Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Hưng Yên

TRƯỜNGTHPTCHUYÊN HƯNGYÊN BANCHUYÊNMÔN ĐỀTHI THỬKỲT HITHPTQUỐCGIA2015 Mônthi:TOÁN Thờigianlàmbài: 180phút,khôngkểthờigianphátđề Câu1( 2,0điểm).Chohàmsố 3 2 3 2y x mx = + + (1),vớimlàthamsốthực. a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố(1)khi m= 1. b)Tìmmđểđồthịhàmsố(1)cóhaiđiểmcựctrịA,BsaochodiệntíchtamgiácOABbằng2 (Olàgốctọađộ). Câu2( 1,0điểm).Giảibấtphươngtrình ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - - . Câu3( 1,0điểm). a)GọiA,Blàhaiđiểmbiểudiễnchocácsốphứclànghiệmcủaphươngtrình 2 2 3 0z z + + = .Tính độdàiđoạnthẳngAB. b)TrongkìthiTHPTQuốcgianăm2015,mỗithísinhcóthểdựthitốiđa8môn:Toán,Lý,Hóa, Sinh,Văn,Sử,ĐịavàTiếnganh.MộttrườngĐạihọcdựkiếntuyểnsinhdựavàotổngđiểmcủa 3môntrongkìthichungvàcóítnhất1tronghaimônlàToánhoặcVăn.HỏitrườngĐạihọcđó cóbaonhiêuphươngántuyểnsinh? Câu 4(1,0điểm).Tínhtíchphân 2 0 sin cos 2 3cos 2 x I dx x x p = + + ò Câu 5  (1,0 điểm). Trong không gianvới hệ tọađộ Oxyz, chohai điểm ( ) ( ) 4;2;2 , 0;0;7A B và đườngthẳng 3 6 1 : 2 2 1 x y z d - - - = = - .ChứngminhrằnghaiđườngthẳngdvàABcùngthuộcmột mặtphẳng.TìmđiểmCthuộcđườngthẳngdsaochotamgiácABCcânđỉnhA. Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a = = , · 0 120BAC = . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáygóc60 0 . Tínhthể tích lăngtrụ ABC.A'B'C' và khoảngcáchtừđườngthẳng BC đếnmặtphẳng ( ) ' 'AB C theo a . hoctoancapba.com Câu7(1,0điểm).TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxy,chohìnhvuôngABCDcó ( ) 1;2A - .GọiM, NlầnlượtlàtrungđiểmcủacạnhADvàDC;KlàgiaođiểmcủaBNvớiCM.Viếtphươngtrình đườngtrònngoạitiếptamgiácBMK,biếtBNcóphươngtrình 2 8 0x y + - = vàđiểmBcóhoành độlớnhơn2. Câu8( 1,0điểm).Giảihệphươngtrình ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 3 , 1 2 2 y x y x y xy x y y x y y x ì - + = + + ï Î í ï + + + = - î ¡ Câu9(1,0 điểm).Cho , ,x y z làcác sốthựcdươngthỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 5 9 2x y z xy yz zx + + = + + Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: ( ) 3 2 2 1x P y z x y z = - + + +    Hết  48 ĐÁPÁN Câu Nộidung Điểm 1 a)Khảosáthàmsố 3 2 3 2y x mx = + + Vớim=1,tacóhàmsố:y=x 3 +3x 2 +2 *)TXĐ: ¡ *)Sựbiếnthiên: +)Giớihạntạivôcực: lim x y ®±¥ = ±¥ 0,25 +)Chiềubiếnthiên: y'=3x 2 +6x Þy'=0 Ûx=0hoặcx=2 Bảngbiếnthiên: x ¥  2 0 +¥ y ’ + 0  0 + y 6 +¥ 2 ¥ 0,25 Þhàmsốđồngbiếntrên(¥;2)và(0;+¥);hàmsốnghịchbiếntrên(2;0) hàmsốđạtcựcđạitạix=2,y CĐ =6;hàmsốđạtcựctiểutạix=0,y CT =2 0,25 *)Đồthị: Nhậnxét:đồthịhàmsốnhậnđiểm I(1;4)làmtâmđốixứng. 0,25 b)Tìmmđểđồthịhàmsố(1)cóhaiđi ểmcựctrịA,Bsaochodiệntích tamgiácOABbằng2 Vớimọix Î ¡ ,y'=3x 2 +6mx Þy'=0 Ûx=0hoặcx=2m Đểhàmsốcócựcđại,cựctiểuthìphươngtrìnhy'=0cóhainghiệmphânbiệt Ûm ¹0 Khiđó,tọađộcácđiểmcựctrịlà:A(0;2);B(2m;4m 3 +2) 0,5 S OAB =1 ÛOA.d(B;OA)=4 Û 1 2 2 1 m m m = é - = Û ê = - ë (thỏamãn) Vậyvớim= ± 1thìhàmsốcó2cựctrịthỏamãnbài. 0,5 2 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - - 0,5 6 4 2 2 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 log 4 4 log 2 3 log 2 log 4 4 log 2 3.2 x x x x x x + + + - + + - ( ) 2 1 4 4 2 3.2 4 3.2 4 0 2 1 2 2 4 x x x x x x x L x + + Ê - - - ộ Ê - ờ ờ ở VyBPTcútpnghim:S= [ ) 2+Ơ 0,5 3 a)Xộtphngtrỡnh: 2 2 3 0z z + + = D'=1 3=2= ( ) 2 2i Phngtrỡnhcúhainghim: 1 2 1 2 1 2z i z i = - + = - - 0,25 ị ( ) ( ) 1 2 1 2A B - - - AB= 2 2 0,25 b)TH1:TrngHchxột1trong2mụnToỏnhocVn: Cú: 2 6 2. 30C = (cỏch) 0,25 TH2:TrngHxộtchaimụnToỏnvVn: Cú: 1 6 1. 6C = (cỏch) Vycúcỏctrnghpl:30+6=36(cỏch) 0,25 4 2 2 2 0 0 sin sin cos 2 3cos 2 2cos 3cos 1 x x I dx dx x x x x p p = = + + + + ũ ũ tcosx=t ịdt=sinxdx Vix=0 ịt=1vix= 2 p ịt=0 0,25 ( )( ) 1 1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 dt dt I dt t t t t t t ổ ử = = = - ỗ ữ + + + + + + ố ứ ũ ũ ũ 0,25 = 1 0 2 1 3 ln ln 2 2 2 t t + ổ ử = ỗ ữ + ố ứ 0,5 5 Đườngthẳngdcóvéctơchỉphương ( ) 2;2;1u - r vàđiquaM(3;6;1) ĐườngthẳngABcóvéctơchỉphương ( ) 4; 2;5AB - - uuur ( ) 1;4; 1AM - - uuuur Tacó: ( ) , 12;6;12u AB é ù = ë û r uuur Þ , . 12 24 12 0u AB AM é ù = - + - = ë û r uuur uuuur VậyABvàdđồngphẳng 0,5 ( ) 3 2 ;6 2 ;1C d C t t t Î Þ - + + TamgiácABCcântạiA ÛAB=AC Û(1+2t) 2 +(4+2t) 2 +(1t) 2 =45 Û9t 2 +18t  27=0 Ût=1hoặct=3 VậyC(1;8;2)hoặcC(9;0; 2) 0,5 6 +Xácđịnhgócgiữa(AB'C')vàmặtđáylà · 'AKA · 0 ' 60AKA Þ = . TínhA'K= 1 ' ' 2 2 a A C = Þ 0 3 ' ' .tan 60 2 a AA A K = = 3 . ' ' ' 3 =AA'.S 8 ABC A B C ABC a V = hoctoancapba.com 0,5 +)d(B;(AB'C'))=d(A';(AB'C')) Chứngminh: (AA'K) ^(AB'C') Trongmặtphẳng(AA'K)dựngA'HvuônggócvớiAK ÞA'H ^(AB'C') Þd(A';(AB'C'))=A'H Tính:A'H= 3 4 a Vậyd(B;(AB'C'))= 3 4 a 0,5 H K C' B' A' C B A 7 GọiE=BN ÇAD ÞDlàtrungđiểmcủaAE DựngAH ^BNtạiH Þ ( ) 8 AH d A;BN 5 = = TrongtamgiácvuôngABE: 2 2 2 2 1 1 1 5 AH AB AE 4AB = + = Þ 5.AH AB 4 2 = = 0,25 B ÎBN ÞB(b;8 2b)(b>2) AB=4 ÞB(3;2) 0,25 PhươngtrìnhAE:x+1=0 E=AE ÇBN ÞE(1;10) ÞD(1;6) ÞM(1;4) 0,25 GọiIlàtâmcủa(BKM) ÞIlàtrungđiểmcủaBM ÞI(1;3) BM R 5 2 = = .Vậyphươngtrìnhđườngtròn:(x 1) 2 +(y 3) 2 =5. 0,25 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 2 2 2 y x y x y xy y x y x y ì - + = + + ï í + + + = - + ï î ĐK:y ³1 Xét(1): ( ) 2 2 1 2 2 3y x y x y xy - + = + + Đặt ( ) 2 2 2 0x y t t + = ³ Phươngtrình(1)trởthành: ( ) 2 2 2 1 2 2 3 0t y t x y x y xy + - - - - - - = D=(1y) 2 +4(x 2 +2y 2 +x+2y+3xy)=(2x+3y+1) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 x y x y t x y t x y x y x y é + = - - - = - - - é ê Þ Û ê = + ê ë + = + ë 0,5 Với 2 2 2 1x y x y + = - - - ,thayvào(2)tacó: 2 1 1 3 1 0 3 9 5 0 y y y y y y ì ³ - ï + = + Û Û = í ï + = î Þ 2 1x x = - - (vônghiệm) 0,25 H E K N M D C B A Với 2 2 2 2x y x y + = + ,tacóhệ: 2 2 1 5 1 2 4 1 5 2 2 2 x y x x y x y y ì - - = ï ì + = - ï ï Û í í + + = + ï ï î = ï î Vậyhệphươngtrìnhcónghiệm ( ) 1 5 1 5 ; ; 4 2 x y æ ö - - + = ç ÷ è ø 0,25 9 Từđiềukiện:5x 2 +5(y 2 +z 2 )=9x(y+z)+18yz hoctoancapba.com Û 5x 2  9x(y+z)=18yz5(y 2 +z 2 ) ÁpdụngBĐTCôsitacó: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 yz y z ;y z y z 4 2 £ + + ³ + Þ18yz5(y 2 +z 2 ) £2(y+z) 2 . Dođó:5x 2 9x(y+z) £ 2(y+z) 2 Û[x 2(y+z)](5x+y+z) £0 Þx £2(y+z) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 x 1 2x 1 4 1 P y z y z x y z y z x y z 27 y z = - £ - £ - + + + + + + + + Đặty+z=t>0,tacó:P £ 4t 3 1 t 27 Xéthàm ÞP £16. VậyMaxP=16khi 1 y z 12 1 x 3 ì = = ï ï í ï = ï î . + Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: ( ) 3 2 2 1x P y z x y z = - + + +    Hết  48 ĐÁPÁN Câu Nộidung Điểm 1 a)Khảosáthàmsố 3 2 3 2y x mx = + + Vớim=1,tacóhàmsố:y=x 3 +3x 2 +2 *)TXĐ: