Bậc Tôpô và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tôi xin được cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người thầy kính mến đã tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập và hoàn thành luận văn. Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, các giảng viên chuyên nghành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cám ơn tới bạn bè, các anh chị trong lớp Toán Giải tích K13 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên và giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn để tôi vượt qua và hoàn thành khóa học. Xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Tác giả Phạm Quốc Khánh LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Năng Tâm. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Tác giả Phạm Quốc Khánh Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Hàm liên tục và khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Ánh xạ compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Ánh xạ co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Lý thuyết bậc tôpô và ứng dụng . . . . . . . . . . 15 2.1. Lý thuyết bậc Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Bậc Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Lý thuyết bậc với ánh xạ VMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.3. Ứng dụng bậc Brouwer với ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Lý thuyết bậc Leray Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Bậc Leray Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Bậc Leray Schauder với ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3. Ứng dụng bậc Leray Schauder với ODEs và PDEs. . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 4 KÝ HIỆU TOÁN HỌC R Tập số thực C Tập số phức R n Không gian Euclide thực n chiều C p (Ω) Tập các hàm khả vi liên tục cấp p trên Ω C p  Ω  Tập các hàm khả vi liên tục cấp p trên Ω C p,α (Ω) Tập các hàm khả vi cấp p, liên tục cấp α trên Ω C p,α  Ω  Tập các hàm khả vi cấp p, liên tục cấp α trên Ω X ∗ Không gian đối ngẫu của không gian Banach X C[a; b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] x Chuẩn của véc tơ x Ø Tập hợp rỗng A Bao đóng của tập hợp A A 0 Phần trong của tập hợp A A ∩ B Giao của hai tập hợp A và B A ∪ B Hợp của hai tập hợp A và B A ⊂ X A là tập con của X θ Phần tử không gradf(x) Gradient của hàm f(x) ∂A Biên của tập A x, y Tích vô hướng của x, y L p (Ω) Không gian Lesbegue sngx Dấu của x 5 f| A Hàm f hạn chế trên tập A χ E Hàm đặc trưng của không gian E deg Bậc dim Số chiều inff(x) Cận dưới đúng của f(x) supf(x) Cận trên đúng của f(x) minf(x) Giá trị nhỏ nhất của f(x) maxf(x) Giá trị lớn nhất của f(x) supp (v) Giá của v kerf(x) Hạt nhân, hạch của ánh xạ f(x) conv (K) Bao lồi của (K) span {x 1 , x 2 , , x n } Véc tơ sinh bởi {x 1 , x 2 , , x n } J f (x) Định thức Jacobian của f(x) sgnJ f (x) Dấu của định thức J f (x) m (B (0, r)) Độ đo Lebesgue của B (0, r) ODEs Phương trình vi phân thường PDEs Phương trình đạo hàm riêng 6 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến bậc tôpô và ứng dụng của bậc tôpô trong việc giải và tìm nghiệm của các phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân như như: Brouwer, Nirenberg, Dold, Sau khi được trang bị những kiến thức cơ bản về Giải tích hàm và tôpô, với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về bậc tôpô và ứng dụng của nó trong việc khảo sát điều kiện có nghiệm và giải các bài toán cụ thể, được sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, tôi đã chọn đề tài "Bậc tôpô và ứng dụng" để nghiên cứu. Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu về lý thuyết bậc tôpô và một số ứng dụng của lý thuyết bậc tôpô trong việc tìm điều kiện để các phương trình vi phân thường, bài toán tuần hoàn và đối tuần hoàn phương trình vi phân có nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu một cách có hệ thống về bậc tôpô và phương pháp sử dụng bậc tôpô để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu bậc tôpô, các ví dụ cụ thể về việc sử dụng bậc tôpô và ứng dụng của nó. Nghiên cứu các hướng phát triển của việc ứng dụng bậc tôpô. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 7 Bậc Brouwer, bậc Leray Schauder. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm, tôpô. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu về bậc tôpô và những nội dung liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về ứng dụng bậc tôpô. 6. Những đóng góp của đề tài Nghiên cứu các ví dụ ứng dụng mới của bậc tôpô để xây dựng phương pháp sử dụng bậc tôpô trong việc khảo sát điều kiện có nghiệm của phương trình vi phân. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Tác giả Phạm Quốc Khánh Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại những kiến thức cơ bản về hàm liên tục và hàm khả vi, ánh xạ compact, ánh xạ co cùng các kết quả quan trọng về điểm bất động. Những kiến thức cơ bản đó sẽ giúp chúng ta nghiên cứu về lý thuyết bậc tôpô ở phần sau. 1.1. Hàm liên tục và khả vi Định nghĩa 1.1.1. Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là một tập hợp khác rỗng, d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau: 1. ∀x, y ∈ X : d (x, y) ≥ 0; d (x, y) = 0 ⇔ x = y, 2. d (x, y) = d (y, x) ; ∀x, y ∈ X, 3. d (x, z) ≤ d (y, x) + d (y, z) ; ∀x, y, z ∈ X. 8 9 Hàm d được gọi là metric trên X. Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian X, số d (x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, d) là một không gian metric, x 0 ∈ X và r là một số dương. Tập hợp B (x 0 , r) = {x ∈ X|d (x, x 0 ) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x 0 bán kính r. Với A, B là hai tập con khác rỗng trong X, ta gọi: d (A, B) = inf x∈A,y∈B {d (x, y)} là khoảng cách giữa A và B, d (x, B) = inf y∈B {d (x, y)} là khoảng cách giữa x với tập hợp B, H(A, B) = max  sup x∈A d (x, B) , sup y∈B d (y, A)  là khoảng cách Haus- dorff giữa A và B. Định nghĩa 1.1.3. Cho X, Y là những không gian metric với khoảng cách d X , d Y tương ứng. Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho: với mọi x ∈ X mà d X (x, x 0 ) < δ thì ta có d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. Ánh xạ f liên tục trên tập X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số f : R n → R n ; x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , có đạo hàm riêng ∂f (x) ∂x i , i = 1, n thì vectơ  ∂f (x) ∂x 1 , ∂f (x) ∂x 2 , , ∂f (x) ∂x n  được gọi là Gradient của f tại x, ký hiệu là gradf (x). 10 Định nghĩa 1.1.5. Cho ánh xạ f : R n → R n , f = (f 1 , f 2 , , f n ), f i : R n → R. Nếu f có các đạo hàm riêng ∂f i (x) ∂x i , i = 1, , n, liên tục thì f khả vi và ma trận  ∂f i (x) ∂x j  i,j=1, n được gọi là ma trận Jacobian của f tại x, và ký hiệu là J f (x). Định thức của ma trận J f (x) được ký hiệu là |J f (x)|. Định nghĩa 1.1.6. Cho C k (Ω) là không các gian hàm liên tục khả vi đến cấp k. Nếu hàm f khả vi tại x 0 , ta gọi J f (x 0 ) = det f  (x 0 ) là định thức Jacobian của f tại x 0 . Nếu J f (x 0 ) = 0 thì x 0 gọi là điểm tới hạn của f và S f (Ω) = {x ∈ Ω : J f (x) = 0} là tập hợp các điểm tới hạn của f trong Ω. Nếu f −1 (y) ∩S f (Ω) = ∅ thì y gọi là giá trị chính quy của f. Bổ đề 1.1.1. [4] (Bổ đề Sard’s) Cho Ω ⊂ R n là tập mở và f ∈ C 1 (Ω). Khi đó µ n (f (S f (Ω))) = 0, trong đó µ n là độ đo Lebesgue n chiều. Mệnh đề 1.1.1. [4] Cho K ⊂ R n là tập con đóng và bị chặn và f : K → R n liên tục. Khi đó tồn tại một hàm số liên tục f : R n → convf (K) sao cho  f (x) = f (x) với mọi x ∈ K, trong đó convf (K) là bao lồi đóng của f (K). 1.2. Ánh xạ compact Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian tôpô. Tập hợp M ⊂ X được gọi là compact nếu mọi phủ mở của M đều chứa một phủ con hữu hạn, [...]... khái niệm và tính chất cơ bản của bậc Brouwer, bậc Leray Schauder và một sô ứng dụng của lý thuyết này 2.1 Lý thuyết bậc Brouwer 2.1.1 Bậc Brouwer Định nghĩa 2.1.1 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở bị chặn, f : Ω → Rn là liên tục và f ∈ C 1 Ω Nếu p ∈ f (∂Ω) và Jf (p) = 0 trong đó / Jf (p) là định thức Jacobian của f tại p, sgnJf (x) là dấu của định thức Jacobian thì ta định nghĩa bậc Brouwer của f là số deg (f,... từ C vào chính nó, sao cho với mọi x ∈ C, f (x) là tập lồi compact không rỗng Khi ấy f có điểm bất động, nghĩa là tồn tại x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ f (x∗ ) Định lý 1.3.5 [3] (Schauder) Ánh xạ f : C → C từ một tập lồi compact C trong không gian định chuẩn vào chính nó bao giờ cũng có điểm bất động x∗ = f (x∗ ) Chương 2 Lý thuyết bậc tôpô và ứng dụng Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và tính... trong B (0, r) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.1.4 [4] (Định lý Borsuk) Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và cân, với 0 ∈ Ω Nếu f ∈ C Ω là lẻ và 0 ∈ f (∂Ω) thì deg (f, Ω, 0) là lẻ / Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử f ∈ C 1 Ω với Jf (0) = 0, ta xác định ánh xạ g ∈ C 1 Ω là đầy đủ và gần f bằng phép quy nạp như sau Cho φ ∈ C 1 (R) là ánh xạ lẻ với φ (0) = 0 và φ (t) = 0 khi và chỉ khi f (x) t = 0 Đặt Ωk... Ta có điều phải chứng minh 2.1.3 Ứng dụng bậc Brouwer với ODEs Định lý 2.1.13 [4] Cho f : R × Rn → Rn là hàm liên tục và f (t + T, x) = f (t, x) với mọi (t, x) ∈ R × Rn Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1 Tồn tại r > 0 sao cho f ((t, x) , x) < 0 với mọi t ∈ [0, T ] và x = r 2 Với mỗi x ∈ Rn , tồn tại rx > 0, Lx > 0 sao cho |f (t, y) − f (t, z)| ≤ Lx |y − z| với mọi t ∈ R và y, z ∈ B (x, rx... có điều phải chứng minh ¯ Định nghĩa 2.1.3 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn, f ∈ C Ω và p ∈ f (∂Ω) Ta định nghĩa / 21 deg (f, Ω, p) = deg (g, Ω, p), trong đó g ∈ C 2 Ω và g − f < d (p, f (∂Ω)) Định nghĩa 2.1.4 Cho Ω ⊂ Rn là tập con mở và bị chặn, f : Ω → Rn là ánh xạ liên tục Nếu p ∈ f (∂Ω), thì ta định nghĩa: / 1 deg (I, Ω, p) = 1 khi và chỉ khi p ∈ Ω, trong đó I là ánh xạ đồng nhất 2 Nếu deg (f, Ω,... đó f có điểm bất động trong C Chứng minh Lấy B (0, r) sao cho C ⊂ B (0, r) và lấy ϕ : B (0, r) → C là ánh xạ co Theo Định lý (2.1.1) thì tồn tại x0 ∈ B (0, r) sao cho f (ϕ(x0 )) = x0 Do đó x0 ∈ C vì thế chúng ta có ϕ(x0 ) = x0 Vậy f có điểm bất động trong C Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.1.3 [4] Cho f : Rn → Rn là ánh xạ liên tục và 0 ∈ Ω ⊂ Rn với Ω là tập đóng và bị chặn Nếu f (x) , x > 0 với... con đo được và bị chặn, 1 ≤ p < ∞ và p Lp (Ω) = {f : Ω → R sao cho |f (x)| dx < ∞}, Ω p |f (x)| dx với f = 1 p thì Lp (Ω) là không gian Banach Ω Định nghĩa 1.2.3 Cho Ω là tập mở, bị chặn trong Rn với biên ∂Ω, ta định nghĩa: 12 C Ω, Rn = f : Ω → Rn sao cho f liên tục trên Ω , C k (Ω, Rn ) = {f ∈ C (Ω, Rn ) và f có đạo hàm riêng cấp k trong Ω và liên tục trên Ω Trên các không gian C Ω, Rn và C k (Ω,... nghĩa (2.1.3) và Định nghĩa (2.1.1) ta suy ra deg (f, Ω, 0) = deg (gn , Ω, 0) = sgnJgn (0) + sgnJgn (x) x∈g −1 (0),x=0 Vậy deg (f, Ω, 0) là lẻ Ta có điều phải chứng minh 24 Định lý 2.1.5 [4] Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn, 1 ≤ m < n Ánh xạ f : Ω → Rm là liên tục và g = I − f Nếu y ∈ (I − f ) (∂Ω) thì / deg (g, Ω, y) = deg (gm , Ω ∩ Rm , y), trong đó gm có giới hạn là g trong Ω ∩ Rm Chứng minh Giả... t = 0 Ta có h là liên tục và h (t, x) = 0 với mọi x ∈ ∂B (0, r1 ) Như vậy chúng ta có deg (grad φ, B (0, r1 ) , 0) = deg (I − P, B (0, r1 ) , 0) = 1 Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.1.8 [4] Cho B (0, 1) ⊂ C là hình cầu đơn vị, Γ = ∂B (0, 1) và f : B (0, 1) → C là hàm thuộc C 1 Giả sử a ∈ f (Γ) thì / deg (f, B (0, 1) , a) = 1 dz z−a 1 2π (2.1.5) f (Γ) Chứng minh Ta chứng minh (2.1.5) trong trường... (x, r)) B(x,r) và định nghĩa Hf (x) = sup Ar f (x) = sup r>0 r>0 1 f (y) dy m (B (x, r)) B(x,r) Bổ đề 2.1.2 [4] Ar f (x) liên tục theo r đối với mỗi x cố định và đo được theo x đối với mỗi r cố định Chứng minh Vì m (B (x, r)) = rn m (B (0, 1)) và m (∂B (x, r)) = 0, chúng ta có χB(x,r) (y) → χB(x,s) (y) hầu khắp nơi khi r → s Vì tập hợp E đo được trong Rn ta có χE (y) = 1 nếu y ∈ E, và χE (y) = 0 nếu . tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu bậc tôpô, các ví dụ cụ thể về việc sử dụng bậc tôpô và ứng dụng của nó. Nghiên cứu các hướng phát triển của việc ứng dụng bậc tôpô. 4 đã chọn đề tài " ;Bậc tôpô và ứng dụng& quot; để nghiên cứu. Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu về lý thuyết bậc tôpô và một số ứng dụng của lý thuyết bậc tôpô trong việc tìm điều. đặc biệt là các bài báo mới về ứng dụng bậc tôpô. 6. Những đóng góp của đề tài Nghiên cứu các ví dụ ứng dụng mới của bậc tôpô để xây dựng phương pháp sử dụng bậc tôpô trong việc khảo sát điều