Quy hoạch tuyến tính Và phương pháp đơn hình

Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được CHƯƠNG 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 3... Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được CHƯƠNG 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ CÁCH GIẢI

Trang 1

Giảng viên hướng dẫn:

TS Nguyễn Xuân Hải Nhóm 2:

Trang 2

Nội dung:

Chương 1: Quy hoạch tuyến tính và cách tính đơn giản

Chương 2: Phương pháp đơn hình

Chương 3: Sự suy biến

Chương 4: Hiệu quả của phương pháp đơn hình

Trang 3

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính trong thực tế 1.2 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản 1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

CHƯƠNG 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN

3

Trang 4

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính trong thực tế

1.2 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính 1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản 1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

4

Trang 5

CHƯƠNG 1: QHTT VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 1.1 Bài toán QHTT trong thực tế

 Ví dụ bài toán thực tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi tài nguyên hạn chế

 Một xí nghiệp dự định sản xuất hai loại sản

từ ba loại nguyên liệu I, II và III

5

Nguyên liệu

Sản phẩm

Trang 6

 Cần lập một kế hoạch sản xuất (tức là tính xem nên sản xuất bao

nhiêu đơn vị sản phẩm từng loại) để lãi thu được là nhiều nhất

 Biết sản phẩm A lãi 3 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm, sản phẩm B lãi 5 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm

Lập kế hoạch:

Gọi x, y theo thứ tự lần lượt là số lượng sản phẩm loại A và B cần sản xuất Khi đó ta có:

1 Tiền lãi thu được: f = 3x+5y => max

2 Số lượng nguyên liệu loại I phải dùng: 2x+y ≤ 8

3 Số lượng nguyên liệu loại II phải dùng: 6y ≤ 24

4 Số lượng nguyên liệu loại III phải dùng: 4x ≤ 12

(vì các nguyên liệu I, II, III mà xí nghiệp có là hạn chế, nên các biểu thức 2x+y, 6y, 4x phải có giới hạn)

6

Trang 7

Từ đó ta dẫn đến bài toán sau đây:

Tìm x, y sao cho f=3x+5y đạt giá trị lớn nhất , trong đó x, y thỏa điều kiện:

y x x y

Trang 8

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính trong thực tế

1.2 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản 1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

8

Trang 9

CHƯƠNG 1: QHTT VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 1.2 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa: Một bài toán quy hoạch tuyến tính là một mô

hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng

về dấu của biến số

Trang 10

CHƯƠNG 1: QHTT VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 1.2 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính

Dạng chính tắc:

10

Rank(A)=m

Trang 11

1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản

1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

11

Trang 12

CHƯƠNG 1: QHTT VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản

1.3.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến

Khi bài toán chỉ có hai biến, ta có thể giải quy hoạch tuyến tính bằng hình học hai chiều một cách dễ dàng.

Ví dụ : Xét bài toán (tìm) max z = 3x1 + 2x2 x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8 -x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

12

Trang 13

x1 + 2x2 ≤ 6

13

❶

x1

Trang 14

❷

Trang 15

❷

❸

Trang 16

x1 + 2x2 ≤ 6 (1)

2x1 + x2 ≤ 8 (2)

x1 + x2 ≤ 1 (3) x2 ≤ 2 (4)

16

❶

x1 x2

❷

❸

❹

Trang 17

x1 + 2x2 ≤ 6 (1)

2x1 + x2 ≤ 8 (2)

x1 + x2 ≤ 1 (3) x2 ≤ 2 (4) x1 ≥ 0

Trang 18

Bây giờ ta lồng vào đường mức (level curve) của hàm mục tiêu

z = 3x1 + 2x2

Tịnh tiến đường mức theo hướng tăng dần

Trang 19

Ta thấy đường mức còn cắt miền chấp nhận

được tại điểm cuối cùng

là D, giao điểm của

x1 + 2x2 = 6 (1)

2x1 + x2 = 8 (2)

=>x1=10/3, x2=4/3 z(10/3,4/3) = 38/3

Trang 20

Trường hợp miền chấp nhận được không giới nội

thì có thể không có nghiệm tối ưu

Trang 21

Trường hợp miền chấp nhận được không có đỉnh

bài toán có thể không

có nghiệm tối ưu , hoặc có nghiệm tối ưu nhưng ko phải là đỉnh

21

x 1

x 2

P

Trang 22

1.3.2 Bài toán với 2 ràng buộc

Xét bài toán cụ thể:

(tìm) min z = -12x1 – 20x2 – 18x3 – 40x4 4x1 + 9x2 + 7x3 + 10x4 ≤ 6000

x1 + x2 + 3x3 + 40x4 ≤ 4000 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Trước hết ta phải đưa về dạng chính tắc bằng cách thêm vào hai biến bù

x5 và x6

4x1 + 9x2 + 7x3 + 10x4 + x5 = 6000 ❶ x1 + x2 + 3x3 + 40x4 + x6 = 4000 ❷ -12x1 – 20x2 – 18x3 – 40x4 = z

x1, x2, x3, x4 , x5,x6 ≥ 0

22

Trang 23

Cộng và để có một đẳng thức chứa đủ các biến, ta được ❶ ❷

5x1 + 10x2 + 10x3 + 50x4 + x5 +x6 = 10000

Tiếp theo, ta thay đổi đơn vị các biến x sao cho đưa về dạng đẳng thức

y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 1 ❸

Ta phải đặt sao cho

2000y1 = x1 , 1000y2 = x2 , 1000y3 = x3 200y4 = x4 , 10000y5 = x5 , 10000y6 = x6

23

Trang 24

Lúc này và tương đương với: ❶ ❸

y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 1

8y1 + 9y2 + 7y3 + 2y4 + 10y5 = 6

z = -12x1 – 20x2 – 18x3 – 40x4 = -24000y1 – 20000y2 – 18000y3 – 8000y4

Do các hệ số quá lớn, ta đổi đơn vị lần nữa với u = z/1000

=> -24y1 – 20y2 – 18y3 – 8y4 = u

Ta đưa bài toán về : tìm cực tiểu của u với yj ≥ 0 và

y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = 1 ❹ 8y1 + 9y2 + 7y3 + 2y4 + 10y5 = 6 ❺

-24y1 – 20y2 – 18y3 – 8y4 = u ❻

24

Trang 25

Nhóm các hệ số tương ứng của và thành những cặp tọa ❺ ❻ độ:

A1 (8, -24) A2 (9, -20) A3 (7, -18) A4 (2, -8) A5 (10, 0) A6 (0, 0)

và R (6, u)

25

Trang 26

⇒ y1 = 2/3 , y4 = 1/3 , y2 = y3 = y5 = y6 = 0

u = -56/3

Trang 27

1.3.2 Bài toán với 2 ràng buộc Thay kết quả: y1 = 2/3 , y4 = 1/3 ,

y2 = y3 = y5 = y6 = 0 , u = -56/3

Vào 2000y1 = x1 , 1000y2 = x2 , 1000y3 = x3

200y4 = x4 , 10000y5 = x5 , 10000y6 = x6

Ta được kết quả: x1 = 4000/3, x4 = 200/3 ,

x2 = x3 = x5 = x6 = 0 min z = 1000 min u = -56000/3

27

Trang 28

1.3.3 Thuật toán Fourier - Motzkin

Phương pháp Fourier –Motzkin là phương pháp xưa nhất để giải quy hoạch tuyến tính tổng quát Do Jean – Baptiste

Joseph Fourier đưa ra năm 1826

T.S Motzkin cũng công bố phương pháp này năm 1936.

Nội dung: cứ mỗi bước loại 1 biến cho đến khi không thể làm tiếp được nữa ta sẽ có bài toán đơn giản hơn nhiều

Ưu điểm: Giải quyết những bài toán cở nhỏ rất tiện lợi.

Nhược điểm: Đối những bài toán lớn, nhiều biến thì phương pháp này rất khó để giải quyết

28

Trang 29

29

Trang 30

30

Trang 31

31

Trang 32

1.3.3 Thuật toán Fourier – Motzkin

Ví dụ:

32

Trang 33

Trang 34

Ghép các bất đẳng thức:

34

Trang 35

Những bất đẳng thức trên không tối giản được cho z nữa nên quá trình khử kết thúc Từ hệ các bất phương trình ta tính ra được x1 = 0 và x2 = 6.

Kết luận : vậy nghiệm của quy hoạch tuyến tính và làm cực tiểu hàm mục tiêu z là x1 =0 và x2 = 6, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là z=-12.

35

Trang 36

1.3 Giải quy hoạch tuyến tính đơn giản

1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

36

Trang 37

CHƯƠNG 1: QHTT VÀ CÁCH GIẢI ĐƠN GIẢN 1.4 Trường hợp không có nghiệm chấp nhận được

37

Trang 38

2.1 Sơ lược về phương pháp đơn hình 2.2 Thuật toán đơn hình trên từ vựng 2.3 Tìm từ vựng xuất phát

2.4 Trường hợp mục tiêu không giới nội 2.5 Sư duy nhất nghiệm tối ưu

2.6 Dạng bảng của phương pháp đơn hình

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN

HÌNH

38

Trang 39

2.1 Sơ lược về phương pháp đơn hình

2.2 Thuật toán đơn hình trên từ vựng 2.3 Tìm từ vựng xuất phát

HÌNH

39

Trang 40

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Sơ lược về phương pháp đơn hình

 Xét quy hoạch tuyến tính:

min z = - 5x1 - 4x2 - 3x3,

2x1 + 3x2 + x3 ≤ 5, 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 11, 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 8,

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 w1 = 5 w2 = 11 w3 = 8

Trang 41

min z = - 5x1 - 4x2 - 3x3,w1 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3,w2 = 11 - 4x1 - x2 - 2x3,w3 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3, x1,x2,x3,w1,w2,w3 ≥ 0

x1 ↑,

x2 = 0,x3 = 0

(2.2)

w1 = 5 - 2x1 ≥ 0,w2 = 11 - 4x1 ≥ 0,w3 = 8 - 3x1 ≥ 0

x1 ≤ 5/2,

x1 ≤ 11/4,x1 ≤ 8/3

x1 = 5/2

x2 = 0 x3 = 0 w1 = 0 w2 = 1 w3 = 1/2

z = -12,5

41

Trang 42

 Viết lại bài toán:

min z = - 5x1 - 4x2 - 3x3,

w1 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3,

w2 = 11 - 4x1 - x2 - 2x3,w3 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3, x1,x2,x3,w1,w2,w3 ≥ 0

min z = -12,5 + 2,5w1 + 3,5x2 - 0,5x3

x1 = 2,5 - 0,5w1 - 1,5x2 - 0,5x3

w2 = 1 + 2w1 + 5x2w3 = 0,5 + 1,5w1+ 0,5x2 - 0,5x3, x1,x2,x3,w1,w2,w3 ≥ 0

x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 w1 = 0 w2 = 1 w3 = 0

z = -13

x3 ↑,

w1 = 0,x2 = 0

x1 = 2,5 - 0,5x3 ≥ 0,w2 = 1 ≥ 0,

w3 = 0,5 - 0,5x3 ≥ 0

x3 ≤ 5,

x3 ≤ 1

42

Trang 43

 Viết lại bài toán:

min z = -12,5 + 2,5w1 + 3,5x2 - 0,5x3x1 = 2,5 - 0,5w1 - 1,5x2 - 0,5x3

w2 = 1 + 2w1 + 5x2

w3 = 0,5 + 1,5w1+ 0,5x2 - 0,5x3,

x1,x2,x3,w1,w2,w3 ≥ 0

x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 w1 = 0 w2 = 1 w3 = 0

z = -13

min z = -13 + w1 + 3x2 + w3x1 = 2 - 2w1 - 2x2 + w3,w2 = 1 + 2w1+ 5x2,

x3 = 1 + 3w1+ x2 - 2x3,

x1,x2,x3,w1,w2,w3 ≥ 0

43

Trang 44

2.1 Sơ lược về phương pháp đơn hình

2.2 Thuật toán đơn hình trên từ vựng

2.3 Tìm từ vựng xuất phát 2.4 Trường hợp mục tiêu không giới nội 2.5 Sư duy nhất nghiệm tối ưu

HÌNH

44

Trang 45

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.2 Thuật toán đơn hình trên từ vựng

 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn:

 Đầu tiên, ta đưa biến bù vào và đặt tên mục tiêu là z:

(2.5)

(2.6)45

(Từ vựng xuất phát)

Trang 46

 Kí hiệu B là tập các chỉ số của các biến cơ sở.

 Kí hiệu N là tập các chỉ số của các biến không cơ sở.

 Ở mỗi bước lặp, từ vựng đều có dạng:

 Biến vào: từ biến không cơ sở trở thành biến cơ sở.

 Biến ra: từ biến cơ sở trở thành biến không cơ sở.

 Nếu không có hệ số mục tiêu âm thì nghiệm nhận được ở bước lặp

đó là tối ưu Nếu có nhiều hệ số mục tiêu âm thì ta được quyền chọn.

46

Trang 47

 Cách chọn biến vào: hệ số âm nhỏ nhất để hi vọng làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất.

 Biến ra được chọn để đảm bảo tính không âm của các biến.

 Gọi xk là biến vào, khi đó các biến cơ sở:

 Ta có xk được phép lớn đến mức mọi xi ≥ 0:

 Vậy ta chọn biến ra là biến có chỉ số l thuộc tập chỉ số các biến cơ sở mà:

47

Trang 48

 Sau khi chọn biến vào và biến ra, việc chuyển từ vựng sang

từ vựng mới là nhờ các phép toán hàng Toàn bộ việc làm này gọi là phép xoay (pivot).

 Vì có thể có nhiều biến vào và nhiều biến ra có thể chọn mà vẫn đảm bảo giảm hàm mục tiêu và các biến không âm, ta

sẽ thấy có các quy tắc cụ thể để tránh sự không xác định

đó, được gọi là quy tắc xoay (pivot rule).

48

Trang 49

2.1 Sơ lược về phương pháp đơn hình 2.2 Thuật toán đơn hình trên từ vựng

2.3 Tìm từ vựng xuất phát

HÌNH

49

Trang 50

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.3 Tìm từ vựng xuất phát

(2.5)50

Trang 51

51

min z = 2x1 - 3x2x1 + 3x2 ≤ 5

x1 - 2x2 ≤ 6

x1, x2 ≥0

min z = 2x1 - 3x2x1 + 3x2 ≤ -5

x1 - 2x2 ≤ -6

x1, x2 ≥0

min z = 2x1 - 3x2x1 + 3x2 + x3 = 5

x1 - 2x2 + x4 = 6

min z = 2x1 - 3x2x1 + 3x2 + x3 = -5

x1 - 2x2 + x4 = -6

Từ vựng 1:

Từ vựng 2:

Trang 52

 Bài toán bổ trợ cũng là quy hoạch tuyến tính nhưng có 2 tính chất quan trọng sau:

o Dễ thấy ngay từ vựng xuất phát chấp nhận được của bài toán bổ trợ này

o Từ vựng tối ưu của nó là một từ vựng chấp nhận được của quy hoạch tuyến tính gốc đang xét

 Bài toán bổ trợ đó là:

 QHTT cần xét có nghiệm chấp nhận  BTBT có mục tiêu tối ưu bằng 0.

52

Trang 53

 Ví dụ:

 Bài toán bổ trợ:

53

min z = 2x1 + x2, -x1 + x2 ≤ -1, -x1 - 2x2 ≤ -2,

x2 ≤ 1, x1,x2 ≥ 0

min α = x0, -x1 + x2 - x0 ≤ -1, -x1 - 2x2 - x0 ≤ -2,

x2 - x0 ≤ 1, x0,x1,x2 ≥ 0

 Đưa biến bù vào:

(2.8)

Trang 54

 (2.9):

 Chọn x0 là biến vào, w2 là biến ra:

54

 Chọn x2 là biến vào, w1 là biến ra:

 Chọn x1 là biến vào, x0 là biến ra:

(2.10)

min α = x0,w1 = -1 + x1 - x2 + x0,w2 = -2 + x1 + 2x2 + x0,w3 = 1 - x2 + x0,x0,x1,x2,w1,w2,w3 ≥ 0

(2.9)

min α = 2- x1- 2x2 + w2,w1 = 1 - 3x2 + w2,x0 = 2 - x1 - 2x2 + w2,w3 = 3 - x1 - 3x2 + w2,x0,x1,x2,w1,w2,w3 ≥ 0

min α = 4/3 - x1 + 2/3w1 + 1/3w2,x2 = 1/3 - 1/3w1 + 1/3w2,x0 = 4/3 - x1 + 2/3w1 + 1/3w2,w3= 2 - x1 + w1,

x0,x1,x2,w1,w2,w3 ≥ 0

(2.11)

min α = 0 + x0x2 = 1/3 - 1/3w1 + 1/3w2,x1 = 4/3 - x0 + 2/3w1 + 1/3w2,w3= 2/3 + x0 + 1/3w1 - 1/3w2,x0,x1,x2,w1,w2,w3 ≥ 0

(2.12)

Định dạng
Số trang	88
Dung lượng	746,36 KB