PDEs
Định lý 2.2.10. [4] (Định lý Peano) Cho f : R×B(x0, r) ⊂Rn →Rn
là hàm liên tục. Khi đó tồn tại t0 > 0 sao cho phương trình
x0(t) = f(t, x(t)),t ∈ (0, t0) x(0) = x0 (2.2.14) có nghiệm.
Chứng minh. Vì f là liên tục, khi đó tồn tại t1 >0, r1 < r và M > 0 sao cho
|f (t, x)| ≤ M, t ∈ [−t1, t1], |x −x0| ≤ r1,
trong đó |.| là chuẩn trong Rn. Lấy t0 ∈ (0, t1) sao cho M r0 < r1. Ta có
X = C ([0, t0],Rn) = {x(t) : [0, t0] →Rn liên tục}
với |x(.)| = max
t∈[0,t0]|x(t)|. Khi đó C([0, t0],Rn) là không gian Banach. Đặt K = {x(.) ∈ X : x (0) = x0,|x(t)−x0| ≤ r1, t ∈ [0, t0]}.
Ta có K là tập con bị chặn lồi đóng của X. Bây giờ ta xác định ánh xạ T : K → K như sau
T x(t) = x0 +
t
R
0
Hiển nhiên ánh xạ T là liên tục. Hơn nữa T là ánh xạ compact và T K là tập compact.
Theo Định lý điểm bất động Leray Schauder thì T có điểm bất động x(.) trong K, nghĩa là x(t) = x0+ t R 0 f(s, x(s))ds. Do đó x0(t) = f(t, x(t)) với mọi t ∈ (0, t0).
Vậy phương trình (2.2.14) có nghiệm.
Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.2.11. [4] Cho Ω⊂ Rn là tập con mở bị chặn với biên trơn nhẵn và ai, b : Ω×R×Rn →R, i = 1,2, ..., n là hàm liên tục sao cho
1. ∂ai ∂ηjξiξj ≥ |ξ|2 với mọi (x, z, ξ) ∈ Ω×R×Rn. 2. |ai(x, z,0)| ≤ g(z), i = 1,2, ..., n, trong đó g(.) ∈ Lq(Ω) và q > n. 3. 1 +|ξ|2 ∂ai ∂ξj + (1 +|ξ|) ∂ai ∂z +|ai| + ∂ai ∂xj + |b| ≤ µ(|z|) 1 +|ξ|2 , với i, j = 1,2, ..., n, trong đó µ : [0,+∞) →[0,+∞) là hàm tăng. 4. −b(x, z, ξ) sgnz ≤ L(|ξ|+f(x)) với mọi (x, z, ξ) ∈ Ω×R×Rn trong đó L > 0 là hằng số. và ai ∈ C1,α Ω×R×Rn , b ∈ C0,α Ω×R×Rn , φ ∈ C2,α Ω trong đó α ∈ (0,1) là hằng số. Khi đó phương trình
−Diai(x, u(x), Du(x)) +b(x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω, u(x) = φ(x), x ∈ ∂Ω, (2.2.15) có nghiệm u ∈ C2,α Ω.
53
Chứng minh. Đối với mỗi v ∈ C1,α Ω và t ∈ [0,1]. Xét bài toán tuyến tính Dirichlet: − t∂ai ∂ηj (x, v(x), Dv(x))Diju(x) + (1−t) ∆u(x) +t ∂ai ∂xi + ∂ai ∂ziηi +b (x,z,η)=(x,v(x),Dv(x)) = 0, x ∈ Ω u(x) = tφ(x), x ∈ ∂Ω. (2.2.16) Vì hệ số thuộc về Cα Ω, chúng ta biết (2.2.16) có nghiệm duy nhất u ∈ C2,α Ω.
Ta xác định ánh xạ T : [0,1]×C1,α Ω → C1,α Ω bởi T (t, v) = u, với mọi (t, v) ∈ [0,1]×C1,α Ω.
Vậy T là ánh xạ compact liên tục. Khi đó tồn tại hằng số M > 0, 0 < γ < 1 sao cho |u|1,γ,Ω ≤ M. Do đó u ∈ Cαγ Ω và tồn tại hằng số C mà không phụ thuộc vào t và u sao cho
|u|2,αγ ≤ C;
Do đó|u|1,α ≤ M. VậyT (.,1)có điểm bất độngu, nghĩa làT (1, u) = u là nghiệm của (2.2.16).
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.13. Cho K(t, s) : [a, b]×[a, b] →[0,+∞) là hàm số liên tục và f (t, x) : [a, b]× R → [0,+∞) là hàm số liên tục. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Với mỗi t ∈ [a, b], f (t, x) là tăng theo x.
2. b R a f(s, c)ds < cM−1 trong đó M = max{K(t, s) : (t, s) ∈ [a, b] × [a, b]} và c > 0 là không đổi.
3. f(t, s) ≥ αsγ với mỗi s ∈ [0, ε0), với ε0 > 0, α > 0 và 0 < γ < 1 là không đổi.
4. K(t, s) 6= 0 với mọi (t, s) ∈ [a, b]×[a, b].
Khi đó phương trình tích phân:
x(t) =
b
Z
a
K (t, s)f (t, x(s))ds, (2.2.17)
có nghiệm không âm trong C([a, b]).
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ T : C([a, b]) → C([a, b]) như sau:
T x(t) =
b
Z
a
K (t, s)f (t, x(s))ds với mọi x(.) ∈ C ([a, b]). (2.2.18)
Ta có, T là ánh xạ compact và liên tục, việc tìm nghiệm của (2.2.17) tương đương với việc tìm điểm bất động của T. Đặt
P = {x(.) ∈ C ([a, b]) : x(t) ≥ 0, t ∈ [a, b]}.
Khi đó P là hình nón trong C([a, b]). Từ giả thiết (1.) và (2.) ta có
kT x(.)k< c,kc(.)k = c, x(.) ∈ P. (2.2.19)
Theo giả thiết (4), tồn tại (t0, s0) ∈ [t0−δ, t0 +δ] ×[s0 −δ, s0 +δ]. Vậy ta có kT x(.)k ≥ x0+δ R s0−δ βf(s, x(s))ds.
Theo giả thiết (3), nếu kx(.)k< min{1, ε0}, ta có
55
Vậy ta có kT x(.)k > kx(.)k với kx(.)k = r và x(.) ∈ P, với r đủ bé. Ta lấy Ω = B(0, r). Do đó T có điểm bất động trong Ω\Ω0∩P. Điều đó có nghĩa là 2.2.17 có nghiệm không âm.
Ta có điều phải chứng minh.
Kết luận:
Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa về bậc Brouwer, bậc Leray Schauder và trình bày các Bổ đề, các định lý về các tính chất liên quan đến bậc tôpô bao gồm lý thuyết bậc Brouwer, lý thuyết bậc Leray Schauder và các kết quả quan trọng khác về lý thuyết bậc. Chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ để minh họa cho các tính chất cơ bản của lý thuyết bậc.
Kết luận
Luận văn đã trình bày những nội dung cơ bản về lý thuyết bậc và ứng dụng của lý thuyết bậc tôpô trong việc khảo sát điều kiện có nghiệm của phương trình, cụ thể:
Chương 1 trình bày lại những kiến thức cơ bản về hàm liên tục khả vi, ánh xạ compact, ánh xạ co và những định lý cơ bản về điểm bất động trong giải tích hàm.
Chương 2 trình bày những khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về lý thuyết bậc tôpô như bậc Brouwer, bậc Leray Schauder. Chúng tôi cũng trình bày một số ứng dụng cơ bản của lý thuyết bậc trong việc tìm điểm bất động của một ánh xạ và điều kiện tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình vi phân.
Vì thời gian và phạm vi có hạn, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Mong các thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nông Quốc Chinh (2003), tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội.
[3] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[4] Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen (2006), Topological Degree Theory and Applications, Taylor end Francis Group, LLC. [5] Rajenda Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa
Publishing House, New Delhi.
[6] E.Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and Its Applica- tions II/B: Nonlinear Monotone Operators, Springer-Verlag, New York.