Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ - Wigner

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Kỹ thuật công nghiệp Bắc Giang, khoa Khoa học cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Huyền Mục lục Mở đầu iv 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh . . . . . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm . . . . . 4 1.1.5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Giải tích thời gian–tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.5 Phân bố τ-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Tính dương của biến đổi τ -Wigner 44 2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ-Wigner 44 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Biểu diễn thời gian tần số là một dạng toàn phương đặt tương ứng mỗi dấu hiệu f xác định trên R d một hàm suy rộng Qf(x, ω) xác định trên mặt phẳng R d × R d . Qf(x, ω) biểu diễn phân bố của năng lượng dấu hiệu đối với biến thời gian x và biến tần số ω và do đó chỉ ra những tần số ω nào của dấu hiệu f được biểu diễn quanh thời điểm x. Thông thường, Qf(x, ω) cần phải thỏa mãn một số tính chất: - Tính dương: Qf(x, ω) ≥0 với mọi (x, ω) ∈ R n - Tính không giãn: Nếu suppf ⊂ I ⊂ R d thì Π x Qf(x, ω) ⊂ I và tương tự, supp  f ⊂ J ⊂ R d thì Π x Qf(x, ω) ⊂ J - Tính chất lề:  R d Qf(x, ω)dx =     f(ω)    2 và  R d Qf(x, ω)dx = |f(x)| 2 . Nguyên lý không chắc chắn đã chỉ ra rằng, các tính chất nêu trên là không tương thích đối với một loại biểu diễn thời gian- tần số, nghĩa là không thể có một loại biểu diễn thời gian- tần số thỏa mãn đồng thời cả 3 yêu cầu trên. Do đó, người ta phải đi tìm nhiều biểu diễn thời gian- tần số khác nhau thỏa mãn ít nhất một trong các yêu cầu đó. Điển hình là 3 dạng biểu diễn thời gian - tần số: ảnh phổ, dạng Rihaczek và dạng biểu diễn Wigner. Biểu diễn được phát minh năm 1932 bởi E.Wigner trong bối cảnh cơ học lượng tử được xem như là hàm suy rộng tựa xác suất trên không gian pha và sau này được giới thiệu trong giải tích tín hiệu bởi J.Ville. Hàm suy rộng Wigner thỏa mãn hầu hết các tính chất iv v nêu bên. Tuy nhiên, thông thường hàm suy rộng Wigner không đạt là dương. Chỉ có trường hợp đặc biệt, khi hàm f được lựa chọn là các hàm Gauss thì định lý Hudson khẳng định tính dương của biểu diễn này. Trong những năm gần đây, biểu diễn Wigner đã có những mở rộng tổng quát hơn, đó là biểu diễn τ- Wigner, mà trong đó, biểu diễn Wigner chỉ là một trường hợp đặc biệt. Câu hỏi đặt ra là, định lý kiểu Hudson có còn đúng trong trường hợp mở rộng hay không. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi τ-Wigner, được sự đồng ý của hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu "Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ-Wigner" để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về tính dương của biến đổi τ- Wigner. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về biến đổi τ- Wigner. Trình bày về tính dương của biến đổi τ-Wigner. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi τ- Wigner. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến biến đổi τ- Wigner. vi 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp mới Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian các hàm cơ bản Cho Ω là một tập mở trong R n . Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), là không gian véctơ các hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ j } ∞ j=1 các hàm trong C ∞ 0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ 0 ∈ C ∞ 0 (Ω) nếu i, Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕ j ⊂ K, j = 0, 1, 2, ii, lim j→∞ sup x∈K |D α ϕ j (x) − D α ϕ 0 (x)| = 0, ∀α ∈ Z n + . Khi đó ta viết là ϕ 0 = D − lim j→∞ ϕ j . Ở đây D α ϕ 0 = D α 1 1 D α 2 2 D α n n ϕ 0 = (−i) |α| ∂ α 1 ∂x α 1 1 ∂ α 2 ∂x α 2 2 ∂ α n ∂x α n n ϕ 0 , ∀α ∈ Z n + . Định lí 1.1.1. Không gian D(Ω) là đầy đủ. 1 2 1.1.2 Không gian các hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Không gian véctơ các hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D  (Ω). Hàm suy rộng f ∈ D  (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ. Chúng ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1. Cho f ∈ L 1 loc (Ω), ánh xạ Λ f : ϕ → f, ϕ =  Ω f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω) là một hàm suy rộng. Do ánh xạ f −→ Λ f là đơn ánh nên ta có thể đồng nhất f với Λ f . f được gọi là hàm suy rộng chính quy. Ví dụ 2. Hàm Dirac δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω). Định nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ D  (Ω), α = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ Z n + . Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí hiệu là D α f, là ánh xạ từ D (Ω) vào C được xác định bởi D α f : ϕ → (−1) |α| f, D α ϕ, ϕ ∈ D(Ω), |α| = α 1 + α 2 + + α n . Nhận xét 1.1.2. 1. Với định nghĩa trên thì đạo hàm của một hàm số thuộc C ∞ (Ω) theo nghĩa hàm suy rộng trùng với khái niệm đạo hàm thông thường. 2. Mọi hàm thuộc L 1 loc (Ω) đều có đạo hàm (theo nghĩa hàm suy rộng) mọi cấp. Định nghĩa 1.1.4. Cho f k , f ∈ D  (Ω), k = 1, 2, Ta nói rằng, dãy {f k } ∞ k=1 hội tụ đến f trong D  (Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu lim k→∞ f k , ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D (Ω) . 3 Kí hiệu D  _ lim k→∞ f k = f. Định lí 1.1.3. Không gian hàm suy rộng D  (Ω) là đầy đủ. 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (R n ) là tập hợp S(R n ) =  ϕ ∈ C ∞ (R n )\ sup x∈R n   x α D β ϕ(x))   < ∞, ∀α, β ∈ Z n +  . Với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau Dãy {ϕ k } ∞ k=1 trong S (R n ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (R n ) nếu lim k→∞ sup x∈R n   x α D β ϕ k (x) − x α D β ϕ (x)   = 0, ∀α, β ∈ Z n + . Kí hiệu S_ lim k→∞ ϕ k = ϕ. Chú ý 1.1.4. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (R n ) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Z n + tồn tại c α,β > 0 sao cho   x α D β ϕ (x)   ≤ c α,β , ∀x ∈ R n khi và chỉ khi a) với mỗi m ∈ Z + , β ∈ Z n + có  1 + |x| 2  m   D β ϕ (x)   ≤ c m,β , ∀x ∈ R n hay b) Với mỗi m ∈ Z + có  1 + |x| 2  m  |β|≤m   D β ϕ (x)   ≤ c m , ∀x ∈ R n . 2. Với mỗi λ, µ ∈ C , ϕ k , ψ k , ϕ, ψ ∈ S (R n ) , k = 1, 2, nếu S_ lim k→∞ ϕ k = ϕ, S_ lim k→∞ ψ k = ψ thì S_ lim k→∞ (λϕ k + µψ k ) = λϕ + µψ. 4 3. Với mỗi α ∈ Z n + , phép toán đạo hàm D α là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (R n ) vào S (R n ). 4. Tập C ∞ 0 (R n ) trù mật trong không gian S (R n ). Định lí 1.1.5. Không gian S (R n ) là đầy đủ. 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.1.6. Cho hàm suy rộng f ∈ D  (R n ). Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho |f, ϕ| ≤ C sup x∈R n  1 + |x| 2  m  |α|≤m |D α ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ D (R n ) . Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. Kí hiệu S  (R n ). Định nghĩa 1.1.7. Cho hàm p(x) ∈ C ∞ (R n ). Ta nói p(x) là một hàm tăng chậm nếu với mỗi α ∈ Z n + đều tồn tại c > 0 và a ∈ R (phụ thuộc vào p và α) sao cho |D α p(x)| ≤ c  1 + |x| 2  a , ∀x ∈ R n . Không gian các hàm tăng chậm là không gian véc tơ tất cả các hàm tăng chậm. Kí hiệu O M (R n ). Chú ý 1.1.6. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (R n ). Chúng ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L p (R n ), ánh xạ Λ f : ϕ → f, ϕ =  R n f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ S(R n ). [...]... tham số τ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.8 Với τ ∈ [0, 1] , f, g ∈ S (Rn ), phân bố τ -Wigner của hàm f kí hiệu W igτ (f ) được định nghĩa bởi e−2πiωt f (x + τ t) f (x − (1 − τ ) t)dt W igτ (f ) (x, ω) = (1.35) Rn Phân bố τ -Wigner chéo của f, g kí hiệu W igτ (f, g) được định nghĩa bởi e−2πiωt f (x + τ t) g (x − (1 − τ ) t)dt W igτ (f, g) (x, ω) = Rn (1.36) ... ϕ hoàn toàn xác định Hơn nữa, phép biến đổi Fourier là đẳng cấu tuyến tính từ S (Rn ) lên chính nó Định nghĩa 1.1.11 Cho f ∈ S (Rn ) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , kí hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S (Rn ) và biến đổi Fourier ngược của hàm f , kí hiệu là F −1 f là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) Tính chất liên hệ... (f ⊗ g) , trong đó với f ∈ L2 (Rn ) thì Ts là phép biến đổi tọa độ đối xứng được xác định như sau t t x + ,x − 2 2 x+t và Ts−1 f (x, t) = f ,x − t 2 Ts f (x, t) = f Từ bổ đề trên và từ tính chất song ánh liên tục của toán tử Ts và biến đổi Fourier, chúng ta có thể mở rộng miền xác định của phân bố Wigner lên toàn miền S (Rn ) Ví dụ Tìm phân bố Wigner của hàm δ Giải: Với mọi ϕ ∈ S (Rn ) chúng ta có W... S(Rn ) 1.2.5 Phân bố τ -Wigner Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy một tần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số này được gọi là tần số ảo hoặc tần số giao thoa Điều này tạo ra những khó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật lí của phân bố Wigner Từ đó, người ra mở rộng nghiên cứu phân bố τ -Wigner phụ thuộc tham số τ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.8 Với τ ∈ [0, 1] , f, g... 1.2.2) - Các tính chất khác của biến đổi Fourier thời gian ngắn được chuyển qua cho ảnh phổ (do Định nghĩa 1.2.5) Từ các tính chất trên, ảnh phổ được xem như là hàm mật độ năng lượng trên mặt phẳng thời gian–tần số 1.2.3 Phân bố Wigner Phân bố Wigner được phát minh vào năm 1932 bởi E .Wigner trong khi ông nghiên cứu về cơ học lượng tử và được giới thiệu trong giải tích tín hiệu bởi J.Ville Phân bố Wigner. .. tăng chậm xác định hoàn với mọi f, g ∈ S (Rn ) Tính chất tiếp theo được gọi là tính chất hiệp phương sai của biến đổi Fourier thời gian ngắn Bổ đề 1.2.3 Nếu Vg f xác định thì Vg (Tu Mη f ) (x, ω) = e−2πiuω Vg f (x − u, ω − η) với x, u, ω, η ∈ Rn Đặc biệt là |Vg (Tu Mη f ) (x, ω)| = |Vg f (x − u, ω − η)| Tương tự công thức Parseval ta có quan hệ trực giao của biến đổi Fourier thời gian ngắn Định lí 1.2.9... - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ của biến đổi Fourier như sau F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm bởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian hàm khác Kết quả cơ bản là định lí Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau Định lí 1.1.9 (Plancherel) Cho f ∈ L1 ∩ L2 (Rn ) Khi đó f 2 = f 2 7 Biến đổi F mở rộng thành... mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1 (Rn ) 6 3 Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩa biến đổi Fourier theo những cách khác như sau n f (ω) = (2π)− 2 f (x) e−ixω dx Rn hoặc f (x) e−ixω dx f (ω) = Rn 4 Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và f (ω) được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu... âm Định lý sau của Hudson cho thấy phân bố Wigner hầu hết là không bao giờ không âm ngoại trừ các hàm Gauss Định lí 1.2.17 (Hudson) Giả sử f ∈ L2 (Rn ) Khi đó W ig (f ) (x, ω) > 0 với mọi (x, ω) ∈ R2n khi và chỉ khi f là một hàm Gauss tổng quát dạng f (x) = e−πxAx+2πbx+c ở đây A ∈ GL (n, C) là một ma trận khả nghịch cấp n × n trên C với phần thực xác định dương và b ∈ Cn , c ∈ C Để giải quyết tính dương. .. 1.2.6 1 Nếu g có giá compact với tâm của giá đặt tại gốc, thì Vg f (x, ·) là biến đổi Fourier một đoạn của f có tâm nằm trong một lân cận của x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau Do đó biến đổi Fourier thời gian ngắn được gọi là " Biến đổi cửa sổ trượt" Với một vài ứng dụng, Vg f (x, ω) có thể coi như là công cụ đo biên độ của dải tần số quanh ω tại thời điểm . nghiên cứu " ;Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi - Wigner& quot; để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về tính dương của biến đổi - Wigner. 3. Nhiệm. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về biến đổi - Wigner. Trình bày về tính dương của biến đổi - Wigner. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi - Wigner. Phạm vi nghiên cứu:. 30 2 Tính dương của biến đổi τ -Wigner 44 2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi - Wigner 44 Kết luận 57 Tài liệu