Có một quả bóng hình cầu ñặc ñường kính 20cm ñược ñặt ñứng yên trên mặt phẳng nằm ngang.. Người ta lấy một chiếc nón úp vào quả bóng thì thấy ñáy nón vừa chạm với mặt phẳng nằm ngang và
Trang 1TRƯỜNG THPT LÊ XOAY
NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 Cho hàm số
2 1
x y x
=
− (C)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
b Tìm k ñể ñường thẳng ñi qua ñiểm A(5;1
3) có hệ số góc k tiếp xúc với (C)
Câu 2 Giải phương trình lượng giác: 2
2 cos 3 sin 1 2 sin 3 2
x
Câu 3 Giải phương trình:
1 2
4 log x −log x −20=0
Câu 4 Tính hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển của biểu thức
12 2
x x
= −
Câu 5 Có một quả bóng hình cầu ñặc ñường kính 20cm ñược ñặt ñứng yên trên mặt
phẳng nằm ngang Người ta lấy một chiếc nón úp vào quả bóng thì thấy ñáy nón vừa
chạm với mặt phẳng nằm ngang và các ñường sinh của mặt nón cũng vừa tiếp xúc với bề
mặt của quả bóng Biết rằng ñộ rộng của góc ở ñỉnh nón là 600 Tính thể tích của khối
nón giới hạn bởi chiếc nón và mặt phẳng nằm ngang và tính thể tích phần không gian bên
trong khối nón mà không bị quả bóng chiếm chỗ
Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Hình
chiếu của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao ñiểm I của AC và BD Mặt bên
(SAB) hợp với ñáy một góc 600 Biết rằng AB = BC = a, AD =3a, Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SAB) theo a
Câu 7 Trên mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC Đường phân giác
trong góc A có phương trình d x: −y+ 2 = 0, ñường cao hạ từ B có phương trình
' : 4 3 1 0
d x+ y− = Biết hình chiếu của C lên AB là ñiểm H(-1;-1) Tìm tọa ñộ các ñiểm A,
B , C
Câu 8 Giải hệ PT ( )
3 2
1
, ( , ).
x y
∈
Câu 9 Cho ba số dương a b c, , thay ñổi và thỏa mãn a+ +b c= 2 Tìm GTLN của biểu
thức
S
-Hết - Thí sinh không ñược dùng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………SBD:………
40
Trang 2Hướng dẫn chấm và ñáp án
I Hướng dẫn chấm
II II Đáp án chi tiết
Cho hàm số
2 1
x y x
=
• TXĐ \ 1
2
=
• lim 1
2
→±∞
= , ñồ thị có TCN 1
2
y = ;
lim ; lim
→ →
= +∞ = −∞, ñồ thị hàm số có
2
x =
•
1
2 1
x
= − ⇒ < ∀ ∈
0.25
• BBT
x −∞ 1/2 +∞
y' - -
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 , 1;
0.25
1a
• Đồ thị
Đồ thị nhận 1 1;
2 2
I
là tâm ñối xứng
0.25
3) có hệ số k tiếp xúc với (C) 1.0
1b
Đường thẳng ñi qua A có hệ số góc k có pt: ( 5) 1 ( )
3
1
2
−∞
+∞
Trang 3∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình
1 5
1
2 1
x
k x x
k x
−
−
có nghiệm 0.25
2
2
1
(2)
2 1
x
x
k x
−
−
⇔
2
1
3
4 2
x
x
= −
⇔
=
0.25
81
x= − ⇒k = −
9
x= ⇒ = −k
KL:
0.25
2 cos 3 sin 1 2 sin 3 2
x
π
k
π
0.25
2
Giải phương trình
1 2
4
3
PT⇔4 log x −2 log x −20=0⇔2 log x −log x −10=0
Đặt t=log2 x ta ñược PT 2
2
2
t
t t
t
= −
=
Trang 4Với 2 log2 2 1 1.
t= − ⇒ x = − ⇔ x = ⇔x= ±
t= ⇒ x= ⇔ x = ⇔ = ±
0.25
KL: Phương trình có 4 nghiệm 1; 1; 32, 32.
12 2
x x
= −
12
12 12
2
k
k k
x x
−
Số hạng chứa 7
x ứng với k thỏa mãn 12 5 7 2.
4
Vậy hệ số ñó là 2 ( )2
12 2 264
Có một quả bóng hình cầu ñặc ñường kính 20cm ñược ñặt ñứng yên trên mặt
phẳng nằm ngang Người ta lấy một chiếc nón úp vào quả bóng thì thấy ñáy nón
vừa chạm với mặt phẳng nằm ngang và mặt xung quanh của nón cũng vừa
của khối nón giới hạn bởi chiếc nón và mặt phẳng nằm ngang và tính thể tích
phần không gian bên trong khối nón mà không bị quả bóng chiếm chỗ
1.0
Giả sử cắt hệ hình ñó bằng một mặt phẳng ñi
qua trục của nón ta ñược thiết diện như hình vẽ
Trong ñó ∆ABC là tam giác ñều và là thiết diện
của khối nón Hình tròn tâm I là thiết diện của
quả bóng
Ta nhận thấy ∆ABC ngoại tiếp ñường tròn tâm
Hình nón có chiều cao là OH = 3IH = 30 (cm)
Bán kính ñáy nón là 30 10 3 ( )
3
1
.30 .300 3000
5
Thể tích phần không gian bên trong khối nón không bị quả bóng chiếm chỗ là
( )
2
Trang 5Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Hình
chiếu của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao ñiểm I của AC và BD
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SAB) theo a
1.0
Gọi K là hình chiếu của I lên AB
60
SKI =
0.25
Do IK/ /AD KI BI
AD BD
ID = AD = a = ⇒ BI ID = ⇒ BD =
3
0.25
Gọi H là hình chiếu của I lên SK Ta có AB IK AB IH
AB SI
Từ ñó suy ra IK ⊥(SAB)⇒d I SAB( , ( ))=IK
Mà do DB=4IB⇒d D SAB( , ( ))=4d I SAB( , ( ))=4IH.
0.25
6
Lại có 12 12 12 162 162 642 3 3.
a IH
IH = IS +IK = a + a = a ⇔ =
Vậy ( , ( )) 3 3.
2
a
d D SAB =
0.25
7
Trên mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñường phân giác
ñỉnh A, B, C
1.0
Trang 6Gọi K là ñiểm ñối xứng với H qua ñường phân giác trong góc A Khi ñó K thuộc
ñường thẳng AC Đường thẳng HK có
phương trình
2 0
x+y+ = Gọi I là giao ñiểm của HK và
ñường phân giác trong góc A thì I có tọa ñộ là
2; 0
I
I là trung ñiểm HK nên suy ra K −( 3;1)
0.25
Khi ñó AC là ñường thẳng qua K và vuông góc với d’
Suy ra AC: 3(x+3)−4(y−1)=0⇔3x−4y+13=0
A
0.25
x y
B có tọa ñộ thỏa mãn
0
0, 1
3
x
x y
B
=
+ − =
0.25
HC có phương trình 3(x+1)+4(y+1)=0⇔3x+4y+7=0
C có tọa ñộ thỏa mãn hệ pt:
10
,
4
x
C
y
= −
0.25
Giải hệ PT
3 2
1
, ( , ).
x y
∈
ĐKXĐ ∀ ∈x .
xy x+ =x +y + −x y⇔x −x y+y −xy+ −x y=
( ) ( 2 )
2
1 0
1
y x
y x
=
= +
0.25
8
1
y=x + thay vào PT thứ 2 ta ñược
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
3 x + 1 2 + 9x + 3 + 4x + 6 1 + +x x + 1 = 0 Dễ thấy PT vô nghiệm
Với y=x thay vào PT thứ 2 ta ñược ( 2 ) ( ) ( 2 )
3x 2 + 9x + 3 + 4x+ 2 1 +x+x + 1 = 0
0.25
Trang 7( ) ( ) ( ( ) )
2 2
2 2
f t =t t + + ta có
2 2
2
2
t
t
+
suy ra hàm số ñồng biến
0.25
Từ ñó suy ra 3 2 1 1.
5
x= − x− ⇔x= − Vậy HPT có nghiệm ( ; ) 1; 1 .
5 5
= − −
thức
S
Ta có
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
a+c =b+c
0.25
a b b c c a S
a b b c c a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2.
3
a=b=c=
0.25
9