Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

SỞ GD- ĐT THÀNH PHỐ Đ À NẴNG TRƯ ỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN KH ẢO SÁT CHẤT L Ư ỢNG THI THPT QUỐC GIA Năm h ọc 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN HỌC Th ời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đ ề thi gồm 01 trang) Câu 1 . (2,0 điểm) Cho hàm s ố 4 2 8 4y x x    . a. Khảo sát và v ẽ đồ thị   C c ủa hàm số . b. Vi ết phương tr ình ti ếp tuyến của   C , bi ết hoành đ ộ của tiếp điểm là ngh iệm của ph ương trình   '' 13. y x  Câu 2. (1,0 điểm) a. Giải ph ương trình 2 1 sin cos 2 sin cos . 2 x x x x              b. Cho số phức 3 2z i  . Xác định phần thực v à phần ảo của .w iz z   Câu 3 . (0,5 đi ểm) Gi ải bất phương tr ình 2 1 3 3 6log 5log 4 0.x x    Câu 4. (1,0 đi ểm) Gi ải bất phương tr ình   4 3 3 2 2 2 1 . 2 2 x x x x x x x x         Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân 4 2 0 2 4 1 2 1 x x I dx x      . Câu 6 . (1,0 đi ểm) Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang cân với hai đáy l à BC và AD . Biết 2SB a , 2 ,AD a AB BC CD a    và hình chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt phẳng   ABCD trùng v ới trun g điểm c ạnh .AD Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và kho ảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD . Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn       2 2 : 2 2 4T x y    và đường th ẳng :3 10 0. x y    Viết ph ương trình đường tr òn   C biết tâm I c ủa   C có hoành độ âm và nằm tr ên đường thẳng : 0,d x y    C tiếp xúc với  và cắt   T tại ,A B sao cho 2 2AB  . Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian , Oxyz cho điểm   1;2; 2 I  và mặt phẳng   P có phương trình   : 2 2 5 0P x y z    . Hãy viết ph ương trình m ặt cầu   S có tâm I sao cho giao tuyến c ủa m ặt cầu   S và mặt phẳng   P là một đường tròn có chu vi bằng 8 . Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho các điểm         2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D  . Xét các điểm có tọa độ   ;x y với ,x y là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm được chọn có tọa độ   ;x y thỏa 2.x y  Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 .ac b bc  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 . 4 4 a b b c P a b ab b b c bc c         66 ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0 b     3 2 1 ' 4 16 ; '' 12 16 13 2 y x x x y x x x          0,5 1 2 x   phương trình tiếp tuyến: 15 93 2 16 y x  0,25 1 2 x    phương trình tiếp tuyến: 15 93 . 2 16 y x   0,25 2 a Biến đổi phương trình như sau          1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0 1 sin cos 2 0 x x x x x x x x x              0,25 Vì cos 1x  nên phương trình có nghiệm 2 2 x k     . 0,25 b     3 2 3 2 1w i i i i      0,25 Re 1, Im 1.w w   0,25 3 ĐK: 0.x  Biến đổi bất phương trình 2 3 3 6log 10log 4 0 x x      * 0,25 Đặt   2 3 1 log * : 6 10 4 0 2 3 t x t t t          Suy ra tập nghiệm bất phương trình 3 1 ; 3 . 9 S          0,25 4 Điều kiện 0.x  Biến đổi bất phương trình                3 3 3 2 2 1 1 1 * 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x            0,25 Đặt     3 2 1 t f t t t     , ta có     4 2 2 2 3 ' 0, 1 t t f t t t        Hơn nữa   f t liên tục trên  , nên đồng biến trên  0,5 Vậy       3 5 * : 1 1 0; . 2 f x f x x x x                   0,25 5 Đặt 2 1 2 1 2 t t x x dx tdt        0,5 3 3 4 5 3 2 1 1 1 478 . 2 2 10 3 2 15 t t t t I t dt                               0,5 6 Gọi M là trung điểm AD , theo giả thiết   SM ABCD . Tứ giác MBCD là hình bình hành nên ,MB a do đó .SM a 0,25 Ta có MC a nên tam giác MBC đều, do đó     2 3 3 3 4 a dt ABCD dt MBC      3 1 3 . . . 3 4 a V SM dt ABCD  0,25 Gọi K là trung điểm ,BC H là hình chiếu của M lên .SK Do 2SC SB a  nên tam giác SBC cân tại S , do đó     BC MK BC MH BC SMK MH SBC BC SK SK MH                        0,25 Tam giác MBC đều cạnh bằng a nên 3 , 2 a MK  do đó       2 2 . 21 , , . 7 SM KM a d SB AD d AD SBC MH SM KM      0,25 7 Đường tròn   T có tâm   2;2 , K bán kính 2;r  Gọi   ; ,I t t bán kính của đường tròn   C là   4 10 , 10 t R d I     0,25 Ta có       2 2 2 2 2 5 8 , 2 2 5 5 5 5 t d I AB R t t         và     , 2; 2 2 2 2 d K AB IK t t     (do 0t  ) 0,25 TH1. ,I K khác phía đối với :AB               2 2 2 2 1 , , 2 5 5 1 5 2 10 5 : 5 2 10 5 2 10 8 3 10 . d I AB d K AB IK t t t t C x y                    0,25 TH2. ,I K cùng phía đối với :AB         2 1 , , 2 5 5 1 2 * 5 d I AB d K AB IK t t t           * không có nghiệm âm         2 2 2 : 5 2 10 5 2 10 8 3 10 C x y       0,25 8 Đường tròn giao tuyến của   S và   P có 4;r      , 3 d I P  . 0,5 Bán kính mặt cầu là     2 2 , 5 R r d I P    Vậy phương trình         2 2 2 : 1 2 2 25. S x y z      0,5 9 Không gian mẫu     ; | , , 2 4,0 2 x y x y x y         0,25                         , | 2 2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0 A x y x y             Suy ra       9 3 . 21 7 n A P A n     0,25 10 Đặt , , 0, 2 a b x y x y x y b c       Ta có     2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 x y P f x f y x x y y           Trong đó   2 2 2 1 4 t f t t t     với   0;2 . t  0,25                    2 2 2 2 2 4 2 1 1 13 16 1 104 29 3 29 3 1 8 2 16 2 2 8 16 8 29 3 1 . 16 2 t t t t t f t t t t t t t t t                      0,5 Vậy       29 2 3 3 16 P f x f y x y        Nên min 3P  khi 1 .x y a b c     0,25 Chú ý. H ọc sinh có th ể sử dụng tọa độ để giải b ài toán 6 như sau Chọn hệ trục tọa độ   ; , ,M MK MD MS    khi đó     3 ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 2 a a C D a S a             ,     3 ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 2 a a MC MD a MS a                    3 . 1 3 3 , . 2 4 S MCD a V V MC MD MS             -Ta có     3 3 0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ; 2 2 2 2 a a a a A a B AD a SB a                                  Vậy   , . 21 , . 7 , AD SB MS a d AD SB AD SB                    . của biểu thức 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 . 4 4 a b b c P a b ab b b c bc c         66 ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị