Bậc Leray Schauder

Trong phần này ta xây dựng bậc Leray Schauder trong không gian Banach.

Định lý 2.2.1. [4] Cho X là không gian Banach thực, Ω ⊂ X là tập mở bị chặn và T : Ω →X là ánh xạ compact liên tục. Với bất kỳ ε > 0, tồn tại F là không gian hữu hạn chiều và ánh xạ liên tục Tε : Ω → F sao cho

kTε −T xk < ε với mọi x ∈ Ω.

Chứng minh. Vì TΩ là một compact tương đối trong X, với bất kỳ ε > 0, khi đó tồn tại tập hợp con hữu hạn {x1, x2, ..., xn} sao cho

T Ω ⊂

n

S

i=1

B(T xi, ε).

Bây giờ ta xác định ánh xạ Tε : Ω → F = span{T x1, T x2, ..., T xn}

như sau: Tεx = n P i=1 φi(x) Γ (x) T xi với mọi x ∈ Ω, trong đó φi(x) = max{0, ε− kT x−T xik} và Γ (x) = n P i=1 φi(x). Khi đó T thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.2. [4] Cho X là không gian Banach thực, B ⊂ X là tập đóng và bị chặn, T : Ω → X là ánh xạ compact liên tục. Giả sử T x6= x với mọi x ∈ B. Khi đó tồn tại ε0 >0 sao cho x =6 tTε1x+ (1−t)Tε2x với x ∈ [0,1] và x ∈ B, trong đó εi ∈ (0, ε0) và Tε1 : B → Fεi với i = 1,2 thỏa mãn Định lý (2.2.1)

Chứng minh. Giả sử kết luận đã cho không đúng. Khi đó tồn tại εj1 → 0, εj2 → 0, tj → t0, xj ∈ B sao cho tjTεj

1xj + (1−t)Tεj

2xj = xj

39

Từ tính compact của T, (T xj)∞j=1 có dãy con T xjk hội tụ đến y ∈ X. Theo Định lý (2.2.1), Tεjk

i

xjk → y với i = 1,2. Do đó T y = y. Điều này trái với giả thiết.

Vậy định lý được chứng minh.

Định nghĩa 2.2.1. Cho X là không gian Banach thực, Ω⊂ X là tập mở bị chặn vàT : Ω →X là ánh xạ compact liên tục,0 ∈/ (I −T) (∂Ω). Khi đó tồn tại ε0 > 0 sao cho

x 6= tTε1x+ (1−t)Tε2x với mọi t∈ [0,1], x ∈ ∂Ω,

trong đóεi ∈ (0, ε0),Tε1 : Ω → Fε1 vớii = 1,2. Khi đódeg (I −Tε,Ω∩Fε,0) được xác định:

deg (I −T,Ω,0) = deg (I −Tε,Ω∩Fε,0), trong đó ε ∈ (0, ε0).

Định lý 2.2.3. [4] Cho C ⊂ X là tập con bị chặn đóng lồi và T : C → C là ánh xạ compact liên tục. Khi đó Tcó điểm bất động trong C.

Chứng minh.Chứng minh tương tự định lý về điểm bất động Brouwer (Định lý (2.1.2))

Ví dụ 2.6. Cho T : l2 → l2 là ánh xạ được xác định: T (x1, x2, ...) = (1− kxk, x1, x2, ...)

với mọi x = (x1, x2, ...) ∈ l2. Khi đó T : B(0,1) →B(0,1) là liên tục nhưng không có điểm bất động trong B(0,1).

Định lý 2.2.4. [4] Cho X là không gian Banach, X0 là không gian con đóng của X và Ω ⊂ X là tập mở bị chặn. Nếu ánh xạ T : Ω → X0 là ánh xạ compact liên tục và p ∈ X0 thì

deg (I −T,Ω, p) = deg (I −T,Ω∩X0, p).

Chứng minh. Vì T Ω ⊂ X0, ta lựa chọn không gian hữu hạn chiều F ⊂ X0 với p ∈ X0 và T1 : Ω → F sao cho kT x−T1xk < ε. Theo Định nghĩa (2.2.1) cho ε > 0 ta có

deg (I −T,Ω, p) = deg (I −T1,Ω∩F, p) = deg (I −T,Ω∩X0, p).

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.5. [4] Cho X là không gian Banach và 0 ∈ Ω ⊂X với Ω là tập mở bị chặn. Nếu T : Ω →X là ánh xạ compact liên tục thì một trong những điều kiện sau là đúng

1. T có điểm bất động trong Ω.

2. Tồn tại λ > 1 và x ∈ ∂Ω sao cho T x= λx.

Chứng minh. Nếu (2.) là đúng, ta có kết luận đúng.

Nếu (2.) không đúng. Đặt H(t, x) = x−tT xvới mọi (t, x) ∈ [0,1]×Ω. Nếu T x =x, x ∈ ∂Ω thì với

x /∈ tT x với mọi (t, x) ∈ [0,1]×∂Ω.

Vậy ta có

deg (I −T,Ω,0) = deg (I,Ω,0) = 1;

Suy ra T có điểm bất động trong Ω.

Ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.2.1. [4] Cho X là không gian Banach vô hạn chiều và 0 ∈/ ∂Ω với Ω là tập mở bị chặn của X. Cho T : Ω → X là ánh xạ

41

compact. Giả sử T x 6= µx với mọi µ ∈ [0,1], x ∈ ∂Ω và 0 ∈/ T ∂Ω. Thì deg (I −T,Ω,0) = 0.

Chứng minh. Trước tiên ta khẳng định tồn tại ε0 > 0 sao cho

kT x−Tεxk < ε, µx 6=Tεx

với mọi µ ∈ [0,1], x ∈ ∂Ω và ε ∈ (0, ε), trong đó Tε thỏa mãn điều kiện của Bổ đề (2.2.1).

Giả sử deg (I −T,Ω,0) 6= 0, khi đó tồn tại εj → 0, xj ∈ ∂Ω, µj → µ0 sao cho µjxj = Tεjxj và vì thế ta có T xj −µjxj → 0. Vì 0 ∈/ T ∂Ω và µ0 6= 0, {xj} có dãy con hội tụ đến x0 ∈ ∂Ω ta suy ra T x0 = µ0x0 điều này trái với giả thiết.

Từ định nghĩa của bậc Leray Schauder, ta có

deg (I −T,Ω,0) = deg (I −Tε,Ω∩F,0).

với ε đủ bé và bất kỳ F ⊃ spanR(Tε). Theo tính bất biến của phép đồng luân đối với bậc Brouwer ta có

deg (I −Tε,Ω∩F,0) = deg (−Tε,Ω∩F,0).

Vì X là không gian Banach vô hạn chiều, ta chọn không gian con F hữu hạn chiều của X sao cho spanR(Tε) là không gian con thực sự của F, và

deg (−Tε,Ω∩F,0) = deg (−Tε,Ω∩F, p).

với bất kỳ p ∈ F với p dần đến 0, vậy ta có

Do đó ta suy ra deg (I −T,Ω,0) = 0.

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.6. [4] Cho X là không gian Banach vô hạn chiều, 0 ∈

Ω0 ⊂ Ωvới Ω0,Ωlà hai tập con mở bị chặn của X. ChoT : Ω\Ω0 → X là ánh xạ compact liên tục thỏa mãn các điều kiện sau:

1. T x 6=λx với mọi λ > 1, x ∈ ∂Ω.

2. T x 6=µx với mọi µ ∈ [0,1), x∈ ∂Ω và 0 ∈/ T ∂Ω. Khi đó T có điểm bất động trong Ω\Ω0.

Chứng minh.Vì T là ánh xạ được xác định trongΩ. Như vậy T x6= x với mọi x ∈ ∂Ω0 ∪∂Ω.

Khi đó ta có deg (I −T,Ω0,0) = 1.

Theo Bổ đề (2.2.1) ta có deg (I −T,Ω,0) = 0. Do đó ta có

deg I −T,Ω\Ω,0 = deg (I −T,Ω,0)−deg (I −T,Ω0,0) =−1.

Vì vậy, T có điểm bất động trong Ω\Ω0.

Ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.2.1. [4] Cho X là không gian Banach vô hạn chiều và Ω0 ⊂ Ωvới 0 ∈ Ω0,Ωlà hai tập mở bị chặn của X. ChoT : Ω\Ω0 → X là ánh xạ compact liên tục thỏa mãn các điều kiện:

1. kT xk ≤ kxk với mọi x ∈ ∂Ω0. 2. kT xk ≥ kxk với mọi x ∈ Ω.

43 Ví dụ 2.7. Cho Ω = (x, y) :x2 +y2 < 4 , Ω0 = (x, y) :x2+y2 < 0 và T : Ω\Ω0 → R2 là phép quay T (x, y) = px2+y2cosθ+ π 4 ,px2+y2sinθ + π 4 ,

với mọi (x, y)∈ Ω\Ω0, trong đó x+yi = px2+y2eiθ.

Khi đó ta có T (x, y) 6= µ(x, y) với mọi µ ∈ [0,1], x2+y2 = 1 và T (x, y) 6=

λ(x, y) với mọi λ ≥ 1, x2+y2 = 4.

Tuy nhiên T không có điểm bất động trong Ω\Ω0

Định lý 2.2.7. [4] Cho X là không gian Banach và 0 ∈ Ω0 ⊂ Ω với Ω0,Ω là hai tập mở bị chặn của X. Cho T : Ω\Ω0 → X là ánh xạ compact liên tục và thỏa mãn các điều kiện:

1. T x 6=λx với mọi λ > 1 và x ∈ ∂Ω0.

2. T x 6=µx với mọi µ ∈ [0,1), x ∈ ∂Ω và 0 ∈/ convT ∂Ω. Khi đó T có điểm bất động trong Ω\Ω0.

Chứng minh. Từ kết quả chứng minh của Định lý (2.2.1), ta có T x 6= x với x ∈ ∂Ω0 ∪∂Ω. Ta chỉ cần chứng minh

deg (I −T,Ω,0) = 0.

Giả sử deg (I −T,Ω,0) 6= 0. Khi đó tồn tại ánh xạ compact T1 : Ω → convT ∂Ω sao cho T1x = T x với x ∈ ∂Ω. Với k > 1, ta có x 6= tT x+ (1−t)kT1x với mọi (t, x) ∈ [0,1]×∂Ω.

Như vậy ta có

Vậy kT1x = x có nghiệm trong Ω với k > 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết bị chặn của Ω. Do đó ta có deg (I −T,Ω,0) = 1.

Ta có điều phải chứng minh.