Biến đổi Stockwell và mở rộng

Lý do chọn đề tài Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã làmột công cụ hữu hiệu trong việc phân tích các dữ liệu địa vật lý.Một hạn chế của phép biến đổi Fourier là nó

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP HàNội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình caohọc và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoahọc của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

Tác giả

Mục lục

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 8

1.1 t số Mộ k í h iệ u v à kh ô n g gi an hàm 8

1.2 iế B n đ ổi F o ur ie r 10

1.2.1 Đạo hàm suy rộng 10

1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(Rn) 12

1.2.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(R n) 13

1.2.4 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn) 15

1.2.5 Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng 16

1.3 iể B u d iễ n th ời gi an tần số 17

1.3.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 17

1.3.2 Biến đổi sóng nhỏ 29

Chương 2 Biến đổi Stockwell 46 2.1 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn 46 2.2 g u ồ n gốc N c ủa b iế n đ ổi S t oc k well từ b iế n đ ổi t íc h c hập 48

2.3 g u ồ n gốc N b iế n đ ổi S t oc k well từ b iế n đ ổi s ó n g nh ỏ 49

2.4 í nh T c hất c ủa b iế n đ ổi S t oc k well 51

2.4.1 Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier 51

2.4.2 Biến đổi Stockwell ngược liên tục 52

2.5 iế B n đ ổi S t oc k well rời rạc 55

2.6 ườ Tr n g h ợ p ha i c h iề u 59

2.6.1 Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng 60

2.6.2 Biến đổi Stockwell cực hai chiều 63

2.6.3 Cấu trúc của biến đổi Stockwell hai chiều 65

2.6.4 Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc 66

2.7 é p b iế Ph n đ ổi S t oc k well m ở r ộ n g 67

K ế t l uận 72

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã làmột công cụ hữu hiệu trong việc phân tích các dữ liệu địa vật lý.Một hạn chế của phép biến đổi Fourier là nó chỉ đưa ra được hình ảnhquang phổ theo toàn bộ thời gian Điều này là phù hợp đối với chuỗithời gian bất biến Tuy nhiên, trong lĩnh vực địa vật lý, sự đứng yên

là sự lý tưởng hóa phi thực tế Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗithời gian, và biên độ thời gian trung bình được tìm thấy bởi cácphương pháp Fourier là không đủ để mô tả các hiện tượng như vậy Vìthế, những năm gần đây, giải tích Fourier đã đưa ra được một sốphương pháp cao cấp hơn trong việc biểu diễn phổ, một đại diện củaviệc cải tiến kĩ thuật này là biểu diễn thời gian-tần số hay còn gọi làphép biến đổi Forier thời gian ngắn, biến đổi sóng nhỏ liên tục

Biến đổi Stockwell là phép biến đổi tích phân tiếp theo có nhữngứng dụng thành công nhất trong lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh trong yhọc Nó cũng giống như biến đổi sóng nhỏ liên tục trong việc có nhữnggiải pháp liên tục để mô tả phổ của dấu hiệu, nhưng không giống nhưbiến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hoàn toàn ghi nhớ được các phathông tin và trả lời bằng một tần số có biên độ bất biến Xem xét mộtcách tuyệt đối các thông tin từng pha có nghĩa là thông tin cho bởi biếnđổi Stockwell tham khảo đối số của hàm cosin tại thời điểm ban đầu.Phép biến đổi Stockwell xác định những pha địa phương bằng con đườngtrực quan, tại đỉnh quang phổ, cũng như ngoài đỉnh quang phổ, nơi tốc

độ thay đổi của các pha dẫn đến một kênh phân tích tần số tức thời.Biến đổi Stockwell không chỉ ước lượng được năng lượng quang phổ địaphương mà còn ước lượng được cả pha quang phổ

5

Với tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết của biến đổiStockwell trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng, đồng thời xuất phát

từ sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau đểthực hiện luận văn tốt nghiệp:

"Biến đổi Stockwell và mở rộng"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích là nghiên cứu phép biến đổi Stockwell và một số mởrộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìmnhững mở rộng của phép biến đổi này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell trong trường hợp mộtchiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đưa ra và chứng minh được những kết quả mới, điển hình về phépbiến đổi Stockwell một chiều, biến đổi Stockwell hai chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hìnhthành bài viết tổng quan và tìm tòi, khám phá những chi tiết mới trongvấn đề nghiên cứu

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của

đề tài

Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hìnhthành lý thuyết về biến đổi này Đồng thời chứng minh chi tiết một sốđịnh lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bày chứngminh hoặc chứng minh vắn tắt), đưa ra được những ví dụ hoặc phản ví

dụ minh họa

\

8

0

trong đó supp u = {x ∈ Ω | u(x) ƒ= 0}.

Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu

(i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕ j ⊂ K, j = 1, 2,

(ii) lim sup | ∂ α ϕ j (x) − ∂ α ϕ (x) | = 0, với mọi α ∈ Z n

được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R n ) trong S(R n) nếu

Giả sử α = (α1, α2, ., α n) là một vector với các thành phần

nguyên không âm Hàm f α (·) ∈ L 1,loc(Ω) được gọi là đạo hàm suy

rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Rn của hàm f (·) ∈ L 1,loc(Ω) nếu đối

+

∈

∈

0

Nhận xét 1.1 a) Nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α thì

hàm suy rộng của f(x) Do (1.1) với Ω

với g(x) ∈ C |α|(Ω ) tuỳ ý ta có cố định tuỳ ý mà Ω ⊂⊂ Ω và

1 (x) − f2 (x) ∈ L2(Ω ), suy ra f1 (x) − f2 (x) = 0 hầu khắp nơi

trên Ω

(theo bổ đề 1.1 bên dưới đây), có nghĩa là hầu khắp nơi trên Ω

Bổ đề 1.1 Với mọi hàm khả tích địa phương g trên Rn , g không

bằng 0 hầu khắp nơi, tồn tại hàm ϕ ∈ D(R) sao cho

d) Nếu các hàm số f1(x), f2(x) có đạo hàm suy rộng ∂ α f1, ∂ α f2

trong

r

0

miền Ω thì hàm c1f1(x) + c2f2(x) với c1, c2 là các hằng số, cũng có

đạo hàm suy rộng cấp α và

∂ α (c1f1(x) + c2f2(x)) = c1∂ α f1(x) + c2∂ α f2(x).

e) Nếu ∂ α f (x) là đạo hàm suy rộng của f (x) trên Ω ⊂ R n thì ∂ α f

đạo hàm suy rộng (nếu nó tồn tại) của một hàm tiêu hạn f (x) trên

Ω

sẽ tiêu hạn trên Ω và vì vậy thuộc L1(Ω)

f) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng ∂ α f (x) được xác

định ngay đối với cấp |α| mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp

thấp hơn tương ứng tồn tại

Chú ý 1.1 Nếu hàm f ∈ L 2,loc (Ω) có đạo hàm suy rộng ∂ α f = F còn hàm F có đạo hàm suy rộng ∂ β F = G thì tồn tại đạo hàm suy

Định nghĩa 1.5 Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(Rn) là hàm

ở đó xξ = x1ξ1 + + x n ξ n Ta còn ký hiệu biến đổi Fourier của

hàm f

bởi F f

Định nghĩa 1.6 Nếu các hàm u, ϕ khả tích trên R n thì tích chập của

u và ϕ kí hiệu là u ∗ ϕ, được định nghĩa bởi

fˆ trong

1.2.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz

S(Rn)

Định nghĩa 1.7 Biến đổi Fourier của hàm f ∈ S(R n) là hàm số,

kí hiệu fˆ, hay F f được định nghĩa bởi:

Định nghĩa 1.8 Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S(R n) là hàm số, kí hiệu F−1f , được định nghĩa bởi:

−n

¸

F−1f (x) = (2π) 2

Định lý 1.3 Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(R n ) lên

S(Rn ) Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ S(R n ), ta có

−n

¸

f (x) = (2π) 2

Định lý 1.5 (Định lý Parseval) ánh xạ f ›→ fˆ xác định trên

S(Rn ) có thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ L2(Rn ) vào

chính nó.

Định lý 1.6 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier

ngược là các phép biến đổi tuyến tính liên tục từ S(Rn ) lên

S(Rn ) Hơn nữa nếu α và β là các đa chỉ số tùy ý thì (iξ) α ∂ β

fˆ (ξ) = F [∂ α ((−ix) β f (x))](ξ).

1.2.4 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(Rn)

Định nghĩa 1.9 Giả sử f ∈ L2(Rn ) Do S(R n) trù mật trong

f (x + 2πk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó.

(ii) Chuỗi Fourier.

1.2.5 Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng

Định nghĩa 1.11 Nếu u ∈ S (R n ) thì phép biến đổi Fourier của u,

kí hiệu là F u hay uˆ được định nghĩa bởi

Chú ý 1.2 Từ định lý trên, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier

ngược của một hàm suy rộng ôn hòa u bởi:

1.3 Biểu diễn thời gian tần số

1.3.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn

Định nghĩa 1.12 Cố định một hàm g ƒ= 0 (gọi là hàm cửa sổ)

Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f đối với g được định

Chú ý 1.3 i) Nếu g có giá compact với tâm giá của nó đặt tại gốc,

thì V g f (x, ·) là biến đổi Fourier của một đoạn của f đặt ở tâm trong một lân cận tâm là x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x

đến vị trí khác Vì lí do này biến đổi Fourier thời gian ngắnthường được gọi là "Biến đổi Fourier cửa sổ trượt" Với một vài

hạn chế, V g f (x, ω) có thể được nghĩ như là độ đo của biên độ dải tần số ω tại thời điểm x Theo ý nghĩa này V g f (x, ω) là một khắc cho điều không thể "phổ tần số tức thời" tại x của phép

biến đổi Fourier

b) Trong phân tích, ít nhất số chiều n = 1, R 2n được gọi là mặtphẳng thời gian-tần số, và trong vật lý R2n được gọi là khônggian pha

c) Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính với f và tuyến tính liên hợp với g Thông thường cửa sổ g sẽ được giữ cố định

và V g f được xem như ánh xạ tuyến tính từ các hàm trên Rn đếncác hàm

trên R2n Rõ ràng hàm V g f và các tính chất của ánh xạ f ›→ V g f

phụ thuộc chủ yếu vào sự lựa chọn cửa sổ g.

Kí hiệu ∗ là phép đối hợp : g∗(x) = g(−x) Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 Nếu f, g ∈ L2(R) thì V g f là liên tục đều trên R2n và

V g f (x, ω)

Rn 2 2Các công thức này thể hiện các mặt khác nhau của biến đổiFourier thời gian ngắn (STFT) Trong (1.4) và (1.7), STFT được viết

như một biến đổi Fourier địa phương của f và fˆ, theo như ý tưởng

chính với định

nghĩa của nó, ngược lại trong (1.9) và (1.10), STFT được viết như là

tích chập Trong (1.5) và (1.6), V g f được viết như là một tích của f với

một phép dịch chuyển thời gian-tần số Dạng đối xứng

thường được gọi là hàm nhập nhằng chéo Nó đóng vai trò quan trọng

trong rada và trong quang học Ngoại trừ thừa số pha e −2πix.ω, nó trùngvới STFT

Công thức (1.8), nghĩa là

V g f (x, ω) = e −2πix.ω V g fˆ (ω, −x). (1.13)Đây là đồng nhất thức cơ bản của giải thích thời gian-tần số Nó kết

hợp cả f và fˆ trong một biểu diễn thời gian-tần số Trong biểu diễn

này, biến đổi Fourier chẳng khác gì phép quay mặt phẳng thời gian tần số

-một góc π .

Trong Bổ đề 1.2, chúng ta đã nhấn mạnh tính chất tuyến tính của

STFT trong trường hợp của một cửa sổ cố định g Ngoài ra STFT có

thể được coi như là dạng bán song tuyến tính (f, g) ›→ Vg f

Cho f ⊗ g là tích tensor (f ⊗ g)(x, t) = f (x).g(t), giả sử T a là phép biến

đổi tọa độ không đối xứng

Trong Định nghĩa 1.12, chúng ta đã không chỉ ra miền xác địnhcủa

f và g Rõ ràng, nếu f, g ∈ L2(Rn ), thì f · T x g ∈ L1(Rn ) và V g f (x, ω)

= (f · T x g )ˆ(ω) được định nghĩa từng điểm Tương tự, nếu g ∈

L p(Rn ) và f ∈ L pr (Rn ) thì do bất đẳng thức Holder f · T x g ∈ L1(Rn)

và STFT lại được xác định theo từng điểm

Viết STFT như là tích vô hướng V g f (x, ω) =< f, M ω T x g > là

cách hữu ích để mở rộng miền xác định của STFT trong trường hợp tíchphân không được xác định Như là một kinh nghiệm, chúng ta có thể

xem xét STFT, khi mà dấu ngoặc < ·, · > được xác định bởi một vài

dạng đối

ngẫu Ví dụ, nếu B là một không gian Banach chứa trong S (Rn) làbất biến dưới sự dịch chuyển thời gian - tần số, thì STFT được xácđịnh

2

r

.

khi f ∈ B, g ∈ B∗ hoặc f ∈ B∗, g ∈ B Tổng quát hơn, V g f được

xác định với tất cả các hàm suy rộng tăng chậm f ∈ S (R n), với điềukiện

suy rộng tăng chậm xác định với f, g ∈ S (R n)

Tính chất tiếp theo đôi khi được gọi là tính chất hiệp phương saicủa STFT

r

r

Định lý 1.12 (Các hệ thức trực giao với STFT) Cho f1, f2, g1, g2 ∈

Chứng minh thứ 2 của các hệ thức trực giao Chúng ta sử dụng

việc phân tích thành thừa số (3.13) của STFT Vì trên L2(R2n) cả hai

toán tử F2 và Ta là unita, chúng ta suy ra các hệ thức trực giao như sau:

đẳng cự từ L2(Rn ) vào L2(R2n)

Từ (1.21) suy ra rằng f hoàn toàn được xác định bởi V g f Hơn nữa, kéo

theo < f, M ω T x g > = 0, ∀x, ω ∈ R n ⇒ f = 0 tương đương với việc nói rằng với mỗi g ∈ L2(Rn ) cố định, tập hợp {M ω T x g : x, ω ∈ R n}

sinh ra một không gian con trù mật của L2(Rn) Điều này vẫn để mởcâu hỏi về

cách mà f có thể tìm lại được từ V g f Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các

hệ thức trực giao kéo theo một công thức nghịch đảo đáng chú ý

Với việc lập công thức như một công thức nghịch đảo, chúng tacần giải thích ngắn gọn về tích phân giá trị vector hoặc tích phân giátrị toán tử, tích phân giá trị vector hoặc tích phân giá trị toán tử luôn

được hiểu theo một nghĩa yếu (trừ trường hợp cụ thể khác) Nếu g là

một hàm trên Rn mà lấy giá trị trong một không gian Banach B, nghĩa

là g(x) ∈ B với mọi x ∈ R n thì f = ¸ g (x)dx có nghĩa là:

duy nhất f ∈ B∗∗ Chúng ta sẽ chỉ làm việc với các không gian

do đó f = f và công thức nghịch đảo được chứng minh.

Chú ý 1.4 1) Công thức nghịch đảo (1.25) chỉ ra rằng f có thể được

biểu diễn như một sự chồng lên liên tục của các dịch chuyển thời gian

- tần số với STFT như hàm trọng Với ý nghĩa này, (1.25) tương tự nhưcông thức

nghịch đảo của phép biến đổi Fourier, có nghĩa là f

(x) = ¸

fˆ (ω)2 πix.ω d ω.

Tuy nhiên, trong phép biến đổi Fourier ngược, các hàm sơ cấp

2πix.ω không thuộc L2(Rn), trong khi đó, ở hệ quả 1.2 các hàm sơ cấp

M ω T x γ là các hàm đặc biệt tốt trong L2(Rn)

2) Các tích phân giá trị vector dạng (1.22) có quan hệ gần với

STFT Giả sử A g là toán tử tuyến tính được xác định bởi A g F =

R2n F (x, ω)M ω T x gdxdω Bởi (1.24) A g là một toán tử bị chặn từ L2(R2n)

lên L2(Rn ) Ngoài ra, A g chắc chắn là toán tử tự liên hợp của STFT

V g (được xem như một toán tử từ L2(Rn ) vào L2(R2n)) Điều khẳngđịnh này suy ra từ sự tính toán

đảo (1.25) do đó hiểu là

¸¸

g g

V γ V g = I. (1.26)Vật lý lý thuyết sử dụng ngôn ngữ khác để mô tả công thức nghịch

đảo (1.25) Các dịch chuyển thời gian - tần số T x M ω g của một cửa sổ

∗

cố định được gọi là tổng quát hóa các "trạng thái nhất quán" (coherentstate) và công thức nghịch đảo được thể hiện như một phân tích trạng

thái cơ học lượng tử f thành các trạng thái nhất quán trong ý nghĩa

chặt chẽ là các dịch chuyển thời gian - tần số của các hàm Gauss.Trong trường hợp này, (1.25) chung quy là một phân tích thành cáctrạng thái của tính không chắc chắn cực tiểu Đó là lệ thường để viếtcông thức nghịch đảo như một sự xếp chồng lên của hạng của mộttrong các toán

tử Giả sử H là một không gian Hilbert, và giả sử u ⊗ v kí hiệu hạng

của

một toán tử được định nghĩa bởi (u ⊗ v)(h) =< h, v > u với u, v, h ∈

H Vậy thì (1.25) là cách giải liên tục của toán tử đồng nhất sau

compact đều được chứa trongK m nào đó Hình lập phương [−m;

Hệ quả 1.1, chúng ta đánh giá với h ∈ L2(Rn) là

Do đó với mỗi n, f n là một phần tử hoàn toàn xác định của L2(Rn)

và hơn nữa, ||f n||2 ≤ | < γ, g > |−1||g||2||γ||2||h||2 do Hệ quả 1.1 Tiếptheo chúng ta đánh giá tương tự là :

.¸ ¸

Vì V g f ∈ L2(R2n ) và K m là vét kiệt, vế phải trở thành nhỏ tùy ý

khi m tăng.

Benedetto, Heil và Walnut sử dụng các xấp xỉ đơn vị cho các phiên bản của họ về công thức nghịch đảo Giả sử {um} là một xấp xỉ đơn vị

trong L1(Rn ) ∩ F L1(Rn ) và giả sử g, γ ∈ L1(Rn)

∩ L Cho f ∈ L p(Rn ), 1 ≤ p < ∞, định nghĩa

Nguyên lý không chắc chắn Lieb

Trong công thức nghịch đảo đối với STFT, chúng ta thấy phép

giải thời gian - tần số của STFT phụ thuộc vào việc chọn hàm cửa sổ g Đặc biệt, phép giải thời gian - tần số của V g f bị giới hạn bởi kích cỡ của

giá cốt yếu g

và g ˆ Nguyên lý không chắc chắn cổ điển đối với g do

đó

kéo theo một nguyên lý không chắc chắn với V g f Ngược lại, trong phần

này chúng ta trình bày các nguyên lý không chắc chắn áp dụng trực tiếpcho STFT Chúng cùng biểu lộ một nguyên tắc chung sau:

"Một hàm không thể tập trung trên một tập nhỏ trong mặt

phẳng thời gian - tần số, không có gì trên tập nhỏ đó để biểu

diễn thời gian - tần số áp dụng"

Mệnh đề 1.6 [Nguyên lý không chắc chắn yếu với STFT] Giả sử

dxdω ≤ ||V g f | 2 |U |

≤ |U |

Một bất đẳng thức sâu sắc và mạnh hơn với STFT được chứng minh bởiE.Lieb.

Chú ý 1.5 1)Dấu đẳng thức trong nguyên lý không chắc chắn của Lieb

đạt được nếu và chỉ nếu f và g là những dịch chuyển thời gian - tần số

2 và q = 2

trong bước thứ hai ¸ ¸