Mở rộng siêu việt

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán - trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, đƣợc dạy dỗ, bảo tận tình thầy cô giáo, tiếp thu đƣợc nhiều tri thức, kinh nghiệm phƣơng pháp học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy, cô khoa Toán - ngƣời tận tình dạy dỗ, dìu dắt suốt bốn năm học vừa qua, nhƣ tạo điều kiện cho hoàn thành khóa luận Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian thực khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Nhung LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu, đồng thời đƣợc quan tâm, tạo điều kiện thầy cô khoa Toán, đặc biệt hƣớng dẫn nhiệt tình Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng Trong trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Ngƣời cam đoan Hoàng Thị Tuyết Nhung -2- MỤC LỤC A MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… B NỘI DUNG…………………………………………………………… CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………… .5 1.1 Vành………………………………………………………… 1.2 Miền nguyên trƣờng……………………………………… 1.3 Một số mở rộng trƣờng… ……………………………………9 1.4 Độc lập đại số…………….………………………………… 10 1.5 Không gian vecto ánh xạ tuyến tính………………………11 CHƢƠNG CƠ SỞ SIÊU VIỆT…………….………………………….14 2.1 Định nghĩa…… …………………………………………….14 2.1.1 Cơ sở siêu việt……… ………………………………… 14 2.1.2 Bậc siêu việt (số chiều)… ……………………………….14 2.2 Định lí……………………………………………………… 14 2.3 Định lí Nơte chuẩn hóa………… ……………………16 CHƢƠNG ĐỊNH LÍ HILBERT VỀ CÁC NGHIỆM…………………19 3.1 Định nghĩa nghiệm, tập đại số… ……………………………19 3.2 Định lí Hilbert nghiệm……… ………………………19 3.2.1 Định lí mở rộng đồng cấu… …………………19 3.2.2 Một số hệ định lí mở rộng đồng cấu Định lí Hilbert nghiệm……………………………21 -3- CHƢƠNG CÁC TẬP ĐẠI SỐ………… ……………………………24 4.1 Kiến thức mở đầu……………….……………………………24 4.2 Tập đại số bất khả quy………… ……………………………2 4.2.1 Định nghĩa………… ……………………………………25 4.2.2 Định lí…………… …………………………………….25 4.3 Phổ Tập mở, tập đóng Điểm phổ……………………….27 CHƢƠNG MỘT SỐ MỞ RỘNG………….………………………….30 5.1 Mở rộng tự tuyến tính……………… ……………………30 5.1.1 Tự tuyến tính………………… ………………………30 5.1.2 Độc lập đại số…………………….………………………34 5.1.3 Mối quan hệ tự tuyến tính độc lập đại số.…35 5.2 Mở rộng tách đƣợc……………………………………………36 5.2.1 Định nghĩa…………… …………………………………36 5.2.2 Điều kiện tƣơng đƣơng mở rộng tách đƣợc….………36 5.2.3 Tiêu chuẩn Mắclên hệ trực tiếp nó….……38 5.2.4 Kết việc khảo sát tính tách đƣợc………… ……40 CHƢƠNG PHÉP LẤY ĐẠO HÀM………… ………………………42 6.1 Định nghĩa…………… …………………………………… 42 6.2 Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm…………….……………42 6.3 Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh mở rộng tách đƣợc đại số…………………… 44 6.4 Không gian vecto phép lấy đạo hàm………… …………47 C KẾT LUẬN………………… …………………………………………….50 D TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………51 -4- A MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian tiến loài ngƣời, Toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Toán học lí thuyết Toán học ứng dụng Trong đó, nói đến Toán học lí thuyết không nói đến lí thuyết số - ngành Toán học có lịch sử phát triển lâu đời Cùng với phát triển Toán học đại đòi hỏi cần phải tìm ngày nhiều hệ thống số nhƣ phƣơng pháp mở rộng trƣờng số biết Một mở rộng mở rộng siêu việt Tuy nhiên nay, nƣớc ta, tài liệu loại mở rộng chƣa nhiều Dƣới góc độ sinh viên Sƣ phạm chuyên ngành Toán, khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, xin mạnh dạn chọn đề tài “mở rộng siêu việt” Đề tài đƣợc hƣớng dẫn, bảo nhiệt tình Thạc sĩ Nguyễn Huy Hƣng Nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng Cơ sở siêu việt Chƣơng Định lí Hilbert nghiệm Chƣơng Các tập đại số Chƣơng Một số mở rộng Chƣơng Phép lấy đạo hàm -5- Mặc dù cố gắng, nhƣng thời gian nghiên cứu nhƣ vốn kiến thức kinh nghiệm nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Nhung -6- B NỘI DUNG Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa vành: Tập hợp R đƣợc gọi vành có hai phép toán hai mà ta ký hiệu "+" (phép cộng) "." (phép nhân) thỏa mãn điều kiện sau: a, R nhóm giao hoán phép cộng, nghĩa là: +Phép cộng có tính kết hợp: x, y, z  R :  x  y   z  x   y  z  +Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là: 0  R, x  R :  x  x   x +Mọi phần tử R có phần tử đối: x  R, x  R : x  x  x  x  +Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa : x, y  R : x  y  y  x b, Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa x, y, z  R : x.( y  z )  x y  x.z c, Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là: x, y, z  R : ( x y).z  x.( y.z ) d, Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là: 1 R, x  R :1.x  x.1  x -7- 1.1.2 Vành *Tập A vành R đƣợc gọi vành R thỏa mãn điều kiện sau: i, A nhóm nhóm cộng  R,   ii, x, y  A  xy  A iii, 1 A *Các vành đặc biệt: +Tập gồm phần tử {0} R vành R +Cho phần tử a  R Tập phần tử dạng n.a, n   vành R 1.1.3 Đồng cấu vành Cho R S hai vành Ánh xạ f :R S đƣợc gọi đồng cấu vành f bảo toàn hai phép toán cộng nhân R, nghĩa với a,b R: f(a + b) =f(a) + f(b) f(a.b) =f(a).f(b) f 1  1.1.4 Iđêan Iđêan nguyên tố Iđêan tối đại *Iđêan: +Vành A vành R đƣợc gọi iđêan trái (hoặc phải) R x.a A ( a.x A) với a A, với x R +Vành A vừa iđêan trái, vừa iđêan phải R đƣợc gọi iđêan R +Giao họ iđêan R iđêan R +Cho tập X R Iđêan nhỏ R chứa X đƣợc gọi iđêan sinh X -8- *Iđêan nguyên tố iđêan tối đại: Giả sử A vành giao hoán có đơn vị, iđêan X≠A A gọi iđêan tối đại iđêan A chứa X A thân X Một iđêan P≠A A gọi iđêan nguyên tố với u, v thuộc A mà tích uv thuộc P u thuộc P v thuộc P 1.1.5 Vành Nơte: *Định nghĩa: Vành giao hoán có đơn vị đƣợc gọi vành Nơte iđêan hữu hạn sinh, tức tồn tập sinh hữu hạn phần tử *Điều kiện tƣơng đƣơng môđun Nơte: -Định nghĩa 1: Một môđun M vành A đƣợc gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng dãy tăng môđun M  M  M dừng, nghĩa tồn n cho: M n  M n 1  -Định nghĩa 2: Một môđun M vành A đƣợc gọi thỏa điều kiện tối đại họ khác rỗng môđun M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có phần tử tối đại -Định lí: Cho vành A A-môđun M Các mệnh đề sau tƣơng đƣơng: i, M thỏa điều kiện dây chuyền tăng ii, M thỏa điều kiện tối đại iii, Mọi môđun M hữu hạn sinh -9- -Một môđun M vành A đƣợc gọi môđun Nơte M thỏa mãn điều kiện định lí 1.2 Miền nguyên trường 1.2.1 Miền nguyên: Một phần tử a  vành R gọi ƣớc không tồn phần tử b  R cho ab  ba  Một miền nguyên vành giao hoán khác không ƣớc không 1.2.2 Trường: Trong vành giao hoán khác không R , phần tử x  R gọi khả nghịch hay gọi ƣớc đơn vị, tồn phần tử y  R cho xy  Một trƣờng T vành giao hoán khác không phần tử khác không khả nghịch Cho K trƣờng với phần tử đơn vị e Khi số tự nhiên nhỏ n  cho ne đƣợc gọi đặc số trƣờng K Trong trƣờng hợp ngƣợc lại ta nói K có đặc số 1.1.5 Địa phương hóa Trường thương *Định nghĩa 1: Giả sử R vành giao hoán, có đơn vị Tập S  R đƣợc gọi tập nhân tính S khép kín phép nhân  S *Định nghĩa 2: Giả sử S tập nhân tính vành giao hoán , có đơn vị R Khi vành S 1R đƣợc gọi vành thƣơng R theo S Nó đƣợc gọi địa - 10 - Chứng minh: *(1)=>(2): Dễ thấy *(2)=>(3): Giả thiết K hữu hạn sinh k, chẳng hạn: K  k  x   k  x1 , , xn  Giả sử bậc siêu việt mở rộng r +Nếu r=n: Ta có điều cần chứng minh +Nếu r  n : Giả sử x1, , xr sở siêu việt Thế xr 1 phần tử đại số k  x1 , , xr  Giả sử f  x1 , , xr 1  đa thức bậc bé mà ta có: f  x1 , , xr 1   Thế f bất khả quy Ta khẳng định xi ,  i  1, , r  1 có mặt f có số mũ bội p Vì trái lại, ta viết đƣợc: f  x    c M   x  p đó: M   x  đơn thức x1 , , xr 1 c  k Điều có nghĩa M   x  phụ thuộc tuyến tính  c M   x  p k 1/ p (lấy bậc p từ phƣơng trình  ) Tuy nhiên M   x  độc lập tuyến tính k (nếu không phƣơng trình x1 , , xr 1 có bậc bé hơn), nhƣ ta thu đƣợc mâu thuẫn với tự tuyến tính k  x  k 1/ p Nhƣ vậy, chẳng hạn x1 có mặt đa thức f  x  với lũy thừa mà số mũ bội p Tiếp tục, f  x  bất khả quy k  x1 , , xr 1  , f  x   phƣơng trình bất khả quy x1 k  x2 , , xr 1  Vì x1 có mặt - 39 - với số mũ bội p , nên phƣơng trình phƣơng trình tách đƣợc x1 k  x2 , , xr 1  , nói cách khác, x1 phần tử đại số tách đƣợc k  x2 , , xn  Nếu  x2 , , xn  sở siêu việt ta chứng minh xong Nếu  x2 , , xn  không sở siêu việt, chẳng hạn, x2 tách đƣợc k  x3 , , xn  Thế k  x  tách đƣợc k  x3 , , xn  Lý luận theo quy nạp, ta thấy trình kéo dài thu đƣợc sở siêu việt Điều chứng minh (2) kéo theo (3), đồng thời chứng minh sở siêu việt tách đƣợc k(x) k chọn từ tập sinh cho tùy ý *(3)=>(1): Giả thiết K hữu hạn sinh k Giả sử (u) sở siêu việt tách đƣợc K k Thế K mở rộng đại số tách đƣợc k(u) Theo mệnh đề 5.3, k(u) k 1/ p   1/ p tự tuyến tính với Đặt L  k , k(u)L túy không tách đƣợc k(u) theo định lí sơ cấp mở rộng đại số hữu hạn, đó, k(u)L tự tuyến tính với K k(u) Dùng mệnh đề 5.1, ta kết luận K tự tuyến tính với L k Ta có điều cần chứng minh  Mở rộng K trƣờng k, thỏa mãn điều kiện mệnh đề 5.4, đƣợc gọi tách đƣợc 5.2.3 Tiêu chuẩn Mắclên hệ trực tiếp Điều khẳng định tƣơng đƣơng hai điều kiện đầu mệnh đề 5.4 đƣợc gọi tiêu chuẩn Mắclên Sau hệ trực tiếp nó: - 40 - *Hệ 5.4.1: Nếu K tách đƣợc k E trƣờng K , chứa k, E tách đƣợc k *Hệ 5.4.2: Giả sử E mở rộng tách đƣợc k K mở rộng tách đƣợc E Thế K mở rộng tách đƣợc k *Hệ 5.4.3: Nếu k trƣờng hoàn toàn, mở rộng k tách đƣợc *Hệ 5.4.4: Giả sử K mở rộng tách đƣợc k tự với mở rộng L trƣờng k Thế KL mở rộng tách đƣợc trƣờng L *Hệ 5.5.5: Giả sử K L hai mở rộng tách đƣợc trƣờng k, tự với k Thế KL tách đƣợc k *Hệ 5.5.6: Giả sử K L hai mở rộng trƣờng k, tự tuyến tính k Thế K tách đƣợc k trƣờng hợp KL tách đƣợc L Ta chứng minh hệ 5.4.4 hệ 5.4.6, hệ khác ta dễ dàng chứng minh đƣợc cách áp dụng mệnh đề 5.1, định nghĩa tách đƣợc hệ đƣợc chứng minh *Chứng minh hệ 5.4.4: Mỗi phần tử thuộc KL biểu diễn đƣợc dạng tổ hợp số hữu hạn phần tử thuộc K L Do đó, trƣờng hữu hạn sinh tùy ý KL chứa L đƣợc chứa hợp tử FL , F trƣờng - 41 - K , hữu hạn sinh k Theo hệ 5.4.1, ta giả thiết K hữu hạn sinh k Giả sử (t) sở siêu việt K k cho K mở rộng đại số tách đƣợc trƣờng k(t) Theo giả thiết (t) sở siêu việt KL L , phần tử thuộc K phần tử đại số tách đƣợc k(t) nên tách đƣợc L  t  Từ suy KL sinh tách đƣợc L Ta có điều cần chứng minh  *Chứng minh hệ 5.4.6: Nếu trƣờng K không tách đƣợc k, không tự tuyến tính với k 1/ p k, nhƣ không tự tuyến tính với Lk 1/ p k Từ đó, theo 1/ p mệnh đề 5.1 suy KL không tự tuyến tính với Lk L , KL không tách đƣợc L Mệnh đề đảo trƣờng hợp riêng hệ 5.4.4, trƣờng tự tuyến tính tự Ta có điều cần chứng minh  5.2.4 Kết việc khảo sát tính tách *Mệnh đề 5.5: Đối với mở rộng K hữu hạn sinh, tách đƣợc trƣờng k, sở siêu việt tách đƣợc chọn từ tập sinh cho tùy ý Chứng minh: Mệnh đề đƣợc suy trực tiếp từ trình chứng minh mệnh đề 5.4 *Mệnh đề 5.6: Giả sử K mở rộng hữu hạn sinh trƣờng k Kí hiệu K p m trƣờng thu đƣợc cách nâng tất phần tử thuộc trƣờng K lên lũy thừa m m bậc p Nếu K k  K m đó, K mở rộng đại số tách đƣợc p - 42 - p trƣờng k Đảo lại, K mở rộng đại số tách đƣợc k, K k  K m m Chứng minh: Trong trƣờng hợp K mở rộng đại số hữu hạn k: Mệnh đề đƣợc chứng minh lí thuyết sơ cấp mở rộng đại số hữu hạn Trong trƣờng hợp K siêu việt k t1 , , tr sở siêu việt Thế  p p K mở rộng đại số hữu hạn, nhƣng không tách đƣợc trƣờng k t1 , , tr vậy: K  K p k  t1p , , trp   K p k m m Ta có điều cần chứng minh  - 43 -  Chương PHÉP LẤY ĐẠO HÀM 6.1 Định nghĩa: *Định nghĩa: Ta gọi phép lấy đạo hàm D vành R , ánh xạ D : R  R từ vành R vào nó, tuyến tính thỏa mãn quy tắc thông thƣờng đạo hàm: i, D  x  y   Dx  Dy ii, D  xy   xDy  yDx Phép lấy đạo hàm K đƣợc gọi tầm thƣờng, Dx=0 với x  k , hay ta nói D phép lấy đạo hàm trƣờng K k *Ví dụ: -Ví dụ 6.1: Xét vành đa thức k  X  trƣờng k Với biến X i việc lấy đạo hàm riêng thông thƣờng  phép lấy X i đạo hàm k  X  Ta thu đƣợc phép lấy đạo hàm trƣờng thƣơng, cách đặt: D u / v   vDu  uDv v2 -Ví dụ 6.2: Trên trƣờng nguyên tố, phép lấy đạo hàm tầm thƣờng Thật vậy: Ta có D 1  D 1.1  D 1  D 1  6.2 Bài toán mở rộng phép lấy đạo hàm Giả sử L  K  x   K  x1 , , xn  mở rộng hữu hạn sinh Với f  k  X  , ta kí hiệu f f đa thức tính (x) Bài toán đặt tồn xi X i phép lấy đạo hàm D* L trùng với phép lấy đạo hàm D cho K ? - 44 - *Định lí 6.1: Giả sử D phép lấy đạo hàm trƣờng K , (x) tập tùy ý đại lƣợng,  f  X  tập sinh iđêan K  X  xác định tập (x) Nếu lúc (u) tập tùy ý phần tử thuộc K  x  thỏa mãn phƣơng trình:  f  fD  x       xi  ui  tồn phép lấy đạo hàm D trƣờng K  x  trùng với D * K , cho D * xi  ui với i Chứng minh: *Điều kiện cần:  f  X  tập sinh iđêan K  x  xác định tập (x), với  u   K  x  thỏa mãn:  f  fD  x       xi Nếu  f  X   K  X   ui  (1) đa thức, triệt tiêu tập (x), phép lấy đạo hàm D * tùy ý, trùng với D K , phải thỏa mãn hệ thức:  f   D * f  x   fD  x      D * xi  xi  (2) fD đa thức thu đƣợc cách áp dụng D vào hệ tử f Khi đó, tồn D * từ (1) (2) ta có: D * xi  ui - 45 - với i *Điều kiện đủ: Giả sử tồn phép lấy đạo hàm D * trƣờng K  x  trùng với D K , cho D * xi  ui với i Nếu g  x  , h  x  nằm K  x  h  x   , ta thấy ánh xạ D * xác định công thức: D* g  x   g D  x    D*  g / h   g u , xi i hD* g  gD*h , h2 đƣợc xác định cách đắn phép lấy đạo hàm trƣờng K  x  Ta có điều cần chứng minh  6.3 Phép lấy đạo hàm với mở rộng hữu hạn sinh mở rộng tách đại số Ta xét trƣờng hợp riêng, (x) gồm phần tử x Giả sử D phép lấy đạo hàm cho K *Trƣờng hợp 1: Phần tử x tách đƣợc đại số K Giả sử f  X  đa thức bất khả quy mà x thỏa mãn K Thế f ,  x   Ta có:  f D  x  f  x   f  x  u  u  , f  x D , Vì D đƣợc mở rộng K  x  cách Nếu D tầm thƣờng K D tầm thƣờng K  x  *Trƣờng hợp 2: Phần tử x siêu việt K Thế D đƣợc mở rộng, phần tử u chọn K  x  cách tùy ý - 46 - *Trƣờng hợp 3: Phần tử x túy không tách đƣợc K , cho x p  a  , m a  K Thế D đƣợc mở rộng K  x  trƣờng hợp D  a   Đặc biệt, D tầm thƣờng K phần tử u đƣợc chọn cách tùy ý *Mệnh đề 6.2: Mở rộng hữu hạn sinh K  x  K tách đƣợc đại số phép lấy đạo hàm D trƣờng K  x  tầm thƣờng K tầm thƣờng K  x Chứng minh: Nếu K  x  mở rộng đại số tách đƣợc trƣờng K trƣờng hợp Ngƣợc lại, mở rộng đại số tách đƣợc, ta xây dựng tháp mở rộng K K  x  mà tầng ứng với trƣờng hợp xét Ít tầng phải ứng với trƣờng hợp hay Khi xét tầng thuộc loại đó, ta thấy phải xây dựng nhƣ phép lấy đạo hàm tầm thƣờng đáy mà không tầm thƣờng đỉnh tháp Mệnh đề đƣợc chứng minh  *Mệnh đề 6.3: Giả sử cho trƣờng K phần tử  x    x1 , , xn  thuộc mở rộng Ngoài tồn n đa thức fi  K  X  cho: i, fi  x    f  ii, det  i    xi  - 47 - Thế K  x  mở rộng đại số tách đƣợc K Chứng minh: Giả sử D phép lấy đạo hàm K  x  , tầm thƣờng K Vì fi  x   nên ta phải có Dfi  x   Từ suy Dxi thỏa mãn n phƣơng trình tuyến tính mà ma trận hệ tử có định thức khác Suy ra: Dxi  nên D tầm thƣờng K  x  Vì K  x  mở rộng đại số tách đƣợc K Ta có điều cần chứng minh  *Mệnh đề 6.4: Giả sử K  k  x  mở rộng hữu hạn sinh trƣờng k Phần tử z  K nằm K p k Dz  với phép lấy đạo hàm D trƣờng K k Chứng minh: Nếu z nằm K p k hiển nhiên phép lấy đạo hàm D trƣờng K k triệt tiêu z Đảo lại, z  K p k z túy không tách đƣợc K p k , theo trƣờng hợp trên, ta tìm phép lấy đạo hàm D , tầm thƣờng K p k , cho Dz=1 Phép lấy đạo hàm đƣợc xác định trƣớc tiên trƣờng K p k  z  Nó mở rộng lên K nhƣ sau: Giả thiết có phần tử w  K cho w  K p k  z  Thế w p  K p k D triệt tiêu w p Ta lại áp dụng trƣờng hợp để mở rộng D từ K p k  z  lên K p k  z, w Tiến dần bƣớc nhƣ vậy, cuối ta đạt tới K mệnh đề đƣợc chứng minh  - 48 - 6.4 Không gian vecto phép lấy đạo hàm Các phép lấy đạo hàm trƣờng K lập thành không gian vecto K , định nghĩa zD với z  K công thức:  zD  x   zDx Giả sử K mở rộng hữu hạn sinh trƣờng k , có số chiều r k Kí hiệu D K -không gian vecto phép lấy đạo hàm trƣờng K k Với z  K , ta có phép ghép đôi:  D, z   Dz từ không gian D , K vào K Nhƣ phần tử z thuộc trƣờng K xác định phiếm hàm K -tuyến tính D Phiếm hàm đƣợc kí hiệu dz Ta có: d  yz   ydz  zdy , d  y  z   dy  dz Các phiếm hàm tuyến tính sinh không gian F đối ngẫu với D , định nghĩa ydz điều kiện:  D, ydz   yDz *Mệnh đề 6.5: Giả thiết K mở rộng tách đƣợc hữu hạn sinh trƣờng k, có bậc siêu việt r Thế không gian vecto D (trên K ) phép lấy đạo hàm trƣờng K k có số chiều r Các phần tử t1 , , tr thuộc trƣờng K lập thành sở siêu việt tách đƣợc K k trƣờng hợp dt1 , , dtr lập thành sở không gian F K , đối ngẫu với D - 49 - Chứng minh: (=>) Nếu t1 , , tr sở siêu việt tách đƣợc K k , theo trƣờng hợp định lý mở rộng , ta tìm phép lấy đạo hàm D1 , , Dr trƣờng K k cho: Dit j   ij Đối với DD cho, ta đặt wi  Dti Thế hiển nhiên D   wi Di , nên Di lập thành sở không gian D K , dti lập thành sở đối ngẫu ([...]... của A x  Trong trƣờng hợp trái lại, c đƣợc gọi là phần tử siêu việt trên A - 11 - *Định nghĩa: Trƣờng mở rộng F của trƣờng K đƣợc gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của nó đều là đại số trên K *Định lí: Cho dãy các mở rộng trƣờng: KEF Khi đó F là mở rộng đại số trên K khi và chỉ khi F là đại số trên E và E là đại số trên K 1.3.3 Mở rộng tách được *Định nghĩa: Đa thức f  x   K  x  bậc n... Chương 2 CƠ SỞ SIÊU VIỆT Từ chương này trở về sau, từ “vành” là chỉ “vành giao hoán” 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Cơ sở siêu việt: Giả sử K là một mở rộng của trƣờng k và S là một tập con nào đó của K S độc lập đại số trên k và tối đại đối với thứ tự bao hàm sẽ đƣợc gọi là cơ sở siêu việt của trƣờng K trên k Nếu S là cơ sở siêu việt của K trên k thì K là trƣờng đại số trên k(S) 2.1.2 Bậc siêu việt (số chiều):... siêu việt (số chiều): Giả sử K là một mở rộng của trƣờng k, S  K Nếu S là một tập con độc lập đại số của K và nếu lực lƣợng của S là lớn nhất trong các lực lƣợng của các tập con đó thì ta sẽ gọi lực lƣợng đó là bậc siêu việt hay số chiều của mở rộng K trên k Ta cần phân biệt giữa các bậc siêu việt hữu hạn với các bậc siêu việt vô hạn Quan hệ giữa khái niệm bậc siêu việt và khái niệm độc lập đại số cũng... của miền nguyên R 1.3 Một số mở rộng trường 1.3.1 Mở rộng hữu hạn sinh Giả sử K là trƣờng con của trƣờng E và u1 , u2 , , un là các phần tử nào đó thuộc E Khi đó, trƣờng con bé nhất của E chứa K và chứa tập u1 , u2 , , un  đƣợc gọi là mở rộng hữu hạn sinh của K sinh bởi u1 , u2 , , un và kí hiệu bởi K  u1 , u2 , , un  1.3.2 Mở rộng đại số *Phần tử đại số và phần tử siêu việt: Giả sử A là vành con... lí *Định lí 2.1: Giả sử K là mở rộng của trƣờng k Hai cơ sở siêu việt tùy ý của K trên k có cùng lực lƣợng Nếu  là tập sinh của K trên k (tức là K  k () ) và S là một tập con của  , độc lập đại số trên k, thì tồn tại cơ sở siêu việt B của trƣờng K trên k, sao cho S  B   - 16 - Chứng minh: Ta chứng minh rằng nếu tồn tại một cơ sở siêu việt hữu hạn thì mọi cơ sở siêu việt tùy ý khác cũng phải hữu... các mở rộng đại số là một mở rộng đại số, nên K là mở rộng đại số trên k ( w1 , , wr 1 , xr  2 , , xm ) Lặp lại quá trình trên, nếu n  m thì sau khi thay tất cả các x bởi các w , ta phát hiện ra rằng K là mở rộng đại số trên k ( w1 , , wm ) Điều đó chứng tỏ rằng từ n  m suy ra đẳng thức n  m Ta có điều phải chứng minh  Từ định lí trên, ta rút ra một số nhận xét sau: (i) Hoặc bậc siêu việt. .. bằng lực lƣợng của một cơ sở siêu việt tùy ý, hoặc nó vô hạn và lúc đó mọi cơ sở siêu việt là vô hạn (ii) Mọi tập các phần tử độc lập đại số có thể bổ sung tới cơ sở siêu việt, chọn trong tập các phần tử sinh đã cho 2.3 Định lí Nơte về sự chuẩn hóa *Định lí 2.2: Giả sử k  x1 , , xn   k  x  là một vành nguyên hữu hạn sinh trên trƣờng k , trong đó k  x  có bậc siêu việt r Thế thì trong k  x ... riêng của định lí về sự mở rộng các đồng cấu đối với các vành hữu hạn sinh trên các trƣờng Vì vậy, trƣớc tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu về định lí mở rộng các đồng cấu 3.2.1 Định lí về sự mở rộng các đồng cấu *Định lí: Giả sử k là một trƣờng, k  x   k  x1 , , xn  là một vành hữu hạn sinh trên k , và  : k  L là phép nhúng chìm k vào một trƣờng đóng đại số Thế thì, tồn tại cái mở rộng của  tới đồng... một trƣờng và là mở rộng của trƣờng  k Nếu ta có thể chứng minh định lí cho trƣờng hợp vành hữu hạn sinh thực tế là một trƣờng, thì lúc đó ta sẽ xét cái thu hẹp của    1 trên  k và mở rộng nó tới đồng cấu từ  k  x1 , ,  xn  vào L , cái đó cho ta mở rộng phải tìm đối với  Vì vậy, không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng k  x  là một trƣờng Nếu nó là mở rộng đại số trên...  k  X  (trên k) trong k - 31 - n với các điểm Chương 5 MỘT SỐ MỞ RỘNG 5.1 Mở rộng tự do tuyến tính Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề quan hệ của các mở rộng K và L của trƣờng k đối với nhau Ta sẽ coi tất cả các trƣờng mà ta xét đƣợc chứa trong một trƣờng đóng đại số  5.1.1 Tự do tuyến tính *Định nghĩa 5.1: Mở rộng K đƣợc gọi là tự do tuyến tính với L trên k nếu mọi tập hữu hạn ... Giả sử E mở rộng tách đƣợc k K mở rộng tách đƣợc E Thế K mở rộng tách đƣợc k *Hệ 5.4.3: Nếu k trƣờng hoàn toàn, mở rộng k tách đƣợc *Hệ 5.4.4: Giả sử K mở rộng tách đƣợc k tự với mở rộng L trƣờng... lại, c đƣợc gọi phần tử siêu việt A - 11 - *Định nghĩa: Trƣờng mở rộng F trƣờng K đƣợc gọi mở rộng đại số phần tử đại số K *Định lí: Cho dãy mở rộng trƣờng: KEF Khi F mở rộng đại số K F đại số... phải tìm ngày nhiều hệ thống số nhƣ phƣơng pháp mở rộng trƣờng số biết Một mở rộng mở rộng siêu việt Tuy nhiên nay, nƣớc ta, tài liệu loại mở rộng chƣa nhiều Dƣới góc độ sinh viên Sƣ phạm chuyên