Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Hạ Long

1 CHUYÊN H Ạ LONG ĐỀ CHÍNH TH Ứ C ( Đề thi g ồ m 01 trang) ĐỀ KI Ể M TRA KI Ế N TH Ứ C L Ầ N 1 Môn: TOÁN Th ời gian làm bài:: 180 phút Câu 1 (4 đi ểm). Cho hàm s ố: 3 2 2 6 5y x x= − + − 1. Khả o sá t sự biế n thiên và vẽ đồ thị hà m số (C) củ a hàm số đă cho. 2. Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n của đồ thị (C) bi ế t ti ếp tuy ế n đó đ i qua A(-1;-13) Câu 2 (2 đ i ể m). Tí nh nguyên hàm dx x e x x ∫       + + 1 1 2 3 Câu 3 (2 điểm). 1. Giả i phương trình: 0 10 27 log3 log 3 = − + x x 2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 ng ười đi hát đồng ca. Tính xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam. Câu 4 (2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số x xxf − ++ = 63 1 3)( Câu 5 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 0 . Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) n ằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Câu 6 (2 điểm). Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B(3;2;2) và m ặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Vi ết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua A, B và vuông góc v ới mặt phẳng (P). Xác định hình chiếu vuông góc của A xu ống (P). Câu 7 (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3). 1. Vi ết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2. Tìm trên các cạnh AB , BC , CA các điểm K , H , I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất. Câu 8 (2 điểm). Giải hệ phương trình      − +=− − +−= +++ xxy yxy xyy xxy 26 825 123 1028 23 32 3 Câu 9 (2 điểm). Chứng minh rằng: Với mọi ABC ∆ ta đều có 9 3 sin sin sin cot cot cot 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C    + + + + ≥       HẾT 24 2 S Ơ L ƯỢ C Đ ÁP ÁN VÀ BI Ể U Đ I Ể M Câu N ộ i dung Đ i ể m Câu 1 Cho hà m s ố : ) ( 5 6 2 2 3 C x x y − + −= 1. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố 5 6 2 23 − + − = x x y TX Đ = R +∞ = −∞ = −∞→ ∞→= y y x x lim ; lim    = = ⇔ = + −= 2 0 0 ' 12 6 ' 2 x x y x x y ………………………………………………………………………………… x ∞ − 0 2 ∞ + y’ - 0 + 0 - y ∞ + 3 -5 ∞ − …………………………………………………………………………………… …. Hàm s ố đồ ng bi ế n trên )2;0( , hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên )2; ( −∞ và ( ) +∞ ;2 Đồ th ị hàm s ố có đ i ể m c ự c đạ i là A(2;3), có đ i ể m c ự c ti ể u là B(0;-5) 1 0 12 12 " = ⇔ = + − = x x y y” đổ i d ấ u khi x qua 1 đồ th ị hàm s ố có đ i ể m u ố n U(1;-1) Chính xác hóa đồ th ị : x 0 2 1 3 -1 y -5 3 -1 -5 3 Đồ th ị hàm s ố nh ậ n U(1;-1) làm tâm đố i x ứ ng 0,5 0.5 0,5 3 0,5 2. Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a đồ thị (C) bi ế t ti ế p tuy ế n đó đ i qua A(-1;-13) Gi ả s ử ti ế p tuy ế n c ầ n tìm ti ế p xúc v ớ i đồ th ị hàm s ố t ạ i )) ( ; ( 0 0 xf x B Phương trình tiếp tuyến tại B: ( ) ( ) ( ) ∆ − + − − + − = 5 6 2 12 6 2 0 3 0 0 0 2 0 x x x x x x y đ i qua A(-1;-13) ( ) ( )    −= = ⇔ = + − ⇔ 2 1 0 2 1 0 0 0 2 0 x x x x ……………………………………………………………………………………. Có hai tiếp tuyến cần tìm: 61 48 : 7 6 : 2 1 − − = ∆ − = ∆ x y x y 0,5 0,5 1 Câu 2 Tí nh nguyên hàm dx x e x x ∫       + + 1 1 2 3 A= dx x e x x ∫       + + 1 1 2 3 3 2 1 x x xe dx dx x = + + ∫ ∫ TÍnh A 1 = ∫ dx xe x 3 đặ t      = = ⇒    = = x x e v dx du dv dx e x u 3 3 3 1 1 3 3 3 3 9 1 3 1 3 1 3 1 C e xe dx e xe x x x x + − = − = ∫ ……………………………………………………………………………………. Tính A 2 = 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ln 1 1 2 1 2 xdx d x x C x x + = = + + + + ∫ ∫ V ậy 3 3 2 1 1 1 ln 1 3 9 2 x x A xe e x C = − + + + 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 4 Câu 3 1. Giả i ph ươ ng trì nh 0 10 27 log 3 log 3 = − + x x Đ i ề u ki ệ n: 1 0 ≠ < x Ph ư ng trình tr ở thành: 0 10 log 9 log 3 3 = − + x x    = = ⇔    = = ⇔ 9 3 3 3 3 9 log 1 log x x x x 0,25 0.25 0.5 2. M ộ t độ i v ă n ngh ệ có 15 ng ườ i g ồ m 9 nam và 6 n ữ . Chọ n ng ẫ u nhiên 8 ng ườ i đ i há t đồ ng ca. Tí nh xá c su ấ t d ể trong 8 ng ườ i đượ c chọ n có s ố n ữ nhi ề u h ơ n s ố nam. S ố cách ch ọ n ra 8 ng ườ i là: 6435 8 15 = C S ố cách ch ọ n ra 8 ng ườ i mà s ố n ữ nhi ề u h ơ n s ố nam là: 540 . . 2 9 6 6 3 9 5 6 = + C C C C ……………………………………………………………………………………. Xác su ấ t để ch ọ n đượ c 8 ng ườ i th ỏ a mãn là: 143 12 6435 540 = 0,25 0.5 0,25 Câu 4 Tì m giá trị l ớ n nh ấ t, giá trị nhỏ nh ấ t củ a hà m s ố x x xf − + + = 6 3 1 3 )( TX Đ =       − 6; 3 1 x x x f − − + = 6 2 3 1 3 2 3 )(' xác đị nh trên       − 6; 3 1       − ∈ = ⇔ = 6; 3 1 4 5 0 )(' x x f ……………………………………………………………………………………. ( ) 19 2 4 5 19 6 57 3 1 =       = =       − f f f V ậ y 19 )6( )( min 6; 3 1 = =       −∈ f x f x 19 2 4 5 )( max 6; 3 1 =       =       −∈ f x f x 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 Câu 5 Cho hì nh chó p S.ABC có cá c m ặ t ABC và SBC là nh ữ ng tam giá c đề u cạ nh a. Gó c gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng ( SBC ) và ( ABC ) là 60 0 hình chi ế u vuông góc c ủ a S 5 xu ố ng (ABC) n ằ m trong tam giác ABC. Tí nh th ể tí ch kh ố i chó p S.ABC theo a và tí nh khoả ng cá ch t ừ B đế n m ặ t ph ẳ ng (SAC). Gọi M là trung điểm của BC L ậ p lu ậ n đượ c góc gi ữ a (SBC) và (ABC) là góc ∠ SMA = 60 0 SAM đề u c ạ nh b ằ ng 16 3 3 2 3 2 a SAM dt a = ∆ ⇒ 16 3 . . 3 1 3 . a SAM dt BC V ABCS = ∆ = ……………………………………………………………………………………. 16 39 2 3 . 4 13 . 2 1 2 a a a SAC dt = = ∆ 13 13 3 16 39 .16 3 .3 3 )) (;( 2 3 . a a a SAC dt V SAC B d SACB = = ∆ = 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 6 Cho A(2;1;1), B(3;2;2) và m ặ t ph ẳ ng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α đ i qua AB và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P). Xác đị nh hình chi ế u vuông góc c ủ a A xu ố ng (P). Ch ọ n )1;6;7 ( − = ∧ = β α n AB n ⇒ phương trình mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) 0111627: = − + − + − − zyx α Hay 0 7 6 7 = + + + − z y x …………………………………………………………………………………… G ọ i A’(x 0 ;y 0 ;z 0 ) là hình chi ế u vuông góc c ủ a A xu ố ng m ặ t ph ẳ ng (P),Ta có: ' ( ) A P ∈ và ', P AA n   cùng ph ươ ng.       ⇒      − − = − = − = − − + ⇔ 3 1 ; 15 19 ; 15 32 ' 5 1 2 1 1 2 0 3 5 2 0 0 0 0 0 0 A z y x z y x 0,5 0,5 0,5 0,5 6 Câu 7 Cho tam giá c ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3). a)Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC. G ọ i ph ươ ng trình đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC là 2 2 2 2 2 2 0,( 0). x y ax by c a b c + + + + = + − > Ta có 4 36 4 12 0 1 1 2 2 0 36 9 12 6 0 139 147 240 ; ; 46 46 23 a b c a b c a b c a b c + + + + =   + + + + =   + + + + =  − − ⇒ = = = (th ỏa mãn) V ậy pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2 2 139 147 240 0. 23 23 23 x y x y + − − + = b) Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất. A(2;6), B(1;1), C(6;3) Ta có: ( 1; 5); (4; 3); (5;2) 26; 5; 29AB AC BC AB AC BC− − − ⇒ = = =       BC AB AC A C B > > ⇒ > > , mà cos 0 A > ABC nhọn. G ọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có: AE AH AF = = , suy ra tam giác AEF cân tại A và   2 EAF A = . Chu vi HIK KE KJ IF EF ∆ = + + ≥ . G ọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có .sin sin ME AE A AH A = = , Suy ra: Chu vi tam giác HKI là 0,5 0,25 0,25 0,25 7 KE KJ IF EF + + ≥ 2 EF 2sin . 2sin . ( , ) dt ABC A AH A d A BC R ∆ = ≥ = D ấ u “=” x ả y ra ⇔ H là chân đườ ng cao k ẻ t ừ A xu ố ng BC và K,I là giao đ i ể m c ủ a EF v ớ i AB, AC. …………………………………………………………………………………… Ta ch ứ ng minh:    IHF CHF A + = . Có:          0 0 1 (180 2 ) 90 2 IHF AHF AHI AHF AFI AHF A C A = − = − = − − = − +   0 90 FHC C = − , suy ra :    IHF CHF A + = , suy ra t ứ giác ABHI nội tiếp, suy ra   0 90 AIB AHB = = , suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương t ự có K là chân đường cao của C xuống AB. Ph ương trình các đường thẳng ( ):5 4 0;( ):3 4 30 0;( ):2 5 3 0 ( ):5 2 22 0;( ):4 3 1 0;( ): 5 21 0 AB x y AC x y BC x y AH x y BI x y CK x y − − = + − = − + = + − = − − = + − = Suy ra:                   25 117 ; 25 94 26 101 ; 26 41 29 59 ; 29 104 I K H 0,25 0,25 0,25 Câu 8 Giả i h ệ ph ươ ng trì nh      − + = − − + − = + + + x xy y x y xy y x x y 2 6 8 2 5 12 3 10 2 8 2 3 3 2 3 Đ iều kiện: [ ] 2;2 − ∈ x Nh ận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) ( ) (*) 2 3 2 2 3 2 )2( 3 3         +         = − + − ⇔ y y x x Xét hàm s ố tttf 3)( 3 += trên R hàm số đồng biến trên R ( ) y x y f x f 2 2 2 2 (*) = − ⇔         = − ⇔ thế vào (1) (**) 0 10 3 4 4 2 6 2 3 2631022423 12 3 10 2 8 2 3 )1( 2 = − + − + − − + ⇔ −+−=−+++⇔ + − = + + + ⇔ x x x x xxxxx xy y x x y Đặt 2 2 4 4 3 10 2 2 2 x x t t x x − − − = ⇒ = − − + 0,5 0,5 0,5 8 Ph ươ ng trình (**) tr ở thành    = = ⇔ = − 3 0 0 3 2 t t t t - V ớ i t=0: 5 5 6 = = y x - V ớ i t=3: 2 2 2 3 x x + − − = , ph ươ ng trình vô nghi ệ m, vì v ế trái 2 ≤ 0,25 0,25 Câu 8 Ch ứ ng minh r ằ ng: V ớ i mọ i ABC ∆ ta đề u có 2 3 9 2 cot 2 cot 2 cot 2 sin 2 sin 2 sin ≥       + +       + + C B A C B A Ta có : , , 0; 2 2 2 2 A B C π   ∈     nên sin ,sin ,sin ,cos , os ,cos 0 2 2 2 2 2 2 A B C A B A c > 0 2 sin 2 sin 2 sin 3 2 sin 2 sin 2 sin 3 ≥ ≥ + + C B A C B A …………………………………………………………………………………… cot cot cot 2 2 2 sin (sin cos sin cos ) 2 2 2 2 2 2sin sin sin 2 2 2 sin (sin cos sin cos ) 2 2 2 2 2 2sin sin sin 2 2 2 sin (sin cos sin cos ) 2 2 2 2 2 2sin sin sin 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2sin sin sin 2 2 A B C A B C C B A B C B A C C A A B C C A B B A A B C A A B B C C A B C + + + = + + + + + + = 3 2 sin cos .sin cos .sin cos 2 2 2 2 2 2 3 2sin sin sin 2 2 2 A A B B C C A B C ≥ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………. 3 2 cot 2 cot 2 cot 2 9 2 cot 2 cot 2 cot 2 sin 2 sin 2 sin C B A C B A C B A ≥       ++       ++ 0,5 9 L ạ i có 3 3 2 cot 2 cot 2 cot ≥ C B A ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………… 2 3 9 2 cot 2 cot 2 cot 2 sin 2 sin 2 sin ≥       + +       + + CB A C B A Dấu “=” xảy ra ABC đều 0,5 0,5 0,5 . 6 0 139 147 240 ; ; 46 46 23 a b c a b c a b c a b c + + + + =   + + + + =   + + + + =  − − ⇒ = = = (th ỏa mãn) V ậy pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2 2 139 147 240 0. 23 23. 9 3 sin sin sin cot cot cot 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C    + + + + ≥       HẾT 24 2 S Ơ L ƯỢ C Đ ÁP ÁN VÀ BI Ể U Đ I Ể M Câu N ộ i dung Đ i ể m Câu 1 Cho hà m s ố :. ( ) y x y f x f 2 2 2 2 (*) = − ⇔         = − ⇔ thế vào (1) (**) 0 10 3 4 4 2 6 2 3 26310 2242 3 12 3 10 2 8 2 3 )1( 2 = − + − + − − + ⇔ −+−=−+++⇔ + − = + + + ⇔ x x x x xxxxx xy y x x y