HA BNH  (Hướng dẫn chấm gm 03 trang)   ! "# $%#& '()*)+,#-.'/0 5%67 23#8-9):;< Ta có: 4 2n - 3 2n -7=16 n - 9 n -7 (0.5đ) Chứng minh16 n - 9 n -7+ 3 Vì 16 1(mod3) 16 1(mod3) n ≡ ⇒ ≡ (0.5đ) 9 0(mod3) 9 0(mod3) n ≡ ⇒ ≡ (0.5đ) 7 1(mod3)≡ (0.25đ) Nên 16 9 7 1 0 1 0(mod3) n n − − ≡ − − = (0.5đ) Chứng minh 16 n - 9 n -7+ 8 Vì 16 0(mod8) 16 0(mod8) n ≡ ⇒ ≡ (0.5đ) 9 1(mod8) 9 1(mod8) n ≡ ⇒ ≡ (0.5đ) 7 1(mod8)≡ − (0.25đ) Nên 16 9 7 0 1 1 0(mod8) n n − − ≡ − + = (0.5đ) Mà: (3;8)=1 (0.25đ) Do đó :16 n - 9 n -7+ 24 (0.25đ) Vậy: 4 2n - 3 2n -7+ 24 (n≥ 1) (0.5đ) 23#8-9):;< +<89):;< Điều kiện: 3 2 x ≥ (0.25đ) 2 2 2 2 3 2 13 8 2 3 7x x x x − + − + + + − = 2 3 2 2 3 1 2 3 2.4 2 3 16 7x x x x⇔ − + − + + − + − + = (0.25đ) 2 2 ( 2 3 1) ( 2 3 4) 7x x⇔ − + + − + = (0.25đ) 2 2 3 1 2 3 4 7x x⇔ − + + − + = (0.25đ) 2 3 1 2 3 4 7x x⇔ − + + − + = (0.25đ) 2 2 3 2x⇔ − = (0.25đ) 2 3 1x ⇔ − = 2x⇔ = (TMĐK) (0.25đ) Vậy nghiệm của phương trình là x=2 (0.25đ) =<89):;< + Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho ( 0,5 đ) + Xét trường hợp x, y, z ≠ 0, hệ pt được viết như sau:          =+ =+ =+ 8 711 6 511 4 311 xz zy yx ( I ) ( 0,75 đ) Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (I) ta được: 2 1 1 1 59 1 1 1 59 24 48x y z x y z   + + = ⇔ + + =  ÷   ( 1) ( 0,75 đ) Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (I ) ta được: z = 23 48 ; x = 19 48 ; y = 17 48 ( 0,75 đ) Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và ( ) 23 48 ; 17 48 ; 19 48 ( 0,25 đ) 238-9):;< a) 89):;< Ta có 2013 2014 + 2014 2013 = 2014 1 2014 − + 2013 1 2013 + ( 0,5 đ) = 2014 - 1 2014 + 2013 + 1 2013 ( 0,5 đ) 3 O D B M H N C E A = 2013 + 2014 + ( 1 2013 - 1 2014 ) > 2013 + 2014 Vì ( 1 2013 - 1 2014 ) > 0 ( 0,5 đ) Vậy 2013 2014 + 2014 2013 > 2013 + 2014 ( 0,5 đ) b) (3đ) Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2-x (0.5đ) Do đó: A = x 2 +y 2 = x 2 + (2-x) 2 = x 2 + 4 - 4x + x 2 (0.5đ) =2x 2 - 4x + 4 = ( ) 2 2 2 1 1x x   − + +   (0.5đ) = ( ) 2 2 1 2 2x − + ≥ (1đ) Vậy: MinA=2 tại x = y = 1 (0.5đ) 23!# 8-9):;< +<Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có µ A = µ D = µ H = µ E = 90 0 (0,5đ) Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E thẳng hàng. (0,5đ) 4 b) Ta có MD = MH, OD = OH (0,25đ) ⇒ OM là trung trực của DH (0,25đ) ⇒ OM ⊥ DH ⇒ AD // OM. (0,5đ) AHB∆ có OM là đường trung bình ⇒ M là trung điểm BH. (0,5đ) Chứng minh tương tự N là trung điểm HC. (0,5đ) c) Ta có S HMO = S DMO ; S HNO = S ENO (0,5đ) ⇒ S MDEN = 2 S OMN (0,5đ) Do S OMN = 1 4 S ABC (0,5đ) ⇒ S MDEN = 1 2 S ABC = 1 2 . 1 2 .6.8 = 12 (cm 2 ) (0,5đ) 40 Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó 5 6 . S ABC (0,5đ) ⇒ S MDEN = 1 2 S ABC = 1 2 . 1 2 .6.8 = 12 (cm 2 ) (0,5đ) 40 Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó 5 6