Biến đổi Stockwell và mở rộng

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn tiến sĩ Bùi Kiên Cường Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc thầy Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm q báu, ln động viên để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chun mơn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn, Tổ Giải tích, quý thầy cô, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong nghiên cứu Luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 Một số kí hiệu không gian hàm 1.2 Biến đổi Fourier 10 1.2.1 Đạo hàm suy rộng 10 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian L1(Rn) 12 1.2.3 Phép biến đổi Fourier không gian Schwartz S(Rn) 13 1.2.4 Phép biến đổi Fourier không gian L2(Rn) 15 1.2.5 Phép biến đổi Fourier hàm suy rộng 16 1.3 Biểu diễn thời gian tần số 17 1.3.1 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 17 1.3.2 Biến đổi sóng nhỏ 29 Chương Biến đổi Stockwell 46 2.1 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn 46 2.2 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập 48 2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ 49 2.4 Tính chất biến đổi Stockwell 51 2.4.1 Nghịch đảo biến đổi Stockwell biến đổi Fourier .51 2.4.2 Biến đổi Stockwell ngược liên tục 52 2.5 Biến đổi Stockwell rời rạc 55 2.6 Trường hợp hai chiều .59 2.6.1 Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng 60 2.6.2 Biến đổi Stockwell cực hai chiều 63 2.6.3 Cấu trúc biến đổi Stockwell hai chiều 65 2.6.4 Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc .66 2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phân tích phổ cách sử dụng phép biến đổi Fourier cơng cụ hữu hiệu việc phân tích liệu địa vật lý Một hạn chế phép biến đổi Fourier đưa hình ảnh quang phổ theo toàn thời gian Điều phù hợp chuỗi thời gian bất biến Tuy nhiên, lĩnh vực địa vật lý, đứng yên lý tưởng hóa phi thực tế Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗi thời gian, biên độ thời gian trung bình tìm thấy phương pháp Fourier không đủ để mô tả tượng Vì thế, năm gần đây, giải tích Fourier đưa số phương pháp cao cấp việc biểu diễn phổ, đại diện việc cải tiến kĩ thuật biểu diễn thời gian-tần số hay gọi phép biến đổi Forier thời gian ngắn, biến đổi sóng nhỏ liên tục Biến đổi Stockwell phép biến đổi tích phân có ứng dụng thành cơng lĩnh vực địa vật lý xử lý ảnh y học Nó giống biến đổi sóng nhỏ liên tục việc có giải pháp liên tục để mô tả phổ dấu hiệu, không giống biến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hồn tồn ghi nhớ pha thông tin trả lời tần số có biên độ bất biến Xem xét cách tuyệt đối thông tin pha có nghĩa thơng tin cho biến đổi Stockwell tham khảo đối số hàm cosin thời điểm ban đầu Phép biến đổi Stockwell xác định pha địa phương đường trực quan, đỉnh quang phổ, đỉnh quang phổ, nơi tốc độ thay đổi pha dẫn đến kênh phân tích tần số tức thời Biến đổi Stockwell khơng ước lượng lượng quang phổ địa phương mà ước lượng pha quang phổ Biến đổi Stockwell mang tên tác giả - nhà toán học trẻ tuổi người Mỹ, Robert Stockwell, giới thiệu lần vào năm 1996 Đến nay, nỗ lực hiểu biết tảng tốn học biến đổi Stockwell tiến hành Trong luận văn, dừng lại số tính chất lý thuyết ban đầu Những ứng dụng thực tiễn phong phú biến đổi tiếp tục nghiên cứu, lĩnh vực mẻ lý thú tốn học ứng dụng Với tính chất thời sự, tính hiệu lí thuyết biến đổi Stockwell lĩnh vực toán học ứng dụng, đồng thời xuất phát từ ham thích nghiên cứu thân, lựa chọn đề tài sau để thực luận văn tốt nghiệp: "Biến đổi Stockwell mở rộng" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu phép biến đổi Stockwell số mở rộng hệ thống hóa kiến thức biến đổi Stockwell, tìm mở rộng phép biến đổi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan biến đổi Stockwell trường hợp chiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đưa chứng minh kết mới, điển hình phép biến đổi Stockwell chiều, biến đổi Stockwell hai chiều Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sưu tầm, tổng hợp tài liệu hình thành viết tổng quan tìm tòi, khám phá chi tiết vấn đề nghiên cứu Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài Trình bày tổng quan biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hình thành lý thuyết biến đổi Đồng thời chứng minh chi tiết số định lý tài liệu tham khảo (mà khơng trình bày chứng minh chứng minh vắn tắt), đưa ví dụ phản ví dụ minh họa Chương Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 Một số kí hiệu không gian hàm N = {0, 1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo √−1 = i Với n ∈ N \ {0}, tập+ = {α = (α1, α2, , αn), αj ∈ Zn Z+, j = 1, 2, , n}, Rn = {x = (x1, x2, , xn), xj ∈ R, j = 1, 2, , n} Lấy x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn Tích vơ hướng x · y x y xác định n x ·y = xjyj j=1 chuẩn | x | x cho | x |= 21 n x2j j=1 Giả sử Ω tập mở Rn, k ∈ Z+ Khi đó, ta có kí hiệu tập sau: C k (Ω) = {u : Ω −→ C, u hàm khả vi liên tục đến cấp k}, C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục Ω} C0k (Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈C k (Ω), suppu tập compact}, ∞ C∞(Ω) = ∞ \ Ck(Ω), C∞(Ω) = k=1 \ k C (Ω), k=1 supp u = {x ∈ Ω | u(x) ƒ= 0} Với số thực ≤ p < ∞, kí hiệu ¸ đđ L p(Ω) ={u : Ω −− C| | u(x) Lebesgue − −→ | với p = ∞, kí hiệu p dx < ∞}, Ω L∞(Ω) = {u : Ω −→ C | esssup | u(x) |< ∞}, x∈Ω esssup | u(x) |= inf {M > | µ{x ∈ Ω || u(x) |> M } = 0}, µ x∈Ω độ đo Lebesgue Ta kí hiệu toán tử vi phân ∂ ∂ x , ∂x∂ , , ∂ x ∂ n Rn tương ứng ∂1, ∂2, , ∂n toán tử vi phân −i∂1, −i∂2, , −i∂n Rn tương ứng D1, D2, , Dn Với đa số α = (α1, α2, , αn) , nghĩa số nguyên không α α âm; αj độ dài α, ta ký hiệu ∂α = ∂ ∂ ∂αn , n | α |= α Dα = D 1D αn D 1 α2j=1 2 n n Định nghĩa 1.1 Không gian D(Ω) tập hợp gồm hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj } hàm C∞(Ω) gọi j= ∞ hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) (i) Tồn tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, (ii) lim sup | ∂αϕj (x) − ∂αϕ(x) | = 0, với α+∈ Zn j→∞x∈Ω Định nghĩa 1.2 Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Tập tất hàm r suy rộng Ω kí hiệu D (Ω) 10 Hàm suy rộng f ∈ Dr (Ω) tác động lên ϕ ∈ D(Ω) viết < f, ϕ > Hai hàm suy rộng f , g ∈ Dr (Ω) gọi < f, ϕ > = < g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω) Định nghĩa 1.3 Không gian S(Rn) tập hợp S(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Ω) | | xα∂βϕ(x) |< Cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈+Zn } với khái niệm hội tụ định nghĩa sau: dãy{ϕk}∞ S(Rn) k= n n gọi hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) S(R ) lim sup | xα∂βϕk(x) − xα∂βϕ(x) |= 0, k→∞x∈ Rn ∀α, β ∈ Z+n Khi đó, ta viết S_ lim ϕk = ϕ k→∞ n Định nghĩa 1.4 Cho hàm f Dr ∈ (R ) Hàm suy rộng f gọi hàm suy rộng tăng chậm có số tự nhiên m số dương C cho  |< f, ϕ >|≤ C sup m (1+ | x | ) x∈ Rn    α | ∂ ϕ(x) | |α|≤m n , ∀ϕ ∈ D(R )  Không gian hàm suy rộng tăng chậm Sr (Rn) tập tất hàm suy rộng tăng chậm 1.2 1.2.1 Biến đổi Fourier Đạo hàm suy rộng Giả sử α = (α1, α2, , αn) vector với thành phần nguyên không âm Hàm f α (·) ∈ L1,loc(Ω) gọi đạo hàm suy rộng cấp α miền Ω ⊂ Rn hàm f (·) ∈ L1,loc(Ω) đối |α| với hàm0 tuỳ ý g(·) ∈ C (Ω) ta có đẳng thức ¸ ¸ f (x)∂αg(x)dx = f α(x)g(x)dx (−1)|α| Ω Ω (1.1) Giả sử η = |ξ|−1R−θ ζ Khi ξ η= ξ1 = |ξ| ξ2 ζ1 ζ1 ζ ma trận Jacobi ∂ ξ Vì −ζ2 |ξ|2 ζ1 cho |ξ| − 2ξ Từ ξ1 |ξ| ξ −ξ2 ξ1 ζ2 ∂η 2ξ1ξ2 ∂ = −2 |ξ|4 ζ ζ1 η |ξ| 2ξ1ξ | ξ| − ∂ξ −ζ2 2ξ2 − |ξ|4 |ξ|4 ζ1 |ζ| |η| = |ξ| 2| dη = |ζ dξ dξ = | |ξ|2 η| |ξ| dbdξ ¸ ¸ b,ξ b,ξ (f, ϕ )L2 (R2)(ϕ , g)2L (R2) |ξ|2 R2 R2 ¸ ¸ dη = |ϕˆ(η − (1, |η|2 dζ 0))| R2 fˆ(ζ)gˆ(ζ) R2 ¸ = cϕ fˆ(ζ)gˆ(ζ)dζ = cϕ (f,2 g)L (R2 ) R2 chứng minh hoàn thành 2.6.3 Cấu trúc biến đổi Stockwell hai chiều Chúng ta đưa phần dạng khái quát biến đổi Stockwell hai chiều mà biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng biến đổi Stockwell cực hai chiều trường hợp đặc biệt Trong phần này, giả sử a1, a2, a3, a4 hàm đo R2 Khi với ∀ξ ∈ R2, giả sử A(ξ) ma trận mở rộng xác định a1(ξ) a2(ξ) A(ξ) = a3(ξ) a4(ξ) Giả sử ϕ ∈ L1(R2) ∩ L2(R2) Khi ∀b, ξ ∈ R2, xác định hàm ϕb,ξ R2 ϕb,ξ = (2π)−1Mξ−TDξϕ, b (Dξh)(x) = | det A(ξ)|h(A(ξ)x) với ∀x ∈ R2 hàm đo h R2 Với tạo ảnh f ∈ L2(R2), biến đổi Stockwell hai chiều khái quát Sϕf tương ứng với cửa sổ ϕ cho Sϕf = (f, ϕb,ξ)L2 (R2) Chúng ta đưa công thức nghịh đảo dựa tính chất tham khảo tuyệt đối pha thơng tin với biến đổi Stockwell hai chiều khái quát Định lý 2.7 Giả sử ϕ ∈ L1(R2) ∩ L2(R2) thỏa mãnR2 ϕ(x)dx = ¸ Khi với tạo ảnh f ∈ L1(R2) ∩ L2(R2), (S f ) fˆ = ¸ ϕ (b, ·)db R2 Chứng minh Phép chứng minh suy từ phép đổi thứ tự lấy tích phân kết tương tự trường hợp chiều 2.6.4 Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc hàm h[kT ] k = 0, , N − T khoảng lấy mẫu cho Brigham (1974) H N −1 n = NT h[kT ]eN− N i2πnk n = 0, 1, , N −1 k=0 (2.55) Theo (2.43), biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc tạo ảnh h[pTx, qTy] (ở p = 0, , N − 1) Tx khoảng mẫu theo hướng p q = 0, , M − Ty khoảng mẫu theo hướng q cho bởi: n m, S pTx, qTy, NTx = MT y N −1 M −1 = e− π n r r n =0 m =0 r r 2 r 2 r r r n + n m + m2 n H , e NT i2πn p N π m m2 e i2πm q M (2.56) e− MTy x (với n ƒ= m ƒ= 0) Nó (Mansinha [1977a]) M −1 N −1 1 n m S pT , qT , n , m = H , p= M x y MT y NT MT y N x NTx q=0 (2.57) Tạo ảnh ban đầu xây dựng lại từ biến đổi Stockwell tạo ảnh việc sử dụng định nghĩa biến đổi Stockwell hai chiều ngược Do h(pTx, qTy) = M −1 M N −1 N −1 −12 = ( ) ( ) S pr T r p =0 n=0 M N n ,qT , m , e i2πnp e i2πmq r x NTx N y M MT y (2.58) r q =0 m=0 Tính nghịch đảo ngược cho phép sử dụng biến đổi Stockwell công cụ cho q trình lọc dải (số sóng) khoảng (khơng gian) đặc trưng tạo ảnh 2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng Định nghĩa 2.3 Giả sử ϕ ∈ L1(R) ∩ L2(R) cho ¸ ∞ ϕ(x)dx = −∞ Giả sử f ∈ L2(R) Khi với ≤ s ≤ ∞, xác định biến đổi Stockwell điều chỉnh Ss f f ϕ s (Sb,ξ f )(b, ξ) = (f, ϕ ) ϕ s , b ∈ R, ξ ∈ R \ {0} , L2(R) ϕb,s = ξ (2π) toán tử giãn Ds ξ −1/ Mξ T−b Dsϕ xác định (Dξs)(x) = |ξ | h(ξx) (2.59) 1/s với ∀x ∈ R hàm đo h R Rõ ràng hơn, (Ssϕf )(b, ξ) = |ξ|−1/s (Sϕf )(b, ξ), b ∈ R, ξ ∈ R \ {0} (2.60) r st số liên hợp s, ¸ −1/2 s (Sϕ f )(b, ξ) = (2π) |ξ| ∞ e−ixξf (x)ϕ(ξ(x − b))dx −1/s −∞ với b ∈ R ξ ∈ R \ {0} Trong biểu diễn (2.60), thấy biến đổi Stockwell điều chỉnh thay đổi tần số theo cách mà tần số thấp mở rộng tần số cao thu hẹp Chúng ta ý trường hợp đặc biệt tần số thấp, hầu hết không phát biến đổi Stockwell, sử dụng biến đổi Stockwell điều chỉnh với s = biểu thị rõ ràng biến đổi Stockwell điều chỉnh với s = sử dụng Với thừa số chuẩn với toán tử giãn (2.59) có định lý mối liên hệ với biến đổi sóng nhỏ sau Định lý 2.8 Với ∀f ∈ L2(R) −1/2 (Ss f|ξ| )(b, ξ) = (2π) ϕ r (Ωψf )(b, 1/ξ),b ∈ R, ξ ∈ R \ {0} (1/2)−(1/s ) Chú ý 2.4 Với s = biến đổi Stockwell điều chỉnh S2 ϕ biến đổi sóng nhỏ Tương tự trường hợp s = 1, có định lý sau mà việc chứng minh chúng hoàn toàn tương tự: Định lý 2.9 Giả sử ϕ ∈ L2(R) cho ||ϕ||L2(R) = Khi với hàm f ∈ L1(R) ∩ L2(R), ¸ ∞ r (Sϕf )(b, ξ)db = |ξ|−1/s fˆ(ξ), ξ ∈ R \ {0} −∞ Một tính chất quan trọng biến đổi Stockwell điều chỉnh cho định lý lời giải đồng thức Định lý 2.10 Giả sử ϕ ∈ L1(R) ∩ L2(R) cho ¸ ∞ ϕ(x)dx = −∞ ¸ ∞ |ϕˆ(ξ − 1)2| d ξ b0 > Khi rời rạc hóa tần số ξ thời gian b ξ = ξ0m b = nb0ξ0m Với ∀m, n ∈ Z, giả sử φm,n φm,n xác định s φm,n = ϕnb0ξm,ξm φm,n s −m nb0ξm ,ξ0 = ϕs Khi có công thức nghịch đảo rời rạc tín hiệu từ biến đổi Stockwell Định lý 2.11 Giả sử {φm,n : m, n ∈ Z} khung chặt L2(R) với cận khung Khi với ∀f ∈ L2(R), có f = 2π ξ m,n ∈Z 2((1/s)−(1/2))m (f, −m −ξ0 φm,n) s Kết luận chương Trong chương này, trình bày về: Biến đổi stockwell chiều, nguồn gốc biến đổi Stockwell, công thức biến đổi ngược, phiên rời rạc hóa Mở rộng sang trường hợp hai chiều, trình bày dạng riêng dạng tổng quát biến đổi Stockwell hai chiều với định lý biến đổi ngược Mở rộng biến đổi Stockwell phụ thuộc tham biến s, biến đổi Stockwell biến đổi sóng nhỏ liên tục trường hợp đặc biệt s = s = Kết luận Luận văn đạt mục đích đề tài, trình bày tổng quan biến đổi Stockwell chứng minh chi tiết số kết luận mà tài liệu tham khảo không chứng minh Cụ thể Biến đổi stockwell chiều, nguồn gốc biến đổi Stockwell, công thức biến đổi ngược, phiên rời rạc hóa Mở rộng sang trường hợp hai chiều, trình bày dạng riêng dạng tổng quát biến đổi Stockwell hai chiều với định lý biến đổi ngược Mở rộng biến đổi Stockwell phụ thuộc tham biến s, biến đổi Stockwell biến đổi sóng nhỏ liên tục trường hợp đặc biệt s = s = Lý thuyết phép biến đổi Stockwell công cụ hiệu nghiên cứu ứng dụng lĩnh vực địa vật lý xử lý ảnh y học, luận văn trình bày yếu tố lý thuyết tốn học túy Chúng tiếp tục triển khai nghiên cứu ứng dụng biến đổi 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] A.N Kolmogorov S.V Fomine (1981), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập (bản dịch tiếng Việt), XNB Giáo dục, Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh [5] Daubechies, I.(1990), "The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis", IEEE Trans Inform Theory, Vol 36(5), pp 961-1005 [6] Daubechies, I.(1992), Ten lectures on wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, USA [7] Folland, G B.(1989), Harmonic Analysis in Phase Space, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA [8] Qiang Guo and M W Wong(2008), "Modified Stockwell Trans- forms", To appear 73 74 [9] Robert G Stockwell(1999), S-Transform Analysis of Gravity Wave Activity from a Small Scale Network of Airglow Imagers, The Uni- versity of Western Ontario London [10] Robert G Stockwell(2007), "Why Use the S-transform", Fields Institute Communications, Vol 52, pp 279-309 [11] Karlheinz Grăochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Analysis, Birkhăauser Boston, USA [12] Qiang Guo and M W Wong(2008), "Modified Stockwell Transforms", Operator Theory: Advances and Applications, Vol 189, pp 275-285 [13] Wong, M.W.(1999), An troduction to Pseudo-differnetial Operators, second editon, World Scientific, Singapore [14] Yu Liu, M W, Wong(2007), "Inversion Formulas for TwoDimensional Stockwell Transforms", Fields Institute Communications, Vol 52, pp 323-330 ... tốt nghiệp: "Biến đổi Stockwell mở rộng" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu phép biến đổi Stockwell số mở rộng hệ thống hóa kiến thức biến đổi Stockwell, tìm mở rộng phép biến đổi Nhiệm vụ... Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập 48 2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ 49 2.4 Tính chất biến đổi Stockwell 51 2.4.1 Nghịch đảo biến đổi Stockwell. .. 2.6.2 Biến đổi Stockwell cực hai chiều 63 2.6.3 Cấu trúc biến đổi Stockwell hai chiều 65 2.6.4 Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc .66 2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng