Mở rộng siêu việt

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán - trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, đƣợc dạy dỗ, bảo tận tình thầy giáo, tiếp thu đƣợc nhiều tri thức, kinh nghiệm phƣơng pháp học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy, khoa Tốn - ngƣời tận tình dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt bốn năm học vừa qua, nhƣ tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa luận Đặc biệt, tơi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến q báu thời gian tơi thực khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hồng Thị Tuyết Nhung LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu, đồng thời đƣợc quan tâm, tạo điều kiện thầy cô khoa Tốn, đặc biệt hƣớng dẫn nhiệt tình Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng Trong trình nghiên cứu, hồn thành khóa luận tơi có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Ngƣời cam đoan Hoàng Thị Tuyết Nhung -2- MỤC LỤC A MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… B NỘI DUNG…………………………………………………………… CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………… 1.1 Vành………………………………………………………… 1.2 Miền nguyên trƣờng……………………………………… 1.3 Một số mở rộng trƣờng… …………………………………… 1.4 Độc lập đại số…………… ………………………………… 10 1.5 Khơng gian vecto ánh xạ tuyến tính………………………11 CHƢƠNG CƠ SỞ SIÊU VIỆT…………… ………………………….14 2.1 Định nghĩa…… …………………………………………….14 2.1.1 Cơ sở siêu việt……… ………………………………… 14 2.1.2 Bậc siêu việt (số chiều)… ……………………………….14 2.2 Định lí……………………………………………………… 14 2.3 Định lí Nơte chuẩn hóa………… ……………………16 CHƢƠNG ĐỊNH LÍ HILBERT VỀ CÁC NGHIỆM…………………19 3.1 Định nghĩa nghiệm, tập đại số… ……………………………19 3.2 Định lí Hilbert nghiệm……… ………………………19 3.2.1 Định lí mở rộng đồng cấu… …………………19 3.2.2 Một số hệ định lí mở rộng đồng cấu Định lí Hilbert nghiệm……………………………21 CHƢƠNG CÁC TẬP ĐẠI SỐ………… …………………………… 24 4.1 Kiến thức mở đầu……………… ……………………………24 4.2 Tập đại số bất khả quy………… ……………………………2 4.2.1 Định nghĩa………… ……………………………………25 4.2.2 Định lí…………… …………………………………….25 4.3 Phổ Tập mở, tập đóng Điểm phổ……………………….27 CHƢƠNG MỘT SỐ MỞ RỘNG………… ………………………….30 5.1 Mở rộng tự tuyến tính……………… ……………………30 5.1.1 Tự tuyến tính………………… ………………………30 5.1.2 Độc lập đại số…………………….………………………34 5.1.3 Mối quan hệ tự tuyến tính độc lập đại số.…35 5.2 Mở rộng tách đƣợc…………………………………………… 36 5.2.1 Định nghĩa…………… ………………………………… 36 5.2.2 Điều kiện tƣơng đƣơng mở rộng tách đƣợc….……… 36 5.2.3 Tiêu chuẩn Mắclên hệ trực tiếp nó….……38 5.2.4 Kết việc khảo sát tính tách đƣợc………… ……40 CHƢƠNG PHÉP LẤY ĐẠO HÀM………… ………………………42 6.1 Định nghĩa…………… …………………………………… 42 6.2 Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm…………….……………42 6.3 Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh mở rộng tách đƣợc đại số…………………… .44 6.4 Không gian vecto phép lấy đạo hàm………… …………47 C KẾT LUẬN………………… …………………………………………….50 D TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………51 A MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian tiến lồi ngƣời, Tốn học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lí thuyết Tốn học ứng dụng Trong đó, nói đến Tốn học lí thuyết khơng thể khơng nói đến lí thuyết số - ngành Tốn học có lịch sử phát triển lâu đời Cùng với phát triển Tốn học đại đòi hỏi cần phải tìm ngày nhiều hệ thống số nhƣ phƣơng pháp mở rộng trƣờng số biết Một mở rộng mở rộng siêu việt Tuy nhiên nay, nƣớc ta, tài liệu loại mở rộng chƣa nhiều Dƣới góc độ sinh viên Sƣ phạm chuyên ngành Tốn, khn khổ khóa luận tốt nghiệp, tơi xin mạnh dạn chọn đề tài “mở rộng siêu việt” Đề tài đƣợc hƣớng dẫn, bảo nhiệt tình Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng Nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng Cơ sở siêu việt Chƣơng Định lí Hilbert nghiệm Chƣơng Các tập đại số Chƣơng Một số mở rộng Chƣơng Phép lấy đạo hàm Mặc dù cố gắng, nhƣng thời gian nghiên cứu nhƣ vốn kiến thức kinh nghiệm nhiều hạn chế, nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Nhung B.NỘI DUNG Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa vành: Tập hợp R đƣợc gọi vành có hai phép tốn hai mà ta ký hiệu "+" (phép cộng) "." (phép nhân) thỏa mãn điều kiện sau: a, R nhóm giao hốn phép cộng, nghĩa là: +Phép cộng có tính kết hợp: x, y, z R :  x y z x y z  +Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là: 0 R, x R : x x 0 x +Mọi phần tử R có phần tử đối: x R, xR : x xxx 0 +Phép cộng có tính giao hốn, nghĩa : x, y R : x y y x b, Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa x, y, z R : x.( y z) x.y x.z c, Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là: x, y, z R : (x.y).z x.( y.z) d, Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là: 1R, x R :1.x x.1 x 1.1.2 Vành *Tập A vành R đƣợc gọi vành R thỏa mãn điều kiện sau: R,  i, A nhóm nhóm cộng ii, x, y A xy A iii, 1A *Các vành đặc biệt: +Tập gồm phần tử {0} R vành R +Cho phần tử a R Tập phần tử dạng n.a, n  vành R 1.1.3 Đồng cấu vành Cho R S hai vành Ánh xạ f :R S đƣợc gọi đồng cấu vành f bảo tồn hai phép tốn cộng nhân R, nghĩa với a,b R: f(a + b) =f(a) + f(b) f(a.b) =f(a).f(b) f 11 1.1.4 Iđêan Iđêan nguyên tố Iđêan tối đại *Iđêan: +Vành A vành R đƣợc gọi iđêan trái (hoặc phải) R x.a A( a.x A) với a A, với x R +Vành A vừa iđêan trái, vừa iđêan phải R đƣợc gọi iđêan R +Giao họ iđêan R iđêan R +Cho tập X R Iđêan nhỏ R chứa X đƣợc gọi iđêan sinh X *Iđêan nguyên tố iđêan tối đại: Giả sử A vành giao hốn có đơn vị, iđêan X≠A A gọi iđêan tối đại iđêan A chứa X A thân X Một iđêan P≠A A gọi iđêan nguyên tố với u, v thuộc A mà tích uv thuộc P u thuộc P v thuộc P 1.1.5 Vành Nơte: *Định nghĩa: Vành giao hốn có đơn vị đƣợc gọi vành Nơte iđêan hữu hạn sinh, tức tồn tập sinh hữu hạn phần tử *Điều kiện tƣơng đƣơng môđun Nơte: -Định nghĩa 1: Một môđun M vành A đƣợc gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng dãy tăng môđun M1 M M dừng, nghĩa  tồn n cho: M n Mn1  -Định nghĩa 2: Một môđun M vành A đƣợc gọi thỏa điều kiện tối đại họ khác rỗng môđun M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có phần tử tối đại -Định lí: Cho vành A A-môđun M Các mệnh đề sau tƣơng đƣơng: i, M thỏa điều kiện dây chuyền tăng ii, M thỏa điều kiện tối đại iii, Mọi môđun M hữu hạn sinh -Một môđun M vành A đƣợc gọi môđun Nơte M thỏa mãn điều kiện định lí 1.2 Miền nguyên trường 1.2.1 Miền nguyên: Một phần tử a  vành R gọi ƣớc không tồn phần tử b R cho ab ba 0 0 0 Một miền nguyên vành giao hốn khác khơng khơng có ƣớc khơng 1.2.2 Trường: Trong vành giao hốn khác không R , phần tử x R gọi khả nghịch hay gọi ƣớc đơn vị, tồn phần tử y R cho xy 1 Một trƣờng T vành giao hốn khác khơng phần tử khác không khả nghịch Cho K trƣờng với phần tử đơn vị e Khi số tự nhiên nhỏ n  cho ne đƣợc gọi đặc số trƣờng K Trong trƣờng hợp ngƣợc lại ta nói K có đặc số 1.1.5 Địa phương hóa Trường thương *Định nghĩa 1: Giả sử R vành giao hốn, có đơn vị Tập S R đƣợc gọi tập nhân tính S khép kín phép nhân S *Định nghĩa 2: thƣờng Thật vậy: Ta có D 1D 1.12D 1D 10 6.2 Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm Giả sử L K x K  x1 , , xn  ta kí hiệu  f  xi đa thức mở rộng hữu hạn sinh Với f k X ,  tính (x) Bài toán đặt tồn f  Xi phép lấy đạo hàm D* L trùng với phép lấy đạo hàm D cho K ? *Định lí 6.1: Giả sử D phép lấy đạo hàm trƣờng K , (x) tập tùy ý đại lƣợng, X  f tập sinh iđêan K X xác định tập (x) Nếu lúc  (u) tập tùy ý phần tử thuộc K  thỏa mãn phƣơng trình: x f D x  f   u   i x  i   tồn phép lấy đạo hàm D* trƣờng K , cho D* xi Chứng minh:  ui K trùng với D x với i *Điều kiện cần: f  X  tập sinh iđêan K x xác định tập (x), với u   thỏa mãn: K x  f D x   f   u  (1)  i xi  Nếu fX  K X  đa thức, tập (x), triệt tiêu phép lấy đạo hàm D* tùy ý, trùng với D K , phải thỏa mãn hệ thức: D * f D  x  f x     f D*x     i (2) xi  f D đa thức thu đƣợc cách áp dụng D vào hệ tử f Khi  đó, tồn D* từ (1) (2) ta có: D* xi ui với i *Điều kiện đủ: D* trƣờng K  Giả sử tồn phép lấy đạo hàm với D K , cho D* xi  ui x g x  h  với i Nếu trùng nằm K x x , h x0 , ta thấy D* xác định công thức: ánh xạ D g  x g D  x  * D*  g / h g .ui , i x hD* g   gD * h , h2 đƣợc xác định cách đắn phép lấy đạo hàm trƣờng K x  Ta có điều cần chứng minh  6.3 Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh mở rộng tách đại số Ta xét trƣờng hợp riêng, (x) gồm phần tử x Giả sử D phép lấy đạo hàm cho K *Trƣờng hợp 1: Phần tử x tách đƣợc đại số K Giả sử f X đa thức bất khả quy mà x thỏa mãn  f , x 0 Ta có: f x  f x  u u  D Vì D đƣợc mở rộng ,  f D K  x x K Thế f , x cách Nếu D tầm thƣờng K D tầm thƣờng K x  *Trƣờng hợp 2: Phần tử x siêu việt K Thế D đƣợc mở rộng, ngồi phần tử u chọn K x cách tùy ý *Trƣờng hợp 3: Phần tử x túy không tách đƣợc K , cho aK Thế D đƣợc mở rộng K x p a m 1, trƣờng x hợp D  a 0 Đặc biệt, D tầm thƣờng K phần tử u đƣợc chọn cách tùy ý *Mệnh đề 6.2: K K tách đƣợc đại số Mở rộng hữu hạn sinh x  phép lấy đạo hàm D trƣờng K  tầm thƣờng K tầm thƣờng x K x  Chứng minh: Nếu K mở rộng đại số tách đƣợc trƣờng K trƣờng hợp x Ngƣợc lại, khơng phải mở rộng đại số tách đƣợc, ta xây dựng tháp mở rộng K K mà tầng ứng với x trƣờng hợp xét Ít tầng phải ứng với trƣờng hợp hay Khi xét tầng thuộc loại đó, ta thấy phải xây dựng nhƣ phép lấy đạo hàm tầm thƣờng đáy mà không tầm thƣờng đỉnh tháp Mệnh đề đƣợc chứng minh  *Mệnh đề 6.3: Giả sử cho trƣờng K phần tử xx1, , xn  Ngồi tồn n đa thức thuộc mở rộng fi K X  cho: i, f x 0 i   ii, i  detf  0   x i   Thế K  mở rộng đại số tách đƣợc K Chứng minh: x  Giả sử D phép lấy đạo hàm K x , tầm thƣờng K Vì fi x nên ta phải có Df x 0 Từ Dx thỏa mãn n phƣơng trình tuyến tính i   i suy mà ma trận hệ tử có định thức khác Suy ra: Dxi 0 K x  Vì K x nên D tầm thƣờng mở rộng đại số tách đƣợc K Ta có điều cần chứng minh  *Mệnh đề 6.4: Giả sử K k  x mở rộng hữu hạn sinh trƣờng k Phần tử z K nằm K pk K k Dz 0 với phép lấy đạo hàm D trƣờng Chứng minh: p Nếu z nằm K k hiển nhiên phép lấy đạo hàm D trƣờng K k triệt tiêu z Đảo lại, z z túy không tách đƣợc K pk , theo K p k trƣờng hợp trên, ta tìm phép lấy đạo hàm D , tầm thƣờng K pk , cho Dz=1 Phép lấy đạo hàm đƣợc xác định trƣớc tiên trƣờng K pk z  Nó mở rộng lên K nhƣ sau: Giả thiết có phần tử w K cho w K pk z  wp  K pk Thế trƣờng hợp để mở rộng D từ D triệt tiêu wp Ta lại áp dụng K pk z  lên K pk z, w Tiến dần bƣớc nhƣ vậy, cuối ta đạt tới K mệnh đề đƣợc chứng minh  6.4 Không gian vecto phép lấy đạo hàm Các phép lấy đạo hàm trƣờng K lập thành không gian vecto K , định nghĩa zD với K z công thức: zDxzDx Giả sử K mở rộng hữu hạn sinh trƣờng k , có số chiều r k Kí hiệu D K -khơng gian vecto phép lấy đạo hàm trƣờng K k Với z K , ta có phép ghép đôi:  D, z  Dz từ không gian D , K vào K Nhƣ phần tử z thuộc trƣờng K xác định phiếm hàm K -tuyến tính D Phiếm hàm đƣợc kí hiệu dz Ta có: d yzydz zdy , d y z dy dz Các phiếm hàm tuyến tính sinh khơng gian F đối ngẫu với D , định nghĩa ydz điều kiện:  D, ydz  yDz *Mệnh đề 6.5: Giả thiết K mở rộng tách đƣợc hữu hạn sinh trƣờng k, có bậc siêu việt r Thế khơng gian vecto D (trên K ) phép lấy đạo hàm trƣờng K k có số chiều r Các phần tử t1, , tr thuộc trƣờng K lập thành sở siêu việt tách đƣợc K k trƣờng hợp dt1 , , dtr lập thành sở không gian F K , đối ngẫu với D Chứng minh: (=>) Nếu t1, ,tr sở siêu việt tách đƣợc K k , theo trƣờng hợp định lý mở rộng , ta tìm phép lấy đạo hàm D1 , , Dr trƣờng K k cho:  ij Dit j Đối với D D cho, ta đặt wi Dti Thế hiển nhiên thành sở khơng gian D K , (