Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Nguyễn Trung Thiên

SỞGDĐTHÀTĨNH THPTNGUYỄNTRUNGTHIÊN TỔTOÁN  ĐỀTHITHỬKÌTHITHPTQUỐCGIANĂM2015 MônTOÁN(Lần2) Thờigianlàmbài:180phút Câu1(2,0điểm).Chohàmsố 3 2 6 9 1y x x x = - + - (1) a)Khảosát sựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsố(1). b)T ìmcá cgiá trịcủathamsốm đểph ươngtrìnhsaucónghiệmduynhất: 3 2 1 9 3 0 2 2 x x x m - + - = . Câu2(1,0điểm). a) Giảiphươngtrình: sin3 3 cos3 2sin 0x x x + - = . b)Giảiphươngtrình: 1 1 3 9. 4 0 3 x x + æ ö + - = ç ÷ è ø . Câu3(1,0điểm).Tínhtíchphân ( ) ( ) 1 2 0 1 2 x I x e dx = - + ò . Câu4(1,0điểm). a)Tìm phầnthự cv àph ần ảocủasốphức z,biết: ( ) 1 2 10 4z i z i - + = - . b)Chosố nguyênd ương n thoảmãn: 1 2 2 0 n n C C n - + = .Tìmsốhạngchứa 5 x trongkhaitr iển 3 2 n x x æ ö - ç ÷ è ø ,với ( ) 0x ¹ . Câu5(1,0điểm).Chohìnhchóp .S ABC cóđáylàtamgiácvuôn gtại B , 3BC a = , 10AC a = . Cạnhbên SAvuônggócv ớiđáy.Góc giữamặtphẳng ( ) SBC vàmặtphẳng ( ) ABC bằng 0 60 . TínhthểtíchkhốichópS.ABCvàkho ảngcáchgiữahai đườngthẳng SM và AC theo a ,biết M làđiểmtrênđoạn BC saocho 2MC MB = . Câu6(1,0điểm).Trongmặt phẳngvớihệtọađộOxy.Viếtphương trìnhcáccạnhcủahìnhvuông ABCD ,biếtr ằngcácđườngthẳng AB, CD , BC và ADlầnlượtđiquacá cđiểm ( ) 2;4M , ( ) 2; 4N - , ( ) 2;2P , ( ) 3; 7Q - . Câu7(1,0điểm).TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,cho mặtcầu ( ) :S ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 9x y z - + - + + = vàmặtphẳng ( ) : 2 11 0P x y z + - - = .Chứngminhrằngmặtphẳng ( ) P cắtmặtcầu ( ) S .Tìmtoạđộtâm H củađườngtròngiaotuyếncủa ( ) P và ( ) S . Câu8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình: 2 2 3 2 2 3 2 7 2 6 0 7 12 6 2 2 0. x y x y x x y xy y x y ì - - + + = ï í - + - + - + = ï î ( ) ,x y Î ¡ . Câu9(1,0điểm).Chocácsốthựckhôngâm , ,a b cthoảmãn 2 2 2 3 0a b c b + + - £ .Tìmgiátrịnhỏ nhấtcủabiểuthứcsau : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 8 1 2 3 P a b c = + + + + + . 46 2 SGDTHTNH THPTNGUYNTRUNGTHIấN TTON PNTHITHKèTHITHPTQUCGIANM2015 MụnTON(Ln2) ỏp ỏngm04trang CU PN IM 1 (2,0) a)(1 im) ã Tpxỏcnh: D = Ă . ã Sbinth iờn: Chiub inthiờn:Tacú: 2 ' 3 12 9y x x = - + ' 0y = 1x = hoc 3x = . 0.25 Hmsngbintrờncỏckhong ( ) 1 -Ơ v ( ) 3+Ơ ,nghchbintrờnkhong ( ) 13 . Cctr:Hmtcc iti 1x = , 3 CD y = .Hmtcctiuti 3x = , 1 CT y = - . Giihn: lim x y đ-Ơ = -Ơ , lim x y đ+Ơ = +Ơ . 0.25 Bngbinthiờn: x -Ơ 1 3 +Ơ 'y + 0 - 0 + y -Ơ 3 1 - +Ơ ` 0.25 ã th:th(C)cahmsiquaim ( ) 43A vcttrctungtiim ( ) 0 1B - . 0.25 b)(1im) Phngtrỡnh óchotngngviphngtrỡnh: 3 2 6 9 1 2 1 (1)x x x m - + - = - 0.25 Snghimcaphngtrỡnh(1)bngsgiaoimcangthng 2 1y m = - vith(C) 0.25 Davoth,phngtrỡnhcúnghimduynhtthỡ: 2 1 3m - > hoc 2 1 1m - < - . 0.25 Hay 2m > hoc 0m < .Vy phngtrỡnhcúnghimduynht khi 2m > hoc 0m < . 0.25 2 (1,0) a. sin3 3cos3x 2sin 0x x + - = 1 3 sin 3 cos3x sin 2 2 x x + = sin 3 si n 3 x x p ổ ử + = ỗ ữ ố ứ . 0.25 Suyraphngtrỡnhcúcỏcnghim: 6 x k p p = - + 6 2 x k p p = + (vi k ẻÂ ). 0.25 b.Phngtrỡnhtngng: 1 3 3. 4 0 3 x x + - = .t 3 ,( 0) x t t = > phngtrỡnhtrthnh: 2 4 3 0t t - + = .Phngtrỡnhnycúc ỏcnghim: 1t = v 3t = . 0.25 3 1, 3 1 0 x t x = ị = = . 3, 3 3 1 x t x = ị = = .Vyphngtrỡnhcú2nghim 0 1x x = = . 0.25 3 (1,0) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 2 1 1 x x I x e dx x dx x e dx = - + = - + - ũ ũ ũ . 0.25 Tớnh ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 0 0 0 2 1 2 2 2 1I x dx x dx x x = - = - = - = ũ ũ . 0.25 Tớnh ( ) 1 2 2 0 1 x I x e dx = - ũ .t 2 2 1 2 x x du dx u x e dv e dx v = - ỡ = - ỡ ù ị ớ ớ = = ợ ù ợ ( ) 1 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 3 0 2 2 2 4 2 4 4 4 x x x x e e e e e I dx - - ổ ử ị = + = - + = - + - = ỗ ữ ố ứ ũ . 0.25 Vy 2 2 1 2 3 1 1 4 4 e e I I I - + = + = + = . 0.25 4 (1,0) a.Gi z a bi = + , ( , )a bẻĂ .Tgithittacú: ( )( ) 1 2 10 4a bi i a bi i + - + - = - 0.25 ( ) 2 2 10 4a b ai i + - = - ( ) 2 10 2 3 2 a b a b a ỡ + = = ỡ ù ớ ớ = = ù ợ ợ .Vy phnthcl2,phnol3. 0.25 b.Tỡmnthomón: 1 2 2 0 (*) n n C C n - + = .iukin: 2, .n n ẻÂ ! ! ( 1) (*) 2 0 2 0 7. ( 1)! ( 2)! 2 n n n n n n n n n n - - + = - + = = - - 0.25 Tacú: 7 7 3 21 4 7 0 2 .( 2) . k k k k x C x x - = ổ ử - = - ỗ ữ ố ứ ồ .Suyrashngcha 5 x ngvi 21 4 5 4k k - = = . Vyshngcha 5 x l ( ) 4 4 5 5 5 7 . 2 . 560T C x x = - = . 0.25 5 (1,0) Vỡ BC SA ^ v BC AB ^ nờn BC SB ^ . Vygúcgiamp ( ) SBC vmp ( ) ABC l ã 0 60SBA = .Tacú: 2 2 AB AC BC a = - = . Dintớch ABC D l 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB BC = = . 0.25 0 .tan 60 3SA AB a = = .Thtớchkhichúp 2 3 . 1 1 3 3 . . 3. 3 3 2 2 S ABC ABC a a V SA S a = = = . 0.25 K MN songsong AC ctAB ti N, ( ) AC SMN ị P .Vy ( ) ( ) ( ) , ,d SM AC d A SMN = . GiIlhỡnhchiucaimAlờn MN,Hlhỡnhc hiuca Alờn SI , ( )MI SAI ị ^ , MI AH ị ^ .Mtkhỏc AH SI ^ nờn ( ) AH SMI ^ .Vy ( ,( ))d A SMN AH = . 0.25 AIN D ngdngvi MBN D , . 2 10 AN MB a AI MN ị = = .Xột SAI D vuụngtiAvcúAHl ngcao . 102 17 AI SA a AH SI ị = = .Vy ( ) 102 , 17 a d SM AC = . 0.25 6 Gi ( ) n a b r lvectphỏptuyncangthng AB.Vỡ AB iquaim ( ) 24M nờnphng 0.25 4 (1,0) trỡnhtngquỏtcaABl: 2 4 0ax by a b + - - = .ng BCiqua ( ) 22P vvuụnggúcvi ABnờncúphngtrỡnh BCl: 2 2 0bx ay a b - + - + = . ABCDlhỡnhvuụngnờn ( ) ( ) , ,d N AB d Q BC = hay 2 2 2 2 2 4 2 4 3 7 2 2a b a b b a a b a b a b - - - - - - + = + + 9 9 9 7 a b a b = - ộ ờ = ở . 0.25 TH1:Chn 1, 1a b = ị = - . Phngtrỡnh AB: 2 0x y - + = ,phngtrỡnh BC: 4 0x y + - = . ng CDiqua ( ) 2 4N - vsongsongviABnờn phngtrỡnh CDl: 6 0x y - - = . ng ADiqua ( ) 3 7Q - vsongsongviBC ịAD cúphngtrỡnh: 4 0x y + + = . 0.25 TH2:Chn 7 9a b = ị = . Phngtrỡnh ABl: 7 9 50 0x y + - = ,phngtrỡnhBC: 9 7 4 0x y - + + = . Tú phngtrỡnh CDl:7 9 22 0x y + + = ,phng trỡnh ADl : 9 7 76 0x y - + + = . 0.25 7 (1,0) Mtcu ( ) S cútõm ( ) 11 2I - vbỏnkớnh 3R = . 0.25 Khongcỏcht I nmtphng ( ) P l: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2.1 2 11 6 , 6 6 1 2 1 d I P + - - - - = = = + + - . Vỡ ( ) ( ) ,d I P R < nờnmtphng ( ) P ctmtcu ( ) S . 0.25 Gi ( ) C lngtrũngiaotuyncamp ( ) P vmc ( ) S thỡHlhỡnhchiuvuụnggúcca I lờnmp ( ) P .Tacúphngtrỡnh ngthng IH l: 1 1 2 2 x t y t z t = + ỡ ù = + ớ ù = - - ợ ,ị ( ) 1 1 2 2H t t t + + - - . 0.25 Mtkhỏc ( ) H P ẻ nờntacú: ( ) ( ) 1 2 1 2 2 11 0t t t + + + - - - - = hay 1t = .Vy ( ) 23 3H - . 0.25 8 (1,0) Tacú: 3 2 2 3 7 12 6 2 2 0x x y xy y x y - + - + - + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0y x x x y x y x ộ ự - - - + - + = ở ỷ . ( ) 2 0.25 Vỡ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0, , 2 4 x x x y x y x y x x x y ổ ử - - + - + = - - + + > " ỗ ữ ố ứ nờn: ( ) 2 0x y - = hay x y = . 0.25 ị Htngng: 2 2 2 7 2 6 0 y x x y x y = ỡ ớ - - + + = ợ 2 5 6 0 y x x x = ỡ ớ - + = ợ 2 3. y x x x = ỡ ù = ộ ớ ờ ù = ở ợ 0.25 Vyhcú2nghim ( ) ( ) 22x y = hoc ( ) ( ) 33x y = . 0.25 9 (1,0) Tathy: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 1 2 1 0a b c a b c a b c + + - - - + = - + - + - ,theogithitthỡ 2 2 2 3a b c b + + Ê .Suyra3 2 4 2 6 0b a b c - - - + hay 2 2 10 16a b c + + + Ê . 0.25 5 Vớihaisố , 0x y > thì ( ) 2 2 2 1 1 8 x y x y + ³ + .Ápdụngnhậnxéttrêntacó: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 8 1 2 2 2 a b b a + ³ + + æ ö + + ç ÷ è ø ; ( ) 2 2 2 1 1 8 3 2 5 2 2 cb b a a c + ³ + æ ö æ ö + + + + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø . 0.25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 8 8 16 8. 3 2 2 10 2 5 2 2 P c a b cb b a a c Þ ³ + ³ = + + + + æ ö æ ö + + + + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Theogiảthiếtvàchứngminhtrênthì 0 2 2 10 16a b c < + + + £ , 1P Þ ³ . 0.25 Khi 1, 2, 1a b c = = = thì 1P = .Vậy min 1P = . 0.25 . .Tìmgiátrịnhỏ nhấtcủabiểuthứcsau : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 8 1 2 3 P a b c = + + + + + . 46 2 SGDTHTNH THPTNGUYNTRUNGTHIấN TTON PNTHITHKèTHITHPTQUCGIANM2015 MụnTON(Ln2) ỏp ỏngm04trang CU