Chuyờn thỏng 3/2015: Ngi bỏo cỏo: Vừ Qunh Trang Tam thc bc hai v ng dng I.Nhc li v lý thuyt. 1.nh lý v du ca tam thc bc hai: f(x) = ax 2 + bx + c ( a 0) cú = b 2 - 4ac * Nu < 0: af(x) > 0 x R * Nu = 0: af(x) > 0 x - (hay af(x) 0 x R). * Nu > 0: f(x) cú hai nghim l x 1 ,x 2 ( gi s x 1 < x 2 ).Khi ú: +/ af(x) > 0 x [x 1 ;x 2 ] +/ af(x) < 0 x (x 1 ;x 2 ) 2.Đặc biệt: +/ af(x) > 0, x R +/ af(x) < 0, x R II.Cỏc ng dng. 1. Chứng minh bất đẳng thức. Thớ d 1 : Chng minh rng : Nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ vi mi x ta cú : a) 2 2 2 2 2 2 b x (b c a )x c 0.+ + + > b) c 2 x 2 - 2(a 2 - b 2 )x + 2a 2 + 2b 2 - c 2 0 , x. c) pa 2 +qb 2 > pqc 2 , p, q thoả mãn p+q =1 Phõn tớch : V trỏi l tam thc bc hai f(x) vi h s ca 2 x l 2 b 0> nờn cú ngay li gii. Gii :a) f(x) > 0 vi mi x x 0 < 2 2 2 2 2 2 (b c a ) 4b c 0+ < 2 2 2 2 2 2 (b c a 2bc)(b c a 2bc) 0+ + + < 2 2 2 2 [(b c) a )][(b c) a ] 0+ < (b + c +a)(b + c a)(b c +a)(bc a) < 0 (a + b + c)(b + c a)(b + a c)(c + a b) > 0 Vỡ a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc nờn bt ng thc cui cựng hin nhiờn ỳng. Chỳ ý : Ngc li, cỏc bn cú th chng minh c nu cỏc s dng a, b, c tha món f(x) > 0 vi mi x thỡ a, b, c chớnh l di 3 cnh ca mt tam giỏc. Câu b, c c/m tơng tự. Thớ d 2 : Cho 3 a 36> v abc = 1. Chng minh : 2 2 2 a b c ab bc ca 3 + + > + + (*) Phõn tớch : 1 bc a = nờn bt ng thc cn chng minh vỡ i xng vi b v c nờn cú th vit v dng tam thc bc hai i vi b + c. Gii : (*) 2 2 a 3 (b c) a(b c) 0 3 a + + + > 2 2 2 a a 3 (b c) a(b c) 0 4 12 a + + + + > 2 3 a a 36 b c 0 2 12a + + > Vi 3 a 36> thỡ bt ng thc trờn luụn ỳng. Chỳ ý : Khi khụng mun din t bi "ngụn ng" bit thc thỡ cú th dựng k thut "tỏch bỡnh phng" nh li gii trờn. Thớ d 3: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác.x,y,z là ba số thoả mãn ax + by + cz = 0. Chứng minh : a) P = xy + yz + zx 0. b) Q = ayz + bxz + cxy 0 Giải: a) Từ ax + by + cz = 0 z = - .Thay vào P ta có: P = xy - - = (cxy - axy -bxy - by 2 - ax 2 ) = [- ax 2 - xy(a+b-c) - by 2 ] Xét f(x) = - ax 2 - xy(a+b-c) - by 2 Có x = y 2 [(a+b-c) 2 - 4ab] = y 2 ( a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2bc - 2ac) = y 2 [c( c- a - b) + a(a - b - c) + b(b - a - c)] 0 ( Do a,b,c là cạnh tam giác nên c- a - b < 0, a - b - c < 0, b - a - c < 0) Suy ra : f(x) = - ax 2 - xy(a+b-c) - by 2 0 x. Hay P 0 (đpcm). Câu b làm tơng tự. Thớ d 4 : Chng minh rng trong mi tam giỏc ABC ta cú : 3 cosA cosB cosC 2 + + (**) Phõn tớch : Vỡ A B cosA cosB 2cos 2 + + = A B C A B cos 2sin cos 2 2 2 = v cosC = 2 C 1 2sin 2 nờn cú th lm xut hin tam thc bc hai i vi C sin 2 . Gii : (**) 2 C A B C 3 2sin cos 1 2sin 2 2 2 2 + 2 C C A B 1 sin sin cos 0 2 2 2 4 + 2 2 C 1 A B 1 A B sin cos sin 0 2 2 2 4 2 + Bt ng thc cui cựng hin nhiờn ỳng. ng thc xy ra khi v ch khi : C 1 A B sin cos 2 2 2 A B sin 0 2 = = Lu ý A B ; 2 2 2 v C 0; 2 2 thỡ h trờn tng ng vi A = B = C tc l tam giỏc ABC u. Chỳ ý : Bi toỏn tng quỏt cho bi trờn l : Trong tam giỏc ABC a) Vi x, y, z > 0 thỡ ta cú : 2 2 2 cosA cosB cosC x y z x y z 2xyz + + + + b) Với mọi x, y ,z ,ta luôn có: xycosC + yzcosA + zxcosB x 2 + y 2 + z 2 Cỏc bn cú th dựng k thut "tam thc bc hai" hoc cụng c vộc-t gii quyt. Khi cho cỏc giỏ tr c th x, y, z (c bit l x, y, z l di 3 cnh ca mt tam giỏc) thỡ ta cú vụ s cỏc bt ng thc c th. Ví dụ: Cho x = , y = z = ,thay vào câu a ta có bài toán sau: c/m 3cosA + (cosB + cosC) Thớ d 5 : Cho t <z < y chng minh : (x + y + z + t) 2 > 8(xz + yt) (1) Gii : Ta có: (1) f(x) = x 2 + 2x(y - 3z + t) + ( y+ z +t) 2 -8yt > 0 Xét f(x): có ' = (y - 3z + t) 2 - ( y+ z +t) 2 + 8yt = - 4z(2y -2z + 2t) + 8yt = 8(z - t)(z - y) < 0 , (vì t <z < y) và hệ số a = 1 > 0. Nên f(x) > 0 đpcm. Bi tp tng t 1Chứng minh với mọi x, ta có: 2 2 2 (1 sin )x 2(sin cos )x 1 cos 0+ + + + > 2. Chng minh rng trong mi tam giỏc ta cú : a) 2 2 2 9 sin A sin B sin C 4 + + b) A B C 1 sin .sin .sin 2 2 2 8 3. Tỡm x, y tha món : 2 2 2 2 (x y )(x 1) 4x y+ + = Cỏc bi tp khỏc : 1. Xỏc nh cỏc gúc ca tam giỏc ABC sao cho biu thc F 3 cos B 3(cosA cosC)= + + t giỏ tr ln nht. 2. Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC, bit rng sinA + sinB + cos(A + B) = 1,5. 3. Bit rng : 2 2 4x y 2x y 4xy 2.+ + + + Chng minh : 2 y 2x 1 + 4. nh dng tam giỏc ABC tha món: 1 1 1 5 cosA cos B cosC 3 4 5 12 + + = 5*. Xỏc nh cỏc gúc ca tam giỏc ABC sao cho biu thc : 2 F cos Asin Bsin C sin A (cosB cosC) 2 = + + + t giỏ tr ln nht. 6.Cho x, y, z,là các số thực thoả mãn: . Chứng minh: 1 x (HD: Từ gt,tìm y + z = S và yz = P.Khi đó y, z là nghiệm pt t 2 -St +P = 0.Dùng đk để pt có nghiệm.) 2.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất. Chú ý: Tìm min,max của hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0) trên [;]: Hoành độ đỉnh là : x 0 = - a) a > 0: +)nếu x 0 [;] thì min y = f(x 0 ), maxy = max +)nếu x 0 [;] thì min y = min, max y = max b) a < 0: +) nếu x 0 [;] thì max y = f(x 0 ), miny = min +)nếu x 0 [;] thì min y = min, max y = max Th í dụ 1 : Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ pt: Tìm a để xy nhỏ nhất. Gii : Đặt S = x + y, P = xy.Ta có S = 2a - 1; x 2 + y 2 = S 2 - 2P = a 2 + 2a - 3 P = [(2a - 1) 2 - ( a 2 + 2a - 3 )] = (3a 2 - 6a + 4). Điều kiện để hệ có nghiệm là: S 2 - 4P 0 (2a - 1) 2 - 2(3a 2 - 6a + 4) 0 - 2a 2 + 8a - 7 0 2 - a 2 + Ta sẽ tìm a để P = (3a 2 - 6a + 4) đạt min trên [2 - ; 2 + ] Hoành độ đỉnh là a 0 = 1 < 2 - , parabol P quay bề lõm lên trên nên min P = P(2 - ) Vậy với a = 2 - thì xy đạt nhỏ nhất. Thí dụ 2:Tìm a để GTNN của y = 4x 2 - 4ax + a 2 -2a trên [-2;0] bằng 2. Giải: Hoành độ đỉnh: x 0 = . +) Nếu [-2;0]: Khi đó min y = y(x 0 ) = y( ) = - 2a. ycbt - 2a = 2 a = -1 +) Nếu [-2;0]: *) < -2 a < -4: Khi đó min y = y(-2) = a 2 + 6a + 16. ycbt a 2 + 6a + 16 = 2 a 2 + 6a + 14 = 0: VN. *) > 0 a > 0: Khi đó min y = y(0) = a 2 - 2a. ycbt a 2 - 2a = 2 a 2 - 2a -2 = 0 a=1+ hoặc a = 1 - ( loại). Kết luận : a = 1 hoặc a=1+ . Thí dụ 3: Cho x, y thoả mãn: 36x 2 + 16y 2 - 9 = 0 (1) . Tìm min, max của T = y - 2x + 5 (2). Giải: Từ (2) ta có: y = 2x + T - 5,thay vào (1) ta có: f(x) = 100x 2 + 64(T - 5)x + 16(T-5) 2 - 9 = 0 (3). PT (3) có ' = 32 2 (T-5) 2 - 100[16(T-5) 2 - 9] = 900 - 576(T-5) 2 . PT (3) có nghiệm ' 0 900 - 576(T-5) 2 0 16(T-5) 2 25 T Vậy: min T = ; max T = Thí dụ 4 : Tìm min, max của hàm số y = (Đại học s phạm hà nội,khôi A năm 2001) Giải: Ta có: y - 1 = = . Đặt t = sin 2 x, t [0;1], hàm số trở thành: y - 1 = Xét hàm số f(t) = 3t 2 - 2t +2, có ' = - 5 <0, a = 3 >0 và - = [0;1],nên: *)min f(t) = f() = max(y - 1) = max y = + 1 = ,đạt đợc khi sin 2 x = . *) max f(t) = max = f(1) = 3 min(y - 1) = min y = + 1 = ,đạt đợc khi sin 2 =1. KL: max y = , min y = . Thí dụ 5: Tìm a, b sao cho hàm số y = có GTNN là - 1 và GTLN là 4. Giải: +) Ta có: y = 4 a 2 + 16b -64 =0 (1) +) Lại có: y = -1 a 2 -4b -4 = 0 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: hoặc Thí dụ 6:Tìm min,max của: S = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + + (1) Giải: +) Khi x = 0: suy ra S = 1 (2) +) Khi x 0: Chia tử và mẫu của S cho x 2 , và đặt = t, ta đợc: (S-1)t 2 + (S+1)t + S-1 = 0 (3) Phơng trình (3) có nghiệm = -3S 2 + 10S -3 0 S 3 (4) Kết hợp (2) và (4) ta có: min S = khi t = = = 1 ,tức là x = y max S = 3 khi t = = = -1, tức là x = -y Bài tập luyện tập: Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của P = , với x > 0 Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của A = Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của B = Bài 4: Cho x 2 + y 2 + xy = 1,Tìm GTLN,GTNN của C= x 2 + 2y 2 - xy Bài 5: Cho 2x 2 + y 2 + xy 1.Tìm GTLN,GTNN của D = x 2 + y 2 . Bài 6: Cho các số thực x, y thoả mãn x 2 + y 2 = 1. Tìm min, max của S = 3.Một số bài toán về phơng trình và hệ pt. Thí dụ 1: Cho hpt: ,trong đó a 0 và (b -1) 2 -4ac < 0.Chứng minh hệ vô nghiệm. Giải: *)TH1: a > 0: Giả sử hệ có nghiệm là (x 0 , y 0 , z 0 ) .Khi đó ta có: Cộng vế theo vế 3 pt trên ta có: [ax 0 2 + (b -1)x 0 + c] + [ay 0 2 + (b -1)y 0 + c] + [az 0 2 + (b -1)z 0 + c] = 0 (1) Đặt f(t) = at 2 +(b-)t+ c ,theo gt: (b-1) 2 -4ac < 0 nên f(t) > 0 t. Do đó: ( 0) 0 ( 0) 0 ( 0) 0 f x f y f z < < < f(x 0 ) + f(y 0 ) + f(z 0 ) < 0 (Mâu thuẫn với (1)) Vậy khi a > 0 hệ vô nghiệm. *)TH 2: a < 0: c/m tơng tự. Thí dụ 2: Gọi d là tổng chiều dài các đoạn nghiệm trên trục số của hệ bpt: -2 x 2 +px+q 2. Chứng minh: d 4. Giải: Hệ đã cho tơng đơng với: Xét 1 = p 2 -4(q-2) và 2 = p 2 -4(q+2).Ta có 1 = 2 + 16.Có hai khả năng: TH1: 1 0 2 < 0: Khi đó bpt (1) có nhiều nhất là 1 nghiệm nên hệ có nhiều nhất là 1 nghiệm. Tức là d = 0 < 4 TH2: 1 > 0: +) Nếu 2 0: suy ra (2) đúng x.Do đó nghiệm của hệ là nghiệm của (1), tức là: x (3) Khi đó d = = = 4 ( Do 2 0). +) Nếu 2 > 0: Nghiệm của (2) là: x hoặc x (4) Từ (3), (4) suy ra nghiệm hệ là: x hoặc x Khi đó: d = [ - ] + [ - ] = - = - (5) Do 2 > 0 nên = + 4 (6) Từ (5) và (6) suy ra d 4 Vậy trong mọi trờng hợp thì d 4(đpcm). Thí dụ 3: Chứng minh hệ bpt sau, với a > 0 luôn vô nghiệm: Giải: Giả sử hệ có nghiệm. Từ bpt (1) suy ra x > 0, từ bpt (2) suy ra y 2a. Ta có (1) f(x) = x 2 -4ax+y 2 0 (3). f(x) có = 4a 2 -4y 2 0 (Do y 2a) f(x) 0,x,Nên bpt (3) có nghiệm khi và chỉ khi ( = 4a 2 -4y 2 = 0 y = 2a vì a > 0). Thay vào bpt (2) ta có: (2a) 2 - 2a + 2a 0 4a 2 0 a = 0( trái giả thiết a > 0) . Vậy hệ vô nghiệm(đpcm). Bài tập tơng tự: Bài 1: Cho x, y, z là nghiệm của hệ: Chứng minh: - x, y, z Bài 2: Cho a, b, c thoả mãn: Chứng minh: a, b, c [- ; ]. Bài 3: Cho x, y, z thoả mãn: Chứng minh: 1 x . . thức. Thớ d 1 : Chng minh rng : Nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ vi mi x ta cú : a) 2 2 2 2 2 2 b x (b c a )x c 0.+ + + > b) c 2 x 2 - 2( a 2 - b 2 )x + 2a 2 + 2b 2 - c 2. axy -bxy - by 2 - ax 2 ) = [- ax 2 - xy(a+b-c) - by 2 ] Xét f(x) = - ax 2 - xy(a+b-c) - by 2 Có x = y 2 [(a+b-c) 2 - 4ab] = y 2 ( a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2bc - 2ac) = y 2 [c( c- a. vi C sin 2 . Gii : (**) 2 C A B C 3 2sin cos 1 2sin 2 2 2 2 + 2 C C A B 1 sin sin cos 0 2 2 2 4 + 2 2 C 1 A B 1 A B sin cos sin 0 2 2 2 4 2 + Bt ng thc cui cựng hin nhiờn