Nghiên cứu thống kê Fermi - Dirac mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HỒNG NGA NGHIÊN CỨU THỐNG KÊ FERMI - DIRAC MỞ RỘNG Chuyên ngành: VẬT LÍ LÍ THUYẾT VÀ VẬT LÍ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nga MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU 5 Chương 1. XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 8 1.1. Một số đặc tính của các hệ lượng tử 8 1.1.1. Hệ lượng tử 8 1.1.2. Tính chất 8 1.2. Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac 9 1.2.1.Phương pháp các ô của Boltzmann 9 1.2.2. Phương pháp Gibbs 11 1.2.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 15 Chương 2. ÁP DỤNG PHÂN BỐ THÔNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI 18 2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại 18 2.1.1.Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli 18 2.1.2. Khảo sát khí lí tưởng Fermion 19 2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 24 2.2.1. Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi 24 2.2.2. Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 26 Chương 3. THỐNG KÊ FERMI – DIRAC MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 29 3.1 q-số Fermion 29 3.1.1. q-số Boson 29 3.1.2. q-số Fermion 30 3.1.3. Thứ tự chuẩn của các toán tử q-Fermion 31 3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q 34 3.3. Phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 37 3.4. Ứng dụng của phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 38 3.4.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại 38 3.4.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 42 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô tả bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta đã dùng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Về mặt lịch sử phương pháp các ô Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê. Ngày nay lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí. Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử. Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt. Hiện nay các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện đại như vật lí chất rắn, vật lí học các vật ngưng tụ cho đến lí thuyết các hạt cơ bản, người ta còn vận dụng các phương pháp của vật lí thống kê vào việc nghiên cứu vũ trụ học. Việc áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất của các hệ lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của khí electron trong kim loại, tính chất từ của electron,…. Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lí tưởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được. Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lượng 6 tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lí, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử . Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose -Einstein và thống kê Fermi-Dirac như thống kê para-Bose, para-Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Với mong muốn hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới các hạt vi mô, và hệ các hạt đồng nhất Fermion, tôi đã chọn đề tài “ Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử và áp dụng thống kê đó vào nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu -Trình bày một cách hệ thống các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử. - Xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử. - Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng để nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại. 4. Đối tượng nghiên cứu Hệ các hạt đồng nhất Fermion. 7 5. Phương pháp nghiên cứu -Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác. - Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử . 6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn - Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng. - Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Chương 2: Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự do trong kim loại. Chương 3: Thống kê Fermi-Dirac mở rộng và ứng dụng. 8 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1. Một số đặc tính của các hệ lượng tử 1.1.1. Hệ lượng tử Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử. Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu dựa vào quan điểm cổ điển [1], [2]. 1.1.2. Tính chất - Lưỡng tính sóng hạt: Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ xác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian. Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động được của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượng tử. - Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn: Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượng vật lí, ta gán cho mỗi đại lượng vật lí một toán tử tương ứng nhất định. Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí được biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của chúng được xác định như là các trị riêng của các toán tử. Ngoài các tính chất và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển như khối lượng, điện tích ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý 9 “lượng tử”. Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lí Pauli”, “nguyên lí các hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến của các mức năng lượng”, “hệ thức bất định Heisenberg ”. 1.2. Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac 1.2.1. Phương pháp các “ô” Boltzmann Nội dung của phương pháp các “ô” Boltzmann là: chia không gian pha ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với điều kiện nhất định, tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lí Boltzmann tìm được entrôpi của hệ và dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng nhiệt động, ta tìm được phân bố thống kê của hệ [1], [3]. Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ với logarit nêpe của xác suất W nhiệt động(logarit nêpe của số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ). S klnW , (1.1) với k là hằng số Boltzmann. Entrôpi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ entrôpi có bản chất đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp entrôpi, mà còn phù hợp với định lí Nerst (nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T0 trùng với đường đoạn nhiệt S0 . Thật vậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày càng thấp. Khi T0 hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp nhất do đó W1 và S klnW kln1 0   . Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha tương ứng với không phải là một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó của không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu như [...]... vo nguyờn lớ loi tr Pauli ó ỏp dng phõn b thng kờ Fermi- Dirac tớnh c nhit dung ca khớ electron t do trong kim loi, kho sỏt khớ electron t do trong kim loi tỡm ra mt trng thỏi nng lng Fermi, t húa v cm t ca electron 29 CHNG 3 THNG Kấ FERMI DIRAC M RNG V NG DNG 3.1 q-s Fermion q-s Fermion xut hin t i s dao ng t q-Fermion c s dng khụi phc cỏc q-s Fermion Stirling v Bell Suy ra c mt s h thc mi cho... tớnh cht q-s Fermion tng ng vi (3.9) ( khỏc vi (3.12)) Vi q 1 , q-s Fermion (3.12) khụng bao gi vt quỏ 1 vi mi giỏ tr n v khi n , nú tim cn 0.5 Mt khỏc cỏc s q-Boson (3.8), tr thnh cỏc s bỡnh thng khi q = 1, v q 1, vi q- s Fermion chỳng ta cú 0f 0 , 1f 1 v n f > 0 vi n l, 0 Thc hin phộp bin i F q N 4f ; F f q N 4 , (3.10) 31 ta thu c FF qF F 1 ; F2 0, F 2 0 , q> 0, (3.11) q-s Fermion c nh ngha bng biu thc 1 1... bc suy bin g n g exp 1 kT (1.18) õy chớnh l hm phõn b Fermi- Dirac í ngha ca phõn b ny l nú biu din xỏc sut mt ht bt k ca h ht khụng tng tỏc nm trờn mc nng lng ti nhit T v cho bit trung bỡnh ca s lp y 17 Kt lun chng 1 Trong chng ny chỳng tụi ó trỡnh by mt cỏch cú h thng ba phng phỏp xõy dng phõn b thng kờ Fermi- Dirac V phng din lch s phng phỏp cỏc ụ ca Boltzmann ra i sm nht, tuy nhiờn... trn (3.13) gia cỏc trng thỏi q-Fermion trong khụng gian Fock n vi n r v s dng F n n f n 1 ; F n n 1 f r n 1 n >n n f Fsr r s 1 n f ! , n sf ! Nhõn biu thc trờn bi n v ly tng theo n t 1 n v sau ú thit lp = 1, ta thu c f f Br e q n 1 f , n 1 n f ! 1 r (3.18) 33 trong ú xn , n f ! n 0 eq x f (3.18) l cụng thc q-Dobinski Fermion Mt vi s Bell q-Fermion l B1 1, f B2 1 . và hệ các hạt đồng nhất Fermion, tôi đã chọn đề tài “ Nghiên cứu thống kê Fermi- Dirac mở rộng . 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê Fermi- Dirac biến dạng bằng phương. -Einstein và thống kê Fermi- Dirac như thống kê para-Bose, para -Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong. - Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi- Dirac mở rộng. - Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi- Dirac