Mở rộng siêu việt

Định nghĩa vành: Tập hợp R đƣợc gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" phép cộng và "." phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau: a, R là một nhóm giao hoán

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều tri thức, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Toán - những người đã tận tình dạy dỗ, dìu dắt tôi trong suốt bốn năm học vừa qua, cũng như đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Hoàng Thị Tuyết Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu, đồng thời được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng Trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010

Người cam đoan

Hoàng Thị Tuyết Nhung

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU……… 3

B NỘI DUNG……… 5

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 5

1.1 Vành……… 5

1.2 Miền nguyên và trường……… 8

1.3 Một số mở rộng trường… ………9

1.4 Độc lập đại số……….……… 10

1.5 Không gian vecto và ánh xạ tuyến tính………11

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ SIÊU VIỆT……….……….14

2.1 Định nghĩa…… ……….14

2.1.1 Cơ sở siêu việt……… ……… 14

2.1.2 Bậc siêu việt (số chiều)… ……….14

2.2 Định lí……… 14

2.3 Định lí Nơte về sự chuẩn hóa………… ………16

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ HILBERT VỀ CÁC NGHIỆM………19

3.1 Định nghĩa nghiệm, tập đại số… ………19

3.2 Định lí Hilbert về các nghiệm……… ………19

3.2.1 Định lí về sự mở rộng các đồng cấu… ………19

3.2.2 Một số hệ quả của định lí về sự mở rộng các đồng cấu Định lí Hilbert về các nghiệm………21

CHƯƠNG 4 CÁC TẬP ĐẠI SỐ………… ………24

4.1 Kiến thức mở đầu……….………24

4.2 Tập đại số bất khả quy………… ………2

4.2.1 Định nghĩa………… ………25

4.2.2 Định lí……… ……….25

4.3 Phổ Tập mở, tập đóng Điểm của phổ……….27

CHƯƠNG 5 MỘT SỐ MỞ RỘNG………….……….30

5.1 Mở rộng tự do tuyến tính……… ………30

5.1.1 Tự do tuyến tính……… ………30

5.1.2 Độc lập đại số……….………34

5.1.3 Mối quan hệ giữa sự tự do tuyến tính và độc lập đại số.…35 5.2 Mở rộng tách được………36

5.2.1 Định nghĩa……… ………36

5.2.2 Điều kiện tương đương của mở rộng tách được….………36

5.2.3 Tiêu chuẩn Mắclên và các hệ quả trực tiếp của nó….……38

5.2.4 Kết quả của việc khảo sát tính tách được………… ……40

CHƯƠNG 6 PHÉP LẤY ĐẠO HÀM………… ………42

6.1 Định nghĩa……… ……… 42

6.2 Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm……….………42

6.3 Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh và mở rộng tách được đại số……… 44

6.4 Không gian vecto các phép lấy đạo hàm………… …………47

C KẾT LUẬN……… ……….50

D TÀI LIỆU THAM KHẢO………51

A MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng Trong đó, nói đến Toán học lí thuyết không thể không nói đến lí thuyết số - ngành Toán học có lịch sử phát triển lâu đời

Cùng với sự phát triển của Toán học hiện đại đòi hỏi chúng ta cần phải tìm

ra ngày càng nhiều hệ thống số mới cũng như các phương pháp mở rộng các

trường số đã biết Một trong các mở rộng đó là mở rộng siêu việt Tuy nhiên cho

đến nay, ở nước ta, tài liệu về loại mở rộng này chưa nhiều Dưới góc độ một sinh viên Sư phạm chuyên ngành Toán, trong khuôn khổ một khóa luận tốt

nghiệp, tôi xin mạnh dạn chọn đề tài “mở rộng siêu việt” Đề tài được sự hướng

dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng

Nội dung khóa luận gồm 6 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2 Cơ sở siêu việt

Chương 3 Định lí Hilbert về các nghiệm

Chương 4 Các tập đại số Chương 5 Một số mở rộng Chương 6 Phép lấy đạo hàm

Mặc dù rất cố gắng, nhƣng do thời gian nghiên cứu cũng nhƣ vốn kiến thức và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, nên trong luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận này đƣợc hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Hoàng Thị Tuyết Nhung

B NỘI DUNG

1.1 Vành

1.1.1 Định nghĩa vành:

Tập hợp R đƣợc gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký

hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:

a, R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:

Cho R và S là hai vành Ánh xạ f :R S đƣợc gọi là đồng cấu vành nếu f

bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với mọi a,b R:

f(a + b) =f(a) + f(b) f(a.b) =f(a).f(b)

 1 1

1.1.4 Iđêan Iđêan nguyên tố Iđêan tối đại

*Iđêan:

+Vành con A của vành R đƣợc gọi là iđêan trái (hoặc phải) của R nếu x.a A (

hoặc a.x A) với mọi a A, với mọi x R

+Vành con A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của R đƣợc gọi là iđêan của R +Giao của họ bất kỳ các iđêan của R là iđêan của R

+Cho tập con X R Iđêan nhỏ nhất của R chứa X đƣợc gọi là iđêan sinh bởi X

*Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại:

Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị, một iđêan X≠A của A gọi là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu các iđêan của A chứa X chính là A và bản thân X

Một iđêan P≠A của A gọi là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu với u, v thuộc

A mà tích uv thuộc P thì u thuộc P hoặc v thuộc P

Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền

tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con M1 M2  của M đều dừng, nghĩa là

tồn tại n sao cho:

1

n n

-Định nghĩa 2:

Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện tối đại nếu mọi

họ khác rỗng những môđun con của M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có

phần tử tối đại

-Định lí:

Cho vành A và A-môđun M Các mệnh đề sau tương đương:

i, M thỏa điều kiện dây chuyền tăng

ii, M thỏa điều kiện tối đại

iii, Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

-Một môđun M trên một vành A đƣợc gọi là môđun Nơte nếu M thỏa mãn một

trong các điều kiện của định lí trên

1.2 Miền nguyên và trường

1.2.1 Miền nguyên:

Một phần tử a 0 của vành R gọi là một ƣớc của không nếu và chỉ nếu

tồn tại một phần tử b 0 của R sao cho ab0 hoặc ba0

Một miền nguyên là một vành giao hoán khác không và không có ƣớc của không

1.2.2 Trường:

Trong một vành giao hoán khác không R, một phần tử xR gọi là khả

nghịch hay gọi là ƣớc của đơn vị, nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử yR sao

Giả sử R là một vành giao hoán, có đơn vị Tập con SR đƣợc gọi là một

tập con nhân tính nếu S khép kín đối với phép nhân và 1S

*Định nghĩa 2:

Giả sử S là một tập con nhân tính của vành giao hoán , có đơn vị R Khi đó

1



phương hóa của R tại R\S, hay địa phương hóa của R bằng cách làm khả nghịch mọi phần tử của S

R\  R là một trường, bởi vì mọi phần tử khác không của nó đều khả

nghịch Trường này được gọi là trường các thương của miền nguyên R

1.3 Một số mở rộng trường

1.3.1 Mở rộng hữu hạn sinh

Giả sử K là trường con của trường E và u u1, 2, ,u là các phần tử nào đó n

thuộc E Khi đó, trường con bé nhất của E chứa K và chứa tập u u1, 2, ,u n

được gọi là mở rộng hữu hạn sinh của K sinh bởi u u1, 2, ,u và kí hiệu bởi n

 1, 2, , n

1.3.2 Mở rộng đại số

*Phần tử đại số và phần tử siêu việt:

Giả sử A là vành con của vành V và f x A x  có dạng:

*Định nghĩa:

Trường mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần

tử của nó đều là đại số trên K

Đa thức f x K x  bậc n1 gọi là tách được trên trường K nếu nó có n

nghiệm phân biệt trong một trường nghiệm N K Trong trường hợp trái lại f(x)

gọi là không tách được

Mở rộng K F gọi là tách được trên K nếu mỗi phần tử trong F đều

thỏa mãn một đa thức tách được nào đó

1.4 Độc lập đại số

*Định nghĩa:

Cho F là một mở rộng của trường K Các phần tử u1, ,u n F được gọi

là độc lập đại số trên K nếu không tồn tại đa thức khác không PK x 1, ,x n

sao cho P u 1, ,u n0

*Phương trình tổng quát bậc n:

Cho A là trường tất cả các số đại số và u1, ,u n là n số thực độc lập đại số

trên A Khi đó phương trình:

Khi đó, V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian vecto trên trường  hay  -không gian vecto (gọi tắt là không gian vecto)

1.5.2 Cơ sở và số chiều của không gian vecto

1.5.3 Ánh xạ tuyến tính:

*Định nghĩa:

Cho W và V là hai không gian vecto trên trường K Ánh xạ f :VW

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

1.5.4 Không gian vecto đối ngẫu

*Định nghĩa:

Cho V là K-không gian vecto Ta gọi Hom V K ,  là không gian vecto đối

ngẫu của V và kí hiệu là *

V Mỗi phần tử của *

V đƣợc gọi là một dạng tuyến tính trên V

  của V nói trong mệnh đề trên là cơ sở đối ngẫu *

với cơ sở 1, ,n của không gian vecto V

Chương 2 CƠ SỞ SIÊU VIỆT

Từ chương này trở về sau, từ “vành” là chỉ “vành giao hoán”

2.1 Định nghĩa

2.1.1 Cơ sở siêu việt:

Giả sử K là một mở rộng của trường k và S là một tập con nào đó của

K S độc lập đại số trên k và tối đại đối với thứ tự bao hàm sẽ được gọi là cơ sở siêu việt của trường K trên k

Nếu S là cơ sở siêu việt của K trên k thì K là trường đại số trên k(S)

2.1.2 Bậc siêu việt (số chiều):

Giả sử K là một mở rộng của trường k, S K Nếu S là một tập con độc

lập đại số của K và nếu lực lượng của S là lớn nhất trong các lực lượng của các tập con đó thì ta sẽ gọi lực lượng đó là bậc siêu việt hay số chiều của mở rộng K trên k

Ta cần phân biệt giữa các bậc siêu việt hữu hạn với các bậc siêu việt vô hạn Quan hệ giữa khái niệm bậc siêu việt và khái niệm độc lập đại số cũng giống như khái niệm số chiều và khái niệm độc lập tuyến tính mà ta đã được biết

2.2 Định lí

*Định lí 2.1:

Giả sử K là mở rộng của trường k Hai cơ sở siêu việt tùy ý của K trên k

có cùng lực lượng Nếu  là tập sinh của K trên k (tức là K k( )) và S là một tập con của , độc lập đại số trên k, thì tồn tại cơ sở siêu việt B của trường K trên k, sao cho S  B

Chứng minh:

Ta chứng minh rằng nếu tồn tại một cơ sở siêu việt hữu hạn thì mọi cơ sở siêu việt tùy ý khác cũng phải hữu hạn và chứa số phần tử bằng số phần tử của

cơ sở hữu hạn kia

Ta gọi: x x1, 2, ,x m,m1 là một cơ sở siêu việt hữu hạn và w w1 , 2, ,w n

là một cơ sở siêu việt của trường K trên k Ta đi chứng minh nm (Vì sau đó

ta có thể dùng sự đối xứng) Thật vậy: Theo giả thiết, tồn tại đa thức khác không

1

f của m1 biến với các hệ tử thuộc k, sao cho:

1( 1, ,1 2, , m) 0

Mặt khác, theo giả thiết w1 có mặt trong f1 và một số x i, chẳng hạn x 1

cũng có mặt trong f1 Từ đó, suy ra x là phần tử đại số trên 1 k w x x( 1, ,1 2, ,x m) Theo quy nạp, ta giả thiết rằng sau khi đánh số lại một cách thích hợp

trong đó w r1 thực sự có mặt trong f Vì mọi w độc lập đại số trên k nên có

phần tử x nào đó (với j j r 1, ,m) cũng có mặt trong f Sau khi đánh số lại

ta có thể coi j r 1 Thế thì x r1 là phần tử đại số trên

( , , r , r , , m)

Vì tháp các mở rộng đại số là một mở rộng đại số, nên K là mở rộng đại

số trên k w( 1, ,w r1,x r2, ,x m)

Lặp lại quá trình trên, nếu n m thì sau khi thay tất cả các x bởi các w,

ta phát hiện ra rằng K là mở rộng đại số trên k w( 1, ,w m) Điều đó chứng tỏ rằng từ nm suy ra đẳng thức nm Ta có điều phải chứng minh.

Giả sử k x 1, ,x n  k x là một vành nguyên hữu hạn sinh trên trường k ,

trong đó k x  có bậc siêu việt r Thế thì trong k x  tồn tại các phần tử y1, ,y r

sao cho k x  là vành nguyên trên:

trong đó, mỗi hệ tử a jk và a j 0 Tổng lấy theo một số hữu hạn các bộ n khác nhau các số nguyên j j1 , 2 , , j n,j v  0 Giả sử m2, ,m n là các số nguyên dương Đặt:

Thế thì mọi    j . m đều khác nhau với những  j mà a j 0

Như vậy, ta đã thu được phương trình nguyên đối với x trên 1 k y 2, ,y n

Vì mỗi x i,i1 được chứa trong k x y 1, 2, ,y n nên vành k x  nguyên trên

 2, , n

Tiếp tục quá trình trên theo quy nạp và dùng tính bắc cầu của các mở rộng

nguyên, ta có thể giảm số y cho tới khi đạt tới một độc lập đại số các y.Ta có điều phải chứng minh.

Chương 3 ĐỊNH LÍ HILBERT VỀ CÁC NGHIỆM

3.1 Định nghĩa nghiệm, tập đại số

Giả sử S là một tập nào đó các đa thức của vành đa thức k X 1 , ,X n của n

biến, L là một mở rộng nào đó của trường k

-Nghiệm của tập S trong L là một bộ tùy ý gồm n phần tử c1 , ,c n nằm trong

L sao cho:

 1, , n 0,

f c c   f S

-Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì ta cũng nói rằng  c là nghiệm của f

-Tập tất cả các nghiệm của họ S được gọi là tập đại số trong L

-Khi xét các nghiệm của một tập S nào đó, ta có thể coi chúng là nghiệm của một iđêan nào đó và ngược lại

-Một tập đại số tùy ý là tập các nghiệm của một số hữu hạn đa thức nào đó, vì mọi iđêan của k X là hữu hạn sinh  

3.2 Định lí Hilbert về các nghiệm

Định lí về các nghiệm là một trường hợp riêng của định lí về sự mở rộng các đồng cấu đối với các vành hữu hạn sinh trên các trường Vì vậy, trước tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu về định lí mở rộng các đồng cấu

3.2.1 Định lí về sự mở rộng các đồng cấu

*Định lí:

Giả sử k là một trường, k x  k x1, ,x n là một vành hữu hạn sinh trên

k, và : k L là phép nhúng chìm k vào một trường đóng đại số L nào đó Thế thì, tồn tại cái mở rộng của  tới đồng cấu từ k x  vào L

 1, , n

   vào L, cái đó cho ta mở rộng phải tìm đối với  Vì vậy, không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng k x là một trường  

Nếu nó là mở rộng đại số trên k thì theo các kết quả đã biết về các mở

rộng đại số ta có điều cần chứng minh

Trong trường hợp trái lại, giả sử t1, ,t là một cơ sở siêu việt nào đó, r

  Giả sử p là hạt nhân của đồng cấu

, thế thì  t p Đồng cấu  đó mở rộng được một cách duy nhất trên vành địa phương k t p, mà theo chú ý trên, nó được mở rộng tới đồng cấu từ

  p 1, , n

k t x x vào k Từ đó ta có điều phải chứng minh.

3.2.2 Một số hệ quả của định lí về sự mở rộng các đồng cấu Định lí Hilbert

về các nghiệm

*Hệ quả 3.1:

Giả sử k là một trường và k x 1 , ,x n  k x là vành hữu hạn sinh trên k

Nếu k x  là một trường thì k x  là mở rộng đại số trên k

Giả sử k x 1, ,x n là một vành nguyên hữu hạn sinh trên trường k, và giả

sử y1, ,y m là các phần tử khác không của vành đó Thế thì, tồn tại đồng cấu:

và áp dụng định lí đối với vành này, ta đƣợc điều cần chứng minh.

*Hệ quả 3.3: (Định lí Hilbert về các nghiệm)

Giả sử a là một iđêan của k X  k X1 , ,X n và giả sử mọi nghiệm

Nếu a chính là vành các đa thức thì ta có điều phải chứng minh

Giả sử ak X : Giả thiết rằng không có lũy thừa f m nào của f nằm trong a m 0,1,  Kí hiệu S là tập nhân của tất cả các lũy thừa của f và p là phần tử tối đại trong tập các iđêan chứa a, mà giao với S là rỗng Thế thì p là một

iđêan nguyên tố Do đó, ta có đẳng cấu:

trong đó:

 x   x1 , ,  x n 

Điều đó mâu thuẫn với giả thiết là f triệt tiêu tại mọi nghiệm của iđêan a

Vậy giả sử sai, tức tồn tại một số nguyên m0 sao cho f ma Ta có điều cần

chứng minh 

Chương 4 CÁC TẬP ĐẠI SỐ 4.1 Kiến thức mở đầu:

A hay nói nó liên kết với A

Nếu A là tập hợp các nghiệm của tập các đa thức S thì S a , trong đó a

có thể lớn hơn S Mặt khác, chú ý rằng A cũng là tập các nghiệm của iđêan a

Giả sử A, B là các tập đại số, a, b là các iđêan liên kết với chúng Thế thì

hiển nhiên A  B a b Từ đó suy ra: A B  a b Điều này dẫn tới một

hệ quả quan trọng Vì vành các đa thức k X  là vành Nơte, nên các tập đại số thỏa mãn tính chất đối ngẫu, cụ thể là trong mọi chuỗi giảm các tập đại số:

1 2

bắt buộc phải có A m  A m1  , với một số nguyên m nào đó, tức là mọi A v

bằng nhau khi vm Ngoài ra, theo tính chất đối ngẫu của một tính chất khác đặc trưng cho điều kiện Nơte, ta kết luận rằng mọi tập khác rỗng các tập đại số chứa phần tử tối tiểu

*Định lí 4.1:

Hợp hữu hạn và giao hữu hạn của các tập đại số là các tập đại số Nếu A, B

là các tập đại số các nghiệm của các iđêan a, b tương ứng, thì AB là tập các