ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Trường THPT Chuyên Đại học Vinh – Thi thử lần 1) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 1 1 1 1 3 2 3 y x m x mx (1), m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi 2m . b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại là y CÑ thỏa mãn 1 y 3 CÑ . Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình cos3 cos 2 3 cos2 sinx x x x b) Giải phương trình 2 4 2 2 log log 2 1 log 4 3 x x x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 6 1 3 1 2 x I dx x . Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 2 z z i . Tìm phần thực và phần ảo của z . b) Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp đều .S ABC có 2SA a , AB a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , SB . Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ): 3 0P x y z và đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d . Tìm tọa độ giao điểm của P và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến P bằng 2 3 . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có ACD với 1 cos 5 , điểm H thỏa mãn điều kiện 2HB HC , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết 1 4 ; 3 3 H , 1;0K và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , ,A B C D . Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 3 2 5 4 1 2 4 x x x x x . Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 0 2x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 4 3 4 4 4 ln x y z P x y z x y z . HẾT. 44 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a.(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1) khi 2 m . ♥ Tập xác định: D ♥ Sự biến thiên: ￚ Chiều biến thiên: 2 ' 2 y x x ; ' 0 1 y x hoặc 2 x 0.25 + Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 ; + Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 2; . ￚ Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 1 x ; y CĐ 3 1 2 y + Hàm số đạt cực tiểu tại 2 x ; y CT 2 3 y , ￚ Giới hạn: lim x y và lim x y 0.25 ￚ Bảng biến thiên: x 1 2 ' y 0 0 y 3 2 3 0.25 ♥ Đồ thị: 0.25 b.(1,0 điểm). b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 1 1 1 1 3 2 3 y x m x mx có cực đại là y CÑ thỏa mãn 1 y 3 CÑ . ♥ Ta có: 2 ' 1 y x m x m 2 1 ' 0 1 0 x y x m x m x m 0.25 1 (2,0 điểm) ♥ Hàm số (1) có cực đại 1 m 0.25 ♥ Với 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 x y m m m ; Với 3 3 22 2 1 1 1 1 1 1 1 6 2 3 3 2 3 x m y m m m mm mm Với 1 m , ta có BBT x 1 m ' y 0 0 y CD y CT y Do đó: 1 1 1 1 y 1 3 1 3 2 3 3 CÑ m y m 0.25 Với 1 m , ta có BBT x m 1 ' y 0 0 y CD y CT y Do đó: 3 2 3 2 1 1 1 1 1 y 3 3 0 3 6 2 3 3 0 1 3 1 CÑ y m m m m m m m ♥ Vậy giá trị m thỏa đề bài là 1 3; 3 m . 0.25 a).(0,5 điểm). a) Giải phương trình cos3 cos 2 3 cos2 sin x x x x (1) ♥ Ta có: 1 2cos2 .cos 3cos2 .sin 0 x x x x cos2x cos 3sin 0 x x 0.25 cos2 0 4 2 k x x k 3 cos 3sin 0 tan 3 6 x x x x k k ♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ; 4 2 6 k x x k k . 0.25 b.(0,5 điểm). Giải phương trình 2 4 2 2 log log 2 1 log 4 3 x x x ♥ Điều kiện: 1 2 x Khi đó: 2 2 2 1 log log 2 1 log 4 3 x x x 2 2 2 log 2 log 4 3 x x x 0.25 2 (1,0 điểm) 2 2 5 3 0 x x (2) 0.25 1 2 3 x x Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trình đã cho là 3 x . Tính tích phân 6 1 3 1 2 x I dx x . . ♥ Đặt 2 3 3 2 t x x t dx tdt Đổi cận: 6 3 1 2 x t x t 0.25 ♥ Suy ra: 3 3 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 t t t I dt dt dt t t t 0.25 3 2 2 ln 1 t t 0.25 3 (1,0 điểm) 2 2ln2 ♥ Vậy 2 2 ln2 I . 0.25 a).(0,5 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 2 z z i . Tìm phần thực và phần ảo của z . ♥ Đặt z a bi , ,a b ta có: 2 3 2 2 3 2 z z i a bi a bi i 3 3 2 a bi i 0.25 1 2 a b ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 . 0.25 b).(0,5 điểm). b) Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. ♥ Số phần tử của không gian mẫu là . . 3 3 3 9 6 3 C C C 1680 0.25 4 (1,0 điểm) Gọi A là biến cố "3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau” Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là !. . . 2 2 2 A 6 4 2 3 C C C 540 ♥ Vậy xác suất cần tính là (A) A 540 9 P 1680 28 . 0.25 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp đều . S ABC có 2 SA a , AB a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , SB . ♥ Gọi O là tâm của tam giác đều ABC cạnh a . Do . S ABC là hình chóp đều nên SO ABC . Ta có 2 3 4 ABC a S và 3 3 a OA Xét SOA ta có: 2 2 2 2 2 2 11 33 4 3 3 3 a a a SO SA OA a SO 0.25 ♥ Vậy 2 3 . 1 1 33 3 11 . . . 3 3 3 4 12 S ABC ABC a a a V SO S 0.25 ♥ Gọi , , N I J lần lượt là trung điểm của các đoạn , , SC CH HM Do / / / / SB MN SB AMN . Suy ra: , ,( ) ;( ) 2 ;( d AM SB d B AMN d C AMN d I AMN Ta có: AM IJ AM IJN IJN AMN AM IN theo giao tuyến NJ Trong IJN , kẻ ;( IK NJ IK AMN d I AMN IK 0.25 ♥ Xét tam giác IJN ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 16 12 188 11 11 11 188 IK a IK IJ IN a a a Vậy 11 517 , 2 2. 188 47 a d AM SB IK a . 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ): 3 0 P x y z và đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y z d . Tìm tọa độ giao điểm của P và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến P bằng 2 3 . ♥ Tọa độ giao điểm M của của P và d là nghiệm của hệ phương trình 1 2 1 1 1;1;1 1 2 1 3 0 1 x x y z y M x y z z 0.25 ♥ Do 2; 2 1; A d A t t t 0.25 ♥ Khi đó: 2 2 2 ; 2 3 4 3 t t d A P t 0.25 6 (1,0 điểm) ♥ Vậy có hai điểm thỏa đề bài là 4; 5; 2 A hoặc 2;7;4 A . 0.25 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có ACD với 1 cos 5 , điểm H thỏa mãn điều kiện 2 HB HC , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết 1 4 ; 3 3 H , 1;0 K và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , , A B C D . ♥ Do KAD ∽ KHB 3 3 2 2 KA AB BC KA KH KH HB BH Do K thuộc đoạn AC 3 3 2 2 3 2 A K H K A K H K x x x x KA KH y y y y 2 2 2;2 A A A x y 0.25 ♥ Đặt ; B a b với 0 a , ta có: 2 1 cos cos cos . 5 5 5 2 AB AB AB ACD ABD BD KB KB 2 2 4 5 AB KB 2 2 2 2 4 2 2 5 1 a b a b 2 2 6 16 27 0 a b a b 0.25 ♥ Đường tròn C đường kính AH có tâm 7 1 ; 6 3 I , bán kính 1 5 5 2 6 R AB nên có phương trình là 2 2 7 1 125 : 6 3 36 C x y Do 0 90 ABC B C 2 2 7 1 125 6 3 36 a b 2 2 7 2 2 0 3 3 a b a b Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 1 6 16 27 0 3 5 7 2 8 0 2 0 3 3 5 a b a b a a b a b a b b . Suy ra: 3;0 B 0.25 Do 3 1, 2 2 BC BH C và 5 2,0 2 BD BK D ♥ Vậy 2;2 , 3;0 , 1; 2 , 2;0 A B C D 0.25 Giải bất phương trình 2 3 2 5 4 1 2 4 x x x x x (1) ♥ Điều kiện: 3 2 1 5 0 3 4 0 1 5 x x x x x Khi đó: 2 2 1 4 2 4 5 4 x x x x x 2 2 4 2 4 3 2 4 x x x x x x (2) 0.25 Trường hợp 1: Với 1 5 x thì 2 2 2 4 2 4 2 4 3 x x x x x x (3) Đặt 2 2 4 x x t x 0 t thì (3) trở thành: 2 4 3 0 1 3 t t t Suy ra: 2 2 4 1 3 x x x 2 2 4 0 7 4 0 x x x x 1 17 7 65 2 2 x 0.25 ♥ Trường hợp 2: Với 1 5 0 x thì 2 5 4 0 x x nên (2) luôn thỏa 0.25 8 (1,0 điểm) ♥ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: 1 17 7 65 1 5;0 ; 2 2 S 0.25 9 (1,0 điểm) Giả sử , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 0 2 x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 4 3 4 4 4 ln 4 x y z P x y z x y z ♥ Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 4 3 1 t t , 0;1 t Xét hàm số 4 3 1 t f t t , 0;1 t . Ta có: ' 4 .ln 4 3 t f t , 4 3 ' 0 log 0;1 ln 4 f t t Bảng biến thiên t 0 4 3 log ln4 1 ' f t 0 f t 0 0 4 3 log ln4 f Suy ra: 4 3 1 t t , 0;1 t 0.25 ♥ Ta có: 2 2 2 0 2x y y z z x 2 2 2 0 2 2 1x y z xy yz zx Suy ra: , , 0;1x y z . Dấu “=” xảy ra khi ; ; 1,0,0x y z hoặc các hoán vị. và 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x y z x y z xy yz zx x y z Do 4 3 1 t t , 0;1t 4 4 4 3 3 x y z x y z 0.25 ♥ Mặt khác: 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 ln ln 0x y z x y z x y z x y z 0.25 ♥ Từ đó ta có: 4 3 21 3 3 4 4 P x y z x y z Dấu “=” xảy ra khi ; ; 1,0,0x y z hoặc các hoán vị. Vậy 21 4 MaxP . 0.25 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 9: Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 0 18x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 3 3 3 1 4 4 4 108 x y z P x y z Đáp số: 21 4 MaxP . . lớn nhất của biểu thức 4 4 4 4 3 4 4 4 ln x y z P x y z x y z . HẾT. 44 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a.(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (