Nghiên cứu thống kê Fermi - Dirac mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HỒNG NGA NGHIÊN CỨU THỐNG KÊ FERMI - DIRAC MỞ RỘNG Chuyên ngành: VẬT LÍ LÍ THUYẾT VÀ VẬT LÍ TỐN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm thầy giáo khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Cuối tơi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU Chương XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ .8 1.1 Một số đặc tính hệ lượng tử 1.1.1 Hệ lượng tử 1.1.2 Tính chất 1.2 Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac .9 1.2.1.ơng pháp ô Boltzmann 1.2.2 Phương pháp Gibbs 11 1.2.3 Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 15 Chương ÁP DỤNG PHÂN BỐ THƠNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI 18 2.1 Nhiệt dung khí electron tự kim loại 18 2.1.1.ch tính theo nguyên lí loại trừ Pauli 18 2.1.2 Khảo sát khí lí tưởng Fermion .19 2.2 Tính chất từ khí electron tự kim loại 24 2.2.1 Mật độ trạng thái lượng Fermi 24 2.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ khí electron tự kim loại 26 Chương THỐNG KÊ FERMI – DIRAC MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 29 3.1 q-số Fermion 29 3.1.1 q-số Boson .29 3.1.2 q-số Fermion 30 3.1.3 Thứ tự chuẩn toán tử q-Fermion .31 3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 34 3.3 Phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 37 3.4 Ứng dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q .38 3.4.1 Nhiệt dung khí electron tự kim loại 38 3.4.2 Tính chất từ khí electron tự kim loại .42 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt, mô tả phương pháp thống kê Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng phương pháp sau: Phương pháp ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử Về mặt lịch sử phương pháp ô Boltzmann đời sớm phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm coi phương pháp vật lí thống kê Ngày lí thuyết trường lượng tử sở để giải thích chất hạt vi mơ cấu trúc tính chất Lí thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết q trình vật lí xảy giới hạt vi mơ, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực vật lí Đặc biệt việc nghiên cứu hệ nhiều hạt xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp bổ sung cho để làm rõ chất vật lí q trình vật lí hệ nhiều hạt Hiện phương pháp vật lí thống kê áp dụng rộng rãi lĩnh vực khác vật lí đại vật lí chất rắn, vật lí học vật ngưng tụ lí thuyết hạt bản, người ta vận dụng phương pháp vật lí thống kê vào việc nghiên cứu vũ trụ học Việc áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất hệ lượng tử giải nhiều vấn đề mà thống kê cổ điển giải thích đầy đủ nhiệt dung khí electron kim loại, tính chất từ electron,… Các tính tốn lí thuyết xây dựng mơ hình lí tưởng, có sai khác kết lí thuyết thực nghiệm thu Khi người ta thường dùng phương pháp gần để giải Nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng phù hợp với nhiều mơ hình vật lí, phương pháp gần lí thuyết trường lượng tử Nhóm lượng tử đại số biến dạng khảo sát thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose -Einstein thống kê Fermi-Dirac thống kê para-Bose, para-Fermi, thống kê vô hạn, thống kê biến dạng , với tư cách thống kê mở rộng Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số biến dạng Với mong muốn hiểu biết đầy đủ giới hạt vi mô, hệ hạt đồng Fermion, chọn đề tài “ Nghiên cứu thống kê FermiDirac mở rộng” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng phương pháp lí thuyết trường lượng tử áp dụng thống kê vào nghiên cứu khí electron tự kim loại Nhiệm vụ nghiên cứu -Trình bày cách hệ thống phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử - Xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng phương pháp lí thuyết trường lượng tử - Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng để nghiên cứu khí electron tự kim loại Đối tượng nghiên cứu Hệ hạt đồng Fermion Phương pháp nghiên cứu -Phương pháp vật lí thống kê phương pháp giải tích khác - Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử Tên đề tài, kết cấu luận văn - Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng - Kết cấu luận văn: Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac phương pháp lí thuyết trường lượng tử Chương 2: Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự kim loại Chương 3: Thống kê Fermi-Dirac mở rộng ứng dụng NỘI DUNG CHƯƠNG XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1 Một số đặc tính hệ lượng tử 1.1.1 Hệ lượng tử Hệ lượng tử hệ cấu thành hạt lượng tử Hạt lượng tử hạt tuân theo định luật học lượng tử Cơ học lượng tử mơ tả tính chất đặc tính riêng biệt hạt giới vi mô mà thông thường không giải thích dựa vào quan điểm cổ điển [1], [2] 1.1.2 Tính chất - Lưỡng tính sóng hạt: Do có đặc tính sóng hạt nên hạt vi mơ khơng có toạ độ xác định tuyệt đối xác, bị “nh đi” khơng gian Khi có hai nhiều hai hạt đồng tồn miền khơng gian định ta khơng thể phân biệt chúng nhau, ta khơng theo dõi chuyển động hạt Đó tính đồng hạt học lượng tử - Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mơ có tính gián đoạn: Để diễn tả cách tốn học đặc tính đại lượng vật lí, ta gán cho đại lượng vật lí tốn tử tương ứng định Trong học lượng tử, đại lượng vật lí biểu diễn toán tử trị số chúng xác định trị riêng tốn tử Ngồi tính chất thông số mà ta dùng để diễn tả hạt vi mô cách cổ điển khối lượng, điện tích ta phải đưa vào thơng số tính chất mới, t “lượng tử” Đó “spin” hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lí Pauli”, “nguyên lí hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến mức lượng”, “hệ thức bất định Heisenberg ” 1.2 Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac 1.2.1 Phương pháp “ô” Boltzmann Nội dung phương pháp “ô” Boltzmann là: chia không gian pha làm “ô” tương ứng với giá trị khác lượng xét phân bố khác hạt hệ theo đó, từ tìm số trạng thái vi mơ khả hữu hệ tương thích với điều kiện định, tức tìm xác suất nhiệt động hệ, sau dựa vào nguyên lí Boltzmann tìm entrơpi hệ dựa vào điều kiện cực đại entropi có cân nhiệt động, ta tìm phân bố thống kê hệ [1], [3] Theo ngun lí Boltzmann entrơpi trạng thái vĩ mô hệ tỉ lệ với logarit nêpe xác suất W nhiệt động(logarit nêpe số trạng thái vi mô khả hữu hệ) S k ln W , với k số Boltzmann Entrôpi định nghĩa chứng tỏ entrôpi có chất đặc biệt thống kê, khơng thể có dụng cụ đo trực tiếp entrơpi, mà phù hợp với định lí Nerst (nguyên lí thứ ba nhiệt động lực học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T trùng với đường đoạn nhiệt S 0 0 Thật vậy, nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ chiếm mức lượng ngày thấp Khi T 0 W 1 hệ nằm trạng thái lượng tử có lượng thấp S k ln W k ln1 0 Theo quan niệm lượng tử, trạng thái vi mô hệ không gian pha tương ứng với điểm pha mà thể tích cực tiểu khơng gian pha Đối với hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu F I2q   dfF q  B H dấu    ,T  D   B H  dfF F  q  ,T  D  BHDF  (3.62)  B H xảy kBT F , (Tính chất hàm phân bố Fermi- Dirac) cho giả thiết gần mức Fermi  f  ,T  D   Fq  B HDF  Thay kết vào (3.40) ta thu kết I   3N B H  BD  (3.63) 2k BTF F Để ý đến (2.33) ta có H 3N 3N D  F   2F 2k BTF Vậy từ (3.63) ta thu giá trị khi chưa xét đến từ trường: Đó độ cảm thuận từ:  từ thuận N B kB T (3.64) Tương tự có từ trường dẫn đến xuất mômen nghịch từ với độ cảm nghịch từ   nghòch từ N B ,  kB suy độ cảm từ toàn phần T (3.65) N B  thuận từ nghòch từ kB F  T Chúng ta tính xác tích phân sau (3.66) I1q  F   B H dfF q  ,T  D  BH  -  kT e F   1 V     BH kT e  q  e q 1  -  kT F    kT e 1  V 22m 2 1 H  d B     e kT  q q e kT 1   g     B H  ;   suy 1 V 2m 2 , f     f Đặt 2m 2  B H  d    2  1 2    ,T , Fq F I1q g    f   dIq Trước hết ta khẳng định với      I  d g   f F 1q  F  Để chứng minh cơng thức ta xét tích phân Iq f  hàm thỏa mãn điều kiện  0  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần d   df  I  f   df df        d     d q     d  d F F d F   F (3.67) F  q    KT 2   g  d g F  KT KT nhỏ d (3.68) F d , d Xét đạo hàm df :     df d e kT 1            d d e   q q 1  kT e kT d    - - = KT     2    kT e e e kT 1 kT  q q 1 e kT   KT   1  2e  kTe  kT kT  q q         1     q q 1 e  1 kT    e  Khai triển hàm thành chuỗi giới hạn số hạng tỉ lệ với  2 :     ' (3.69)   ''   df thay (3.69) vào (3.68) lưu ý tới tính chất hàm , ta thay cận d mà không làm thay đổi đáng kể kết thu        F df df   df         d     Iq d '     d '  d d d   I '   I  ''    I3 (3.70) F F F Ta tính tích phân vế phải (3.70)  df I1  df  d   F F  F   F -kT e       F       1 e kT  q q e 1 1  F kT (Vì từ tính chất hàm phân bố Fermi-Dirac ta biết T≠ K) Khi F lim, kim loại phụ thuộc yếu vào nhiệt độ, T0  F , tận nhiệt độ phòng, nên thực tế phân bố Fermi-Dirac người ta thường dùng F thay cho  F , I2  F   F Vì hàm dấu tích phân hàm lẻ df d0 d  F I3        F df F  d   d   F - kT e 1  KT kT  e  q 1 q  d e kT 1      -   kT  e 1  2e   I KT  Tính     I31       1   q q e Thay vào x e kT I d 31 kT 32 1 -  e kT 1 d  e kT  q  e 1  kT 1 dx dK T   KT ln x x , I31 ta   q kT e  Đặt -      q q kT KT  F    1     e  F  kT ln x2 I31 = KT  1 q q  x x 1 dx  0 F (Vì I31 tích phân khơng tồn q 1 ) Tính      I32     e 1  2e  kT KT   e F kT  2  kT      q q  x e kT e    q q 1  e   Ta đặt: 1   dx  KT ln x kT kT d 1     , d   K I   KT    ln x  32 q T x   q q1  x  1 x    1 q  1  x x  ,           k 1      k  I  KT  qq  1   q  q 1  32   k1 1 q q q k 1    q k1 k     k      k1  k k1    k    q  k   3       suy k I3 I32 1        k     k    1  k           KT  qq  1  1  q q  q 1    k1 k q  q k1    q q   k  k1  k k1    I1 thay , I2 , I3 vào (3.70) ta thu       k 3   (3.71)  F d   Iq d 2''    F  q  KT 2 f d với   F  q   q  k    q   qq 1     k 1    k1 g     thay B H  1  1  q q  k k k1  B H  Vậy ta thu Iq    B H  2    q k  3 ,  q  k1 k d   F  B H 2 1  2 k k1    B H  , F  q  KT    q    1  F B H   , ta có d F F g     F  g    d B H  d 0 '' F  k   suy 1  2   B H   F F  q  KT  BH 2  I1q  Iq     B H  1  (3.72)  F  F  q  KT  BH 2  (3.73) Tương tự ta tính I2q  Iq    B H    F BH 2 1  F  q  KT   (3.74) Thay (3.73) (3.74) vào (3.58) ta thu biểu thức độ từ hóa trường hợp có biến dạng, từ tính độ cảm từ electron: 3   I  I1q I2q  B  B F B H  F  B H      F qKT 2   1   1 (3.75)     H BH F F B  B    I H (3.76) Các kết cho thấy trường hợp có biến dạng độ từ hóa I độ cảm từ phụ thuộc vào nhiệt độ tham số biến dạng q Kết luận chương Bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử xây dựng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q Áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q nghiên cứu nhiệt dung khí electron tự kim loại tính chất từ electron thu biểu thức giải tích nhiệt dung, độ từ hóa độ cảm từ electron Kết thu nhiệt dung, độ từ hóa, độ cảm từ electron phụ thuộc vào tham số biến dạng q Từ kết biện luận giá trị tham số biến dạng q để kết tính tốn lí thuyết trùng với kết thực nghiệm KẾT LUẬN Qua luận văn “ Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng” đạt kết sau đây: -Trình bày cách có hệ thống ba phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac là: phương pháp Boltzmann, phương pháp Gibbs phương pháp lí thuyết trường lượng tử Ba phương pháp bổ sung cho nhau, phương pháp lí thuyết trường lượng tử sở để xây dựng thống kê Fermi-Dirac mở rộng - Tính nhiệt dung khí electron tự kim loại phương pháp gần đơn giản dựa vào nguyên lí loại trừ Pauli việc áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac Khảo sát khí electron tự kim loại tìm mật độ trạng thái lượng Fermi, độ từ hóa độ cảm từ electron - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q phương pháp lí thuyết trường lượng tử - Áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q nghiên cứu nhiệt dung khí electron tự kim loại tính chất từ electron Kết thu biểu thức giải tích nhiệt dung, độ từ hóa, độ cảm từ electron phụ thuộc vào tham số biến dạng q Từ kết biện luận giá trị tham số biến dạng q để kết tính tốn lí thuyết trùng với kết thực nghiệm - Đề tài luận văn phát triển mặt tính số so sánh với lí thuyết khác Cơng việc tiếp tục thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Báu (2005), Vật lí thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP [3] Vũ Thanh Khiết (1996), Giáo trình “ Nhiệt động lực học Vật lí thống kê”, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Hồng Ngọc Long (2003), Nhập mơn lí thuyết trường mơ hình thống tương tác điện yếu, NXB KH & KT Hà Nội [5] Lưu Tuấn Tài (1997), Giáo trình vật liệu từ, NXB ĐHQG Hà Nội [6] Lưu Thị Kim Thanh (2007), “Dao động tử fermion biến dạng hai tham số p, q”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (1), 127 – 130 Tiếng Anh [7] Dao Vong Duc (1994), Generalized q- deformed oscillator and their statistics, Preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy France [8] Dao Vong Duc and Luu Thi Kim Thanh (1997), On the q-Deformed Multimode Oscillators, Communications in Physics, Volume 7, Number 2,10-14 [9] L.C.Biedenharn, q – Fermionic Numbers and Their Roles in Some Physical Problems, J.Phys.A:Math.Gen 22 (1989) 4581 [10] A.J.Macfarlane, On q – analogues of the quantum harmonic Oscil-lator and the quntum Group “SU(2)q” J.Phys.A:Math.Gen 22 (1989) L873 [11] R.Parthasarathy and K.S.Viswanathan, in Stochastic Point Processes, J.Phys.A:Math.Gen 24 (1991) 613 ... tài “ Nghiên cứu thống kê FermiDirac mở rộng Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng thống kê Fermi- Dirac biến dạng phương pháp lí thuyết trường lượng tử áp dụng thống kê vào nghiên cứu khí... việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose -Einstein thống kê Fermi- Dirac thống kê para-Bose, para -Fermi, ... luận văn - Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi- Dirac mở rộng - Kết cấu luận văn: Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi- Dirac phương