Biến đổi Stockwell và mở rộng (LV00266)

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tậ p và vượt qua những khó k hăn t rong chuyên môn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giả i tích, quý thầy cô, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc t ốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác g iả LỜI CAM ĐOAN Tôi xi n cam đoan Luận văn l à công trình nghiên cứu của r iêng tôi dưới sự hướng dẫn của ti ến sĩ Bùi Ki ên Cường. Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả k hoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác g iả Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu 8 1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R n ) . . . . . . . . . 12 1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(R n ) . . . . 13 1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R n ) . . . . . . . . . 15 1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 16 1.3 Biểu diễn thời gian tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Biến đổi Stockwell 46 2.1 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn . . 46 2.2 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập . . . . . . . . . 48 2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . 49 2.4 Tính chất của biến đổi Stockwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1. Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier . . . . . 51 2.4.2. Biến đổi Stockwell ngược liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Biến đổi Stockwell rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 2.6.1. Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng . . . . . . . . . 60 2.6.2. Biến đổi Stockwell cực hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6.3. Cấu trúc của biến đổi Sto ckwell hai chiều . . . . . . . . . . . . 65 2.6.4. Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã là một công cụ hữu hiệu trong việc phâ n tích các dữ liệu địa vật lý. Một hạn chế của phép biến đổi Fourier là nó chỉ đưa ra được hình ảnh quang phổ theo toàn bộ thời gi an. Điều này là phù hợp đối với chuỗi thời gian bất biến. Tuy nhiên, trong lĩnh vực địa vật lý, sự đứng yên là sự lý tưởng hóa phi thực tế. Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗi thời gian, và biên độ thời gian trung bình được tìm thấy bởi các phương pháp Fourier là không đủ để mô tả các hiện tượng như vậy. Vì thế, những năm gần đây, giải tích Four ier đã đưa ra được một số phương pháp cao cấp hơn trong việc biểu diễn phổ, một đại diện của việc cải tiến kĩ thuật này là biểu diễn thời gian-tần số hay còn gọi là phép biến đổi Forier thời gian ngắn, biến đổi sóng nhỏ l iên tục. Biến đổi Stockwell là phép biến đổi tích phân tiếp theo có những ứng dụng thành công nhất trong lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh tr ong y học. Nó cũng g iống như biến đổi só ng nhỏ liên tục t rong việc có những giải pháp liên tục để mô tả phổ của dấu hiệu, nhưng không giống như biến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hoàn toàn ghi nhớ được các pha thông tin và t rả lời bằng một tần số có biên độ bất biến. Xem xét một cách tuyệt đối các thông tin từng pha có nghĩa là thông tin cho b ởi biến đổi Stockwell tham khảo đối số của hàm cosin tại thờ i điểm ban đầu. Phép biến đổi Stockwell xác định những pha địa phương bằng con đường trực quan, tại đỉnh quang phổ, cũng như ngoài đỉnh quang phổ, nơ i tốc độ thay đổi của các pha dẫ n đến một kênh phân tích tần số tức thời. Biến đổi Stockwell không chỉ ước l ượng được năng lượng quang phổ địa phương mà còn ước lượng được cả pha quang phổ. 5 6 Biến đổi Stockwell mang tên chính tá c giả - mộ t nhà toán học trẻ tuổi người Mỹ, Robert Stockwell, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1996. Đến nay, các nỗ lực sự hiểu biết các nền tảng của toán học của biến đổi St ockwell vẫn còn đang được tiến hành. Trong luận văn, chúng tôi cũng mới chỉ dừng lại ở một số tính chất lý t huyết ban đầu. Những ứng dụng thực tiễn phong phú của biến đổ i này sẽ tiếp tục được nghi ên cứu, đây là một trong những lĩnh vực mới mẻ và lý thú của toán học ứng dụng. Vớ i tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết của biến đổi Stockwell trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng, đồng thời xuất phát từ sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực hiện luận văn tốt nghiệp: "Biến đổi Stockwell và mở rộng" 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích là nghiên cứu phép biến đổi Stockwell và một số mở rộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìm những mở rộng của phép bi ến đổi này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell trong trường hợp một chiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều. 3. Đ ố i tượng và phạm vi n ghiên cứu Đưa ra và chứng minh được những kết quả mới, điển hình về phép biến đổi Stockwell m ột chiều, biến đổi Stockwell hai chiều. 7 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hình thành bài viết tổng quan và tìm tòi, khám phá những chi tiết mới trong vấn đề nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hình thành lý thuyết về biến đổi này. Đồng thời chứng minh chi ti ết một số định lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bày chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt), đưa ra được những ví dụ hoặc phản ví dụ minh họ a. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1 Một số kí hi ệu và không gian hàm N = {0, 1, 2, } là tập các số tự nhiên, Z + = {0, 1, 2, } là tập các số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo √ −1 = i. Vớ i mỗi n ∈ N \ {0}, tập Z n + = {α = (α 1 , α 2 , , α n ), α j ∈ Z + , j = 1, 2, , n}, R n = {x = (x 1 , x 2 , , x n ), x j ∈ R, j = 1, 2, , n}. Lấy x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n . Tích vô hướng x ·y của x và y được xác định bởi x ·y = n  j=1 x j y j và chuẩn | x | của x được cho bởi | x |=  n  j=1 x 2 j  1 2 . Giả sử Ω là một tậ p mở trong R n , k ∈ Z + . Khi đó, ta có kí hiệu các tập như sau: C k (Ω) = {u : Ω −→ C, u là hàm khả vi liên tục đến cấp k}, C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục trên Ω} C k 0 (Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈ C k (Ω), suppu là tập compact}, C ∞ (Ω) = ∞  k=1 C k (Ω), C ∞ 0 (Ω) = ∞  k=1 C k 0 (Ω), 8 9 trong đó supp u = {x ∈ Ω | u(x) = 0}. Vớ i mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu L p (Ω) = {u : Ω đđ −−−−−→ Leb e sgue C |  Ω | u(x) | p dx < ∞}, với p = ∞, kí hiệu L ∞ (Ω) = {u : Ω −→ C | esssup x∈Ω | u(x) |< ∞}, trong đó esssup x∈Ω | u(x) |= inf {M > 0 | µ{x ∈ Ω || u(x) |> M} = 0}, µ là độ đo Lebesgue. Ta kí hiệu các toán tử vi phân ∂ ∂x 1 , ∂ ∂x 2 , , ∂ ∂x n trên R n tương ứng là ∂ 1 , ∂ 2 , , ∂ n và các toán tử vi phân −i∂ 1 , −i∂ 2 , , −i∂ n trên R n tương ứng là D 1 , D 2 , , D n . Vớ i đa chỉ số α = (α 1 , α 2 , , α n ) , nghĩa là một bộ số nguyên không âm; | α |=  n j=1 α j là độ dài của α, ta ký hiệu ∂ α = ∂ α 1 1 ∂ α 2 2 ∂ α n n , và D α = D α 1 1 D α 2 2 D α n n . Định nghĩa 1.1. Không gian D(Ω) là tập hợp gồm các hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ j } ∞ j=1 các hàm trong C ∞ 0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) nếu (i) Tồn tại tậ p compact K ⊂ Ω mà supp ϕ j ⊂ K, j = 1, 2, (ii) lim j→∞ sup x∈Ω | ∂ α ϕ j (x) − ∂ α ϕ(x) | = 0, với mọi α ∈ Z n + . Định nghĩa 1.2. Ta nó i rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) . Tập tấ t cả các hàm suy rộng trên Ω được k í hiệu là D  (Ω). 10 Hàm suy rộ ng f ∈ D  (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là < f, ϕ > . Hai hàm suy rộng f, g ∈ D  (Ω) được gọi là bằng nhau nếu < f, ϕ > = < g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω). Định nghĩa 1.3. Không gian S(R n ) là tập hợp S(R n ) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) | | x α ∂ β ϕ(x) |< C α,β , ∀x ∈ R n , ∀α, β ∈ Z n + } với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy{ϕ k } ∞ k=1 trong S(R n ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R n ) trong S(R n ) nếu lim k→∞ sup x∈R n | x α ∂ β ϕ k (x) − x α ∂ β ϕ(x) |= 0, ∀α, β ∈ Z n + . Khi đó, ta viết S_ l im k→∞ ϕ k = ϕ. Định nghĩa 1.4. Cho hàm f ∈ D  (R n ). Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho |< f, ϕ >|≤ C sup x∈R n    (1+ | x | 2 ) m  |α|≤m | ∂ α ϕ(x) |    , ∀ϕ ∈ D(R n ). Không gian các hàm suy rộng t ăng chậm S  (R n ) là tập tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. 1.2 Biến đổi Fourier 1.2.1. Đạo hàm suy r ộng Giả sử α = (α 1 , α 2 , , α n ) là một vector với các thành phần nguyên không âm. Hàm f α (·) ∈ L 1,loc (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω ⊂ R n của hàm f(·) ∈ L 1,loc (Ω) nếu đối với hàm tuỳ ý g(·) ∈ C |α| 0 ( Ω) ta có đẳng thức  Ω f(x) ∂ α g(x)dx = (−1) |α|  Ω f α (x)g(x)dx. (1.1) 11 Nhận xét 1.1. a) Nếu hàm f(x) có đạo hàm suy r ộng cấp α thì đạ o hàm suy rộng đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử f α 1 (x) và f α 2 (x) là hai đạo hàm suy rộng của f(x). Do (1.1) với Ω  cố định tuỳ ý mà Ω  ⊂⊂ Ω và với g( x) ∈ C |α| 0 (Ω  ) tuỳ ý ta có  Ω [f α 1 (x) − f α 2 (x)] g(x)dx = 0 f α 1 (x) − f α 2 (x) ∈ L 2 (Ω  ), suy ra f α 1 (x) − f α 2 (x) = 0 hầu khắp nơi trên Ω  (theo bổ đề 1.1 bên dưới đây), có nghĩ a là hầu khắp nơi trên Ω. Bổ đề 1.1. Với mọi hàm khả tích địa phương g trên R n , g kh ông bằng 0 hầu khắp nơi, tồn tại hàm ϕ ∈ D(R) sao cho  g(x)ϕ(x)dx = 0. b) Nếu f(x) ∈ C |α| ( Ω) thì theo công thức Ostrogratski ta có  Ω f(x) ∂ α g(x)dx = (−1) |α|  Ω f α (x) g(x)dx với hàm tuỳ ý g(x) ∈ C |α| 0 ( Ω). Có nghĩa là hàm f(x) có đạo hàm suy rộng cấp α và f α (x) bằng ∂ α f(x). Đặc biệt nếu hàm g(x) bằng hằng số hầu khắp nơi trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý f α (x) = 0. c) Nếu g là hàm số trơn thì đạo hàm ∂ |α| g ∂x α 1 1 ∂x α n n không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân, cho nên với cô ng thức (1.1) và sự duy nhất cuả đạo hàm suy rộng, ta suy ra đạo hàm suy rộng cũng không phụ thuộc vào thứ tự lấy vi phân. d)Nếu các hàm số f 1 (x), f 2 (x) có đạo hàm suy rộng ∂ α f 1 , ∂ α f 2 trong miền Ω thì hàm c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) với c 1 , c 2 là các hằng số, cũng có đạo hàm suy rộng cấp α và ∂ α (c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x)) = c 1 ∂ α f 1 (x) + c 2 ∂ α f 2 (x). [...]... lý Parseval) ánh xạ f → f xác định trên S(Rn ) có thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ L2(Rn ) vào chính nó Định lý 1.6 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược là các phép biến đổi tuyến tính liên tục từ S(Rn ) lên S(Rn ) Hơn nữa nếu ˆ α và β là các đa chỉ số tùy ý thì (iξ)α∂ β f (ξ) = F [∂ α((−ix)β f (x))](ξ) 1.2.4 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) Định nghĩa 1.9 Giả... đa chỉ số α ∈ Nn Định nghĩa 1.11 Nếu u ∈ S (Rn) thì phép biến đổi Fourier của u, kí hiệu là F u hay u được định nghĩa bởi ˆ ∀ϕ ∈ S(Rn ) (F u, ϕ) = u(ϕ) = u(ϕ), ˆ ˆ Định lý 1.10 Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S (Rn ) lên S (Rn ) Định lý 1.11 (Công thức biến đổi ngược) Nếu u ∈ S (Rn ) là hàm suy rộng ôn hòa và F u = u là phép biến đổi Fourier của u thì ˆ ∼ u(ϕ) = u(ϕ) ∼ ∼ ∼ trong đó u(ϕ) =... hàm từ phép biến đổi sóng nhỏ liên tục là việc nghiên cứu biến đổi ngược Trong phép biến đổi Fourier của các hàm thuộc L2 (R), việc nghiên cứu biến đổi Fourier ngược có thể bắt đầu từ đẳng thức Parseval Dưới đây lần lượt là các định lý về công thức Parseval đối với các phép biến đổi sóng nhỏ, phép đẳng cự của phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và công thức ngược của nó Định lý 1.18 (Đẳng thức Parseval) Cho... và giống như là kính viễn vọng phân tích chi tiết địa phương tại b Mặt phẳng được xác định bởi biến số (a, b) được gọi là thang bậc - không gian hoặc mặt phẳng thời gian - tần số Tương tự như phép biến đổi Fourier, người ta cũng rất quan tâm đến việc khôi phục một hàm thuộc L2 (R) từ phép biến đổi sóng nhỏ 37 liên tục Cơ sở để xác định một hàm từ phép biến đổi sóng nhỏ liên tục là việc nghiên cứu biến. .. )g(t − )e−2πit.ω dt 2 2 Rn Các công thức này thể hiện các mặt khác nhau của biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) Trong (1.4) và (1.7), STFT được viết như một ˆ biến đổi Fourier địa phương của f và f , theo như ý tưởng chính với định nghĩa của nó, ngược lại trong (1.9) và (1.10), STFT được viết như là tích chập Trong (1.5) và (1.6), Vg f được viết như là một tích của f với một phép dịch chuyển thời... (1.3) i) Nếu g có giá compact với tâm giá của nó đặt tại gốc, thì Vg f (x, ·) là biến đổi Fourier của một đoạn của f đặt ở tâm trong một lân cận tâm là x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến vị trí khác Vì lí do này biến đổi Fourier thời gian ngắn thường được gọi là "Biến đổi Fourier cửa sổ trượt" Với một vài hạn chế, Vg f (x, ω) có thể được nghĩ như là độ đo của biên độ dải tần số ω tại... tại x của phép biến đổi Fourier ii) Trong phân tích, ít nhất số chiều n = 1, R2n được gọi là mặt phẳng thời gian-tần số, và trong vật lý R2n được gọi là không gian pha iii) Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính với f và tuyến tính liên hợp với g Thông thường cửa sổ g sẽ được giữ cố định và Vg f được xem như ánh xạ tuyến tính từ các hàm trên Rn đến các hàm trên R2n Rõ ràng hàm Vg f và các tính... f (x).g(t), giả sử Ta là phép biến đổi tọa độ không đối xứng Ta F (x, t) = F (t, t − x) (1.14) và giả sử F2 là phép biến đổi Fourier riêng F2 F (x, ω) = F (x, t)e−2πit.ω dt (1.15) Rn của một hàm F trên R2n Bằng cách sử dụng kí hiệu này, định nghĩa (1.12) có thể biểu diễn như sau Bổ đề 1.3 Nếu f, g ∈ L2(Rn ), thì Vg f = F2 Ta (f ⊗ g) (1.16) Miền xác định của phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Trong... ∼ ∼ trong đó u(ϕ) = u(ϕ), ϕ(x) = ϕ(−x) Chú ý 1.2 Từ định lý trên, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier ngược của một hàm suy rộng ôn hòa u bởi: F −1(u) = F [u(−x)], u ∈ S (Rn ) 17 1.3 Biểu diễn thời gian tần số 1.3.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn Định nghĩa 1.12 Cố định một hàm g = 0 (gọi là hàm cửa sổ) Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f đối với g được định nghĩa là Vg f (x, ω) =... = (−1)|α+β| Ggdx Ω 1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) ˆ Định nghĩa 1.5 Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (Rn ) là hàm f , xác định trên Rn bởi n ˆ F f (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2 e−ix.ξ f (x)dx, Rn ξ ∈ Rn 13 ở đó xξ = x1ξ1 + + xnξn Ta còn ký hiệu biến đổi Fourier của hàm f bởi F f Định nghĩa 1.6 Nếu các hàm u, ϕ khả tích trên Rn thì tích chập của u và ϕ kí hiệu là u ∗ ϕ, được định . của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn . . 46 2.2 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập . . . . . . . . . 48 2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng. phép biến đổi Stockwell và một số mở rộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìm những mở rộng của phép bi ến đổi này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về biến. 49 2.4 Tính chất của biến đổi Stockwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1. Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier . . . . . 51 2.4.2. Biến đổi Stockwell ngược liên