Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

0 Câu1(2,0điểm). Cho hàmsố. 2 1 x y x = - a)Khảosátsựbiến thiênvàvẽđồth ị ( ) C củahàmsố. b)Xácđịnh m để đườngthẳng : 2d y mx m = - + cắt ( ) C tạihaiđiểmphânbiệt ,A B sao chođộdài AB ngắnnhất. Câu2(1,0điểm). Giảiphương trình: sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + + Câu3(1,0điểm). Tính ln 6 0 3 3 2 7 x x x e I dx e e = × + + + ò Câu4(1,0điểm). a) Giảiphươngtrình: 1 3 18.3 29 x x + - + = b) Tínhtổng 1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L Câu5(1,0điểm). Chohìnhchóp .S ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a ,hìnhchiếuvuônggóccủa S lên mặt phẳng ( ) ABCD trù ng với trọng tâm củ a tam giác ABD, cạnh SB tạo với mặt phẳng ( ) ABCD một góc 0 60 .Tínhtheo a thểtíchkhốichóp .S ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđường thẳng SA vàCD . Câu6(1,0điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2 : 9 18 0T x y x y + - - + = và hai điểm ( ) 4;1A ( ) , 3; 1B - .Gọi ,C D làhaiđiểmthuộc ( ) T sao cho ABCD là mộthìnhb ìnhhành.Viết phươngtrìnhđườngthẳng CD . Câu7(1,0điểm). Trongkhônggian Oxyz ,chohaimặtphẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - = Viếtph ươngtrìnhmặtphẳng ( ) R vuônggócvới ( ) P và ( ) Q đồngthờikhoảngcáchtừgốctọa độ O đến ( ) R bằng 2. Câu8(1,0điểm). Giải hệ phươngtrình: 3 3 2 2 6 3 3 4 6 19 2 3 4 3 5 14 x y x y x x y x y ì - + - = + ï í + + = + + + ï î . Câu9(1,0điểm). Cho , ,a b c làcácsốthựcdương thỏamãn 2 2 2 1a b c + + = .Chứngminhbấtđẳngthức: ( ) 1 1 1 2 3a b c a b c æ ö + + - + + ³ ç ÷ è ø  Hết Thísinhkhô ngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhôngg iải thíchgìthêm. SỞGD&ĐT TRƯỜNGTHPT CHUYÊNVĨNHPHÚC ĐỀKHẢOSÁTCHẤTLƯỢNG CÁCMÔNTHITHPTQUỐCGIALẦN3NĂMHỌC2014 -2015 MÔN:TOÁNKHỐI:12D Thờigian180phút(Khôngkểthờigiangiaođề) Đềthigồm01trang 22 1 TRNGTHPTCHUYấNVNHPHC. (Hngdnchmcú5trang) HNGDNCHMKSCL LN3 NM2015 Mụn:TON 12D I.LU íCHUNG: Hngdnchmchtrỡnhbymtcỏc hgiivinhn gýcbnphicú.Khichmbihcsinhlm theocỏchkhỏcnuỳngvýthỡvnchoimtia. imton bitớnhn0,25vkhụnglmtrũn. Vibihỡnhhckhụnggiannuthớsinhkhụngvhỡnhhocvhỡnhsaithỡkhụngchoimtng ngviphnú. II.PN: Cõu í Nidungtrỡnhby im a Chohms. 2 1 x y x = - a)Khosỏtsbinthiờnvvth ( ) C cahms 1,0 ồ ã Tpxỏcnh:Hms 2 1 x y x = - cútpxỏcnh D = { } \ 1Ă . ã Chiubin thiờn. ohm: ( ) 2 2 ' 0, 1 1 y x x - = < " ạ ị - Hmsnghchbi ntrờncỏckhong ( ) 1 -Ơ v ( ) 1 . +Ơ Hmskhụngcúcctr. 0,25 Giihn timcn: 1 1 2 2 2 lim 2 lim lim . 1 1 1 x x x x x x x x x + - đƠ đ đ = = +Ơ = -Ơ - - - thhmscú: timcnngang 2y = , timcn ng 1x = Bngbinthiờn: x 1 -Ơ + Ơ y  - - y 2 +Ơ -Ơ 2 0,25 0,25 ã th: (hcsinhtvhỡnh) Nhnxột:giao im cahaitimcn ( ) 11I l tõmixng.cat h 0,25 b Xỏc nh m ngthng : 2d y mx m = - + ct ( ) C tihaiimphõnbit ,A B sao chodi AB ngnnht. 1, 0 ồ Phngtrỡnhhonh giaoimchunggia ( ) ( ) &C d l: 2 2 1 x mx m x = - + - ( ) ( ) 2 1 2 2 0 * x g x mx mx m ạ ỡ ù ớ = - + - = ù ợ 0,25 1 d ct ( ) C tihaiimphõnbit ,A B phngtrỡnh ( ) * cú 2 nghimphõnbitkhỏc ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 0 ** 1 2 2 0 m m m m m g m m m ỡ ạ ù  D = - - > > ớ ù = - + - ạ ợ Khiú ( ) ( ) { } C d A B ầ = ạ .Gi ( ) ( ) 1 1 2 2 2 , 2A x mx m B x mx m - + - + vi 1 2 ,x x l 0,25 2 nghiờmphngtrỡnh ( ) * theonhlớviộttacú 1 2 1 2 2 2 . x x m x x m + = ỡ ù ớ - = ù ợ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1AB x x mx mx m x x ị = - + - = + - ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 4AB m x x x x ộ ự ị = + + - ở ỷ 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 1 1 2 4 1 8 16 m AB m m m m m m ộ ự - ổ ử ổ ử = + - = + = + ỗ ữ ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ố ứ ở ỷ 4AB ị dubngxyra 1m = . Vykhongcỏch AB ngnnhtbng 4 1m = 0,25 Giiphngtrỡnh : sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + + 1,0 ồ Phng trỡnh 4sin cos cos 2 2 2cos 2 cos 4sinx x x x x x + = + 0,25 ( ) 2sin 1 cos 2 cos cos 2 cos 1 0x x x x x - + - = ( )( ) 1 sin 2sin 1 1 cos 2 cos 0 2 1 cos 2 cos 0 x x x x x x ộ = ờ - - = ờ - = ở 0,25 + ( ) 1 5 sin 2 , 2 , 2 6 6 x x k x k k p p = = + p = + p ẻ + ( ) ( ) 3 2 1 cos2 cos 0 2cos cos 1 0 cos 1 2cos 2cos 1 0x x x x x x x - = - - = - + + = ( ) cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k - = = = p ẻ 0,25 2 Vyphng trỡnh cú ba hnghim: ( ) 5 2 , 2 , 2 , 6 6 x k x k x k k p p = + p = + p = p ẻ 0,25 Tớnh ln6 0 3 3 2 7 x x x e I dx e e = ì + + + ũ 1,0 ồ t 3 x e t + = .Khiú 2 3 2 x x e t e dx tdt = - ị = . icnKhi 0 2x t = ị = ,khi ln 6 3x t = ị = 0,25 Suyra ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 7 t t I dt dt t t t t = ì = ì + + + - + ũ ũ 0,25 ( )( ) 3 3 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 t I dt dt t t t t ổ ử = ì = - ì ỗ ữ + + + + ố ứ ũ ũ 0,25 3 ( ) ( ) 3 3 2 2 80 2ln 1 ln 2 1 2ln 4 2 ln 3 ln 7 ln 5 ln 63 t t = + - + = - - - = 0,25 a Giiphngtrỡnh: 1 3 18.3 29 x x + - + = 0,5 ồ PT ( ) 2 18 3.3 29 3.3 29.3 18 0 1 3 x x x x + = - + = t ( ) 3 0 x t t = > . Thvopt ( ) 1 tacphngtrỡnh: ( ) 2 3 29 18 0 2t t - + = Gii ( ) 2 2 9, 3 t t ị = = 0,25 4 + 2 9 3 9 3 2 x t x = ị = = = + 3 2 2 2 3 log 3 3 3 x t x = ị = = 0,25 3 Vyphng trỡnh cú hainghim 3 2 2, log 3 x x = = b Tớnhtng 1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L 0,5 ồ Shngtng quỏtcadóytrờn l 2015 k k C ì vi 1, 2015k = , ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2015 2014 2015! 2014! 2015 2015 , 1,2015 ! 2015 ! 1 ! 2014 1 ! k k k C k C k k k k k - ì = ì = ì = ì " = - - - - 0,25 pdng: ( ) 0 1 2 2014 2014 2014 2014 2014 2015S C C C C = ì + + + + L ( ) 2014 2014 2015 1 1 2015 2S = ì + = ì Chỳý. Hcsinh cú thựngohm cahmstớnhtng S 0,25 Chohỡnhchúp .S ABCD cúỏy ABCD lhỡnhvuụngcnh a ,.Tớnhtheo a th tớchkhichúp .S ABCD vkhongcỏchgiahaingthng SA v CD . 1,0 ồ Hỡnh v( hcsinhtv) Gi H ltrngtõmtam giỏc ABD ( ) ã ( ) ( ) 0 , , 60SH ABCD SBH SB ABCD ị ^ = = Gi { } O AC BD = ầ .Ta cú 2 2 2 1 2 5 , 2 3 6 3 a a a OA OB OH OA BH OB OH = = = = ị = + = 0,25 5 Trongtamg iỏc SBH ta cú 3 0 2 . 15 1 15 .tan 60 , . 3 3 9 ABCD S ABCD ABCD a a SH BH S a V SH S = = = ị = = 0,25 Xỡ ( ) AB CD CD SAB ị nờnta cú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3 , d CD SA d CD SAB d D SAB d H SAB = = = { } ,DH AB M HM AB M ầ = ị ^ ltrungim AB ( ) ( ) ( ) AB SHM SAB SHM ị ^ ị ^ theogiaotuyn SM . K HK SM ^ ị ( ) HK SAB ^ ( ) ( ) ,HK d H SAB ị = ,( K SM ẻ ) 0,25 1 1 1 2 3 3 2 2 a HM HA a ổ ử = = = ỗ ữ ố ứ , 2 2 2 15 1 1 1 3 a SH HK HM SH = ị = + 2 2 2 1 9 16 15 15 12 a HK HK a a ị = + ị = . Võy khong cỏchgiahaingthng SA v CD bng 15 12 a 0,25 Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn ( ) 2 2 : 9 18 0T x y x y + - - + = sao cho ABCD lmthỡnhbỡnhhnh.VitphngtrỡnhngthngCD . 1,0 ồ Ta cú ( ) 2 2 1 9 10 : 2 2 4 T x x ổ ử ổ ử - + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ nờn ( ) T cú tõm 1 9 2 2 I ổ ử ỗ ữ ố ứ bỏn kớnh 10 2 R = 0,25 6 ( ) 1 2 , 5AB AB = - - = uuur , v ( ) : 2 7 0AB x y - - = . ngthng ( ) : 2 0CD AB CD x y m ị - + = ( iukin 7m ạ - ) 0,25 Khongcỏcht I n CD l 2 7 2 5 m h - = v ( ) 2 2 2 2 7 5 2 2 2 20 m CD R h - = - = - 0,25 4 Ta có ( ) ( ) 2 2 6 2 7 5 2 5 2 7 25 1 2 20 m m CD AB m m = - é = Û - = Û - = Û ê = ë thỏamãn ( ) 6 :2 6 0m pt CD x y · = - + = ( ) 1 : 2 1 0m pt CD x y · = - + = Cóhaiđườngthẳngthỏamãn: 2 6 0; 2 1 0x y x y - + = - + = 0,25 …chohaimặtphẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - = .Viếtphươngtrìnhmặt phẳng ( ) R vu ông góc với ( ) P và ( ) Q đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) R bằng 2. 1,0 å ( ) ( ) : 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - = VTPT củamặtphẳng ( ) P là ( ) 1 1;1;1n = r ,VTPT củamặtphẳng ( ) Q là ( ) 2 1; 1;1n = - r , VTPT củamặtphẳng ( ) R là n r . 0,25 7 Giảthiết ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 2 2 1 , 1;0; 1 2 R P n n n n n n n R Q ^ ì ^ ì ï Þ Þ = = - í í ^ ^ î ï î r r r r r r r Dođó mặtphẳng ( ) : 0R x z m - + = 0,25 Mà ( ) ( ) ; 2 2 2 2 2 m d O R m = Û = Û = ± 0,25 Khi 2 2m = ta cómặtphẳng ( ) : 2 2 0R x z - + = Khi 2 2m = - ta có mặtphẳng ( ) : 2 2 0R x z - - = 0,25 Giảihệphươngtrình: ( ) ( ) 3 3 2 2 6 3 3 4 1 6 19 2 3 4 3 5 14 2 x y x y x x y x y ì - + - = + ï í + + = + + + ï î . 1,0 å Đkiện 4 3 14 5 x y ì ³ - ï ï í ï ³ - ï î . pt ( ) 1 Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 1 3 1 3 1 1 1 3 0x x y y x y x x y y > é ù ê ú - + - = + Û - - - + - + + = é ù ë û ê ú ë û 14444244443 ( ) ( ) 1 0 1 3x y y x Û - - = Û = - 0,25 8 Thế ( ) 3 vào ( ) 2 tađược: 2 6 13 2 3 4 3 5 9x x x x + + = + + + ( ) 4 Đ/K 4 3 x ³ - ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 3 5 9 0x x x x x x é ù é ù Û + + + - + + + - + = ë û ë û 0,25 ( ) 2 2 2 2 3 0 2 3 4 3 5 9 x x x x x x x x x x + + Û + + × + × = + + + + + + ( ) 2 0 2 3 1 0 2 3 4 3 5 9 x x x x x x > é ù ê ú Û + + + = ê ú + + + + + + ê ú ë û 144444424444443 0,25 5 ( ) ( ) 3 2 3 0 1 0 1 2 x y x x x y é = ¾¾® = - Û + = Û ê = - ¾¾® = - ê ë ( thỏa mãnđiềukiện) Vậyhệ phương trình cóhainghiệm ( ) ( ) ( ) { } ; 0; 1 , 1; 2x y = - - - 0,25 Cho , ,a b c làcácsốthựcdươngthỏamãn 2 2 2 1a b c + + = .Chứngminhbất đẳngthức ( ) 1 1 1 2 3a b c a b c æ ö + + - + + ³ ç ÷ è ø 1,0 å Nhậnxét: ( ) 2 1 4 3 2 3 , 1 3 a a a - + ³ - + vớimọi 0 1a < < dấubằngkhi 3 3 a = thật vậy ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 6 3 4 3 0 3 1 2 3 0a a a a a Û - - + ³ Û - + ³ luôn đúng với mọi 0 1a < < dấubằngkhi 3 3 a = 0,25 0,25 9 Tươngtự: ( ) 2 1 4 3 2 3 , 2 3 b b b - + ³ - + dấu bằngkhi 3 3 b = ( ) 2 1 4 3 2 3 , 3 3 c c c - + ³ - + dấubằngkhi 3 3 c = 0,25 Từ: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 3 2 3 3 3 a b c a b c a b c æ ö - + + + + + ³ - + + + × ç ÷ è ø ( ) 1 1 1 2 3a b c a b c æ ö Û + + - + + ³ ç ÷ è ø .Dấubằngxẩyrakhi 3 3 a b c = = = 0,25 Chúý: đểtìmravếphảicủa (1) tasửdụngphương pháptiếptuyến . -2015 MÔN:TOÁNKHỐI:12D Thờigian180phút(Khôngkểthờigiangiaođề) Đềthigồm01trang 22 1 TRNGTHPTCHUYấNVNHPHC. (Hngdnchmcú5trang) HNGDNCHMKSCL LN3 NM2015 Mụn:TON 12D I.LU íCHUNG: Hngdnchmchtrỡnhbymtcỏc