Trường THCS Nguyễn Khuyến Đề thi học sinh giỏi Đà Nẵng Năm học 2011 - 2012 Đề chính thức Môn thi: Toán lớp 6 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm): Cho A = 5n 2n + − a) Tìm n nguyên để A là một phân số. b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên. Bài 2 (2 điểm): a) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: 2012201120112012 10 19 10 9 B; 10 19 10 9 A − + − = − + − = b) Tính giá trị biểu thức sau: B = a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 +++ biết a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 === và a; b; c; d ≠ 0 Bài 3 (2 điểm): a) Chứng minh rằng: M = ( 2012 + 2012 2 + 2012 3 + + 2012 2010 ) 2013 b) Cho 57.23 11 43.23 3 43.19 5 31.19 7 B; 57.10 7 41.10 9 41.7 6 31.7 4 A +++=+++= Tính tỉ số B A Bài 4 (2 điểm): Tính tuổi của anh và em biết rằng 8 5 tuổi anh hơn 4 3 tuổi em là 3 năm và 2 1 tuổi anh hơn 8 3 tuổi em là 6 năm. Bài 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 4cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = 2cm . a) Tính độ dài CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài BM. c) Biết góc DAC bằng 112 0 . Ax và Ay thứ tự là tia phân giác của góc BAC và góc BAD. Tính số đo góc xAy . . d)Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC có chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AC, Ax, AB, Ay, AD thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A? ************************************** Biểu điểm chấm Toán lớp 6 Bài 1 (2 điểm): Cho A = 5n 2n + − a) A = 5n 2n + − là phân số khi n+ 5 ∈ Z và n+ 5 ≠ 0 hay: n ∈ Z; n ≠ - 5 (0,5 đ) b) A = 5n 2n + − = 5n 7 1 5n 75n + −= + −+ (0,5 đ) Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên ⇔ 7 n + 5 hay n + 5 ∈ Ư(7) (0,5 đ) Lập luận tìm ra được n = -12; -6; -4; 2 (0,5 đ) Bài 2 (2 điểm): a) )đ25,0( 10 9 10 10 10 9 10 19 10 9 B )đ25,0(; 10 9 10 10 10 9 10 19 10 9 A 20122012201120122011 20112011201220112012 − + − + − = − + − = − + − + − = − + − = Mà 2011 10 10− < 2012 10 10− nên A< B (0,5 đ) b) Đặt k a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 ==== (0,25 đ) Ta có a2 d7 . d7 c6 . c6 b5 . b5 a2 = k 4 ⇒ k 4 = 1 ⇒ k = ± 1. (0,5 đ) ⇒ C = a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 +++ = ± 4 (0,25 đ) Bài 3 (2 điểm): a) M = 2012 + 2012 2 + 2012 3 + + 2012 2010 = (2012 + 2012 2 ) + (2012 3 +2012 4 )+ +(2012 2009 + 2012 2010 ) (0,25 đ) = 2012 (1 +2012) +2012 3 (1+2012) +….+2012 2009 (1+2012) (0,25 đ) = 2013 (2012 +2012 3 +…+ 2012 2009 ) 2013 ⇒ M 2013 (0,5 đ) . b) 57.10 7 41.10 9 41.7 6 31.7 4 A +++= )đ25,0( 57 1 31 1 57 1 50 1 50 1 41 1 41 1 35 1 35 1 31 1 57.50 7 41.50 9 41.35 6 31.35 4 A 5 1 nên −=−+−+−+−= +++= 57.23 11 43.23 3 43.19 5 31.19 7 B +++= )đ25,0( 57 1 31 1 57 1 46 1 46 1 43 1 43 1 38 1 38 1 31 1 57.46 11 43.46 3 43.38 5 31.38 7 B 2 1 nên −=−+−+−+−= +++= Do đó: 2 5 B A B 2 1 A 5 1 =⇒= (0, 5 đ) Bài 4 (2 điểm): 2 1 tuổi anh hơn 8 3 tuổi em là 6 năm nên tuổi anh hơn 8 6 (hay 4 3 ) tuổi em là 12 năm (0,25 đ) Mà 8 5 tuổi anh lớn hơn 4 3 tuổi em là 3 năm, nên 1- 8 5 = 8 3 tuổi anh = 12 - 3 = 9 năm. (0,25đ) . Vậy: Tuổi anh là: 9: 8 3 = 9. 3 8 = 24 (tuổi) (0,5đ) 4 3 tuổi em = 24 – 12 = 12 tuổi (0,5đ) Tuổi em là: 12: 4 3 = 12. 3 4 = 16( tuổi) (0,5đ) Bài 5 (2 điểm): a) Lập luận và tính đúng CD= 6cm (0,5 đ) b) Lập luận và tính đúng BM= 1cm (0,5 đ) c) Lập luận và tính đúng 0 56xÂy = (0,5 đ) d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC có chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AC, Ax, AB, Ay, AD thì có tất cả n+5 tia gốc A. Cứ 1 tia trong n+5 tia đó họp với n+4 tia còn lại tạo thành n+4 góc đỉnh A. Có n+5 tia nên có (n+4)(n+5) góc đỉnh A. Nhưng như thế mỗi góc tính lặp 2 lần nên tất cả có: 2 5)+4)(n+(n góc đỉnh A (0,5 đ) B C . M xy D A C B . )đ25,0( 57 1 31 1 57 1 50 1 50 1 41 1 41 1 35 1 35 1 31 1 57.50 7 41.50 9 41 .35 6 31 .35 4 A 5 1 nên −=−+−+−+−= +++= 57. 23 11 43. 23 3 43. 19 5 31 .19 7 B +++= )đ25,0( 57 1 31 1 57 1 46 1 46 1 43 1 43 1 38 1 38 1 31 1 57. 46 11 43. 46 3 43. 38 5 31 .38 7 B 2 1 nên −=−+−+−+−= +++= Do đó: 2 5 B A B 2 1 A 5 1 =⇒= . 20 13 ⇒ M 20 13 (0,5 đ) . b) 57.10 7 41.10 9 41.7 6 31 .7 4 A +++= )đ25,0( 57 1 31 1 57 1 50 1 50 1 41 1 41 1 35 1 35 1 31 1 57.50 7 41.50 9 41 .35 6 31 .35 4 A 5 1 nên −=−+−+−+−= +++= 57. 23 11 43. 23 3 43. 19 5 31 .19 7 B. a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 +++ biết a2 d7 d7 c6 c6 b5 b5 a2 === và a; b; c; d ≠ 0 Bài 3 (2 điểm): a) Chứng minh rằng: M = ( 2012 + 2012 2 + 2012 3 + + 2012 2010 ) 20 13 b) Cho 57. 23 11 43. 23 3 43. 19 5 31 .19 7 B; 57.10 7 41.10 9 41.7 6 31 .7 4 A