Đề thi học sinh giỏi Toán 6_7

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. a) Tìm x: 2 2x – 1 + 6.2 8 = 14.2 8 b) Tính: A =       −       −       −       −       −       − 225 1 1. 196 1 1 25 1 1. 16 1 1. 9 1 1. 4 1 1 Câu 2. a) Cho S = 2010 + 2010 2 + 2010 3 + 2010 4 + + 2010 2009 + 2010 2010 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 2011. b) Tìm kết quả của phép nhân: B = 33 3 x 99 9 20 chữ số 20 chữ số Câu 3. a) Tìm phân số bằng phân số 520 200 biết tổng của tử và mẫu là 306. b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M = 1 13 − − n n có giá trị là số nguyên. Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố. Câu 5. Cho hai điểm C và D nằm giữa hai điểm A và B. Biết AB = 12cm, AC = 7cm, CD = 3cm. Tính BD ? Câu 6. a) Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? b) Giải bài toán ở câu a trong trường hợp có đúng 3 điểm thẳng hàng. HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN: TOÁN - LỚP 6 Câu1 (4điểm) 1a (2điểm) 1b (2điểm) Câu2 (5điểm) a)2 2x – 1 + 6.2 8 = 14.2 8 => 2 2x-1 = 2 8 .(14 – 6) = 2 11 => 2x – 1 = 11 =>x =6 15 8 2.15 16 )15.14 5.4.3.2).(15.14 5.4.3.2( )16.15 6.5.4.3).(14.13 4.3.2.1( 15.15 16.14 . 14.14 15.13 5.5 6.4 . 4.4 5.3 . 3.3 4.2 . 2.2 3.1 225 224 . 196 195 25 24 . 16 15 . 9 8 . 4 3 ) === ==Bb 1đ 1đ 1đ 1đ 2a (3điểm) 2b (2điểm) Câu3 (4,5điểm) 3a (2,5đ) 3b( 2 điểm) Câu4 (2 điểm) Câu5 (2,5điểm) Vẽ hình (0,5đ) TH1(1điểm TH2(1điểm Câu 6 6a(1,5 điểm) 6b ( 0,5đ) a) Ta có: S = 2010 + 2010 2 + 2010 3 + 2010 4 + + 2010 2009 + 2010 2010 = 2010(1 + 2010) + 2010 3 (1 + 2010) + + 2010 2009 (1 + 2010) = 2010.2011 + 2010 3 .2011 + + 2010 2009 .2011 = 2011.( 2010 + 2010 3 + + 2010 2009 )  2011 (đpct) b) B = 33 3 x 99 9 = 33…3 x (10 20 – 1 ) 20 chữ số 20 chữ số = 33…3 x 10 20 – 33…3 = 33…300…0 – 33…3 = 33…3266…67 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 19chữ số 19chữ số a) Ta có 13 5 520 200 = là phân số tối giản nên phân số bằng 520 200 có dạng tổng quát m m 13 5 ( m ∈ Z , m ≠ 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17 => phân số cần tìm là 221 85 b) M = 1 13 − − n n có giá trị là số nguyên => 3n - 1  n – 1 => 3(n – 1) + 2  n – 1 => 2  n – 1=> n - 1 ∈ Ư(2) = { } 2;2;1;1 −− Ta có bảng n – 1 -1 1 -2 2 n 0 2 -1 3 thử lại ta có n { } 3;1;2;0 −∈ thì M nhận giá trị nguyên Dễ thấy p > 2 nên p lẻ . Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên 1 số phải chẵn, số kia là lẻ. Số chẵn là 2 Như vậy p = a + 2 = b – 2 ( a, b là các số nguyên tố). Mà a = p – 2 , p , b = p + 2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. Vậy phải có một số bằng 3 Nếu a = 3 thì p = 5 và b = 7 thỏa mãn Nếu p = 3 thì a = 1 không là số nguyên tố Nếu b = 3 thì p = 1 không là số nguyên tố Vậy số nguyên tố p = 5 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đầu bài | A D C D B Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB => CB = 12 – 7 = 5cm Vì D nằm giữa hai điểm A và B và DC = 3 cm nên có 2 trường hợp TH1 D nằm giữa A và C hay C nằm giữa B và D ta có BC + CD = BD => BD = 8cm TH2: D nằm giữa C và B => BD + DC = CB = > DB = 2cm a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm còn lại ta vẽ được 9 đường thẳng. Làm như vậy với 10 điểm ta được 9. 10 = 90 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần do đó tất cả chỉ có 90 : 2 = 45 đường thẳng b) Giả sử không có 3 điểm thẳng hàng thì có 45 đường thẳng Vì có 3 điểm thẳng hảng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2 Vậy chỉ có 43 đường thẳng 1đ 1đ 1đ 2đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1,5đ 0,5đ . 2 2x-1 = 2 8 .(14 – 6) = 2 11 => 2x – 1 = 11 =>x =6 15 8 2.15 16 )15.14 5.4.3.2).(15.14 5.4.3.2( ) 16. 15 6. 5.4.3).(14.13 4.3.2.1( 15.15 16. 14 . 14.14 15.13 5.5 6. 4 . 4.4 5.3 . 3.3 4.2 . 2.2 3.1 225 224 . 1 96 195 . b) Giải bài toán ở câu a trong trường hợp có đúng 3 điểm thẳng hàng. HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN: TOÁN - LỚP 6 Câu1 (4điểm) 1a (2điểm) 1b (2điểm) Câu2 (5điểm) a)2 2x – 1 + 6. 2 8 = 14.2 8 . ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. a) Tìm x: 2 2x – 1 + 6. 2 8 = 14.2 8 b) Tính: A =       −       −       −       −       −       − 225 1 1. 1 96 1 1