Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình... Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.. Từ đó, dùng phép hoán vị để tìm ra các nghiệm của phơng trình đã cho.. Thí dụ 1: Tìm nghiệm n
Trang 1ơng pháp1: Đa về dạng tích.
Thí dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên
x2- 656xy – 657y2=1983.(1)
Lời giải:
(1)<=>x2-657xy+xy-657y2=1983
<=>x(x-657y)+y(x-657y)=1983
<=>(x-657y)(x+y)=1983
Do 1983=1.1983=3.661=(-1).(-1983)=(-3).(-661)
Vì hiệu (x+y)-(x-657y)=658y chia hết cho 658 nên 1983 phải phân tích thành một tích hai thừa số có hiệu chia hết cho 685.Vậy ta có 4 hệ phơng trình:
=
−
=
+
3 657
661
y x
y
x
=
−
=
+
661 657
3
y x
y x
−=
−
−=
+
3 657
661
y x
y x
−=
−
−=
+
661 657
3
y x
y x
Giải ra ta đợc 4 cặp nghiệm là:(x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1)
Thí dụ 2: Tìm phơng trình nghiện nguyên:
y3-x3=91 (1)
Lời giải:
(1) <=>(y-x)(y2+yx+x2)=91(*)
Vì y2+yx+x2>0 với mọi x,y nên từ (*) suy ra y-x>0 Mặt khác,
91=1.91=7.13 và y-x; y2+yx+x2đều nguyên dơng nên ta có 4 khả năng xảy ra:
=
+
+
=
−
1 x
yx
y
91
2
2
x
y
= + +
=
−
91 x yx y
1
2 2
x y
= + +
=
−
7 x yx y
13
2 2
x y
= + +
=
−
13 x yx y
7
2 2
x y
Đến đây bài toán coi nh đã đợc giải quyết xong
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
2x3+xy=7(1)
Lời giải:
(1) x(2x2+y)=7
= +
=
7 2
1
2 y x
x
;
= +
=
1 2
7
2 y x
x
;
−=
+
−=
7 2
1
2 y x
x
;
−=
+
−=
1 2
7
2 y x x
Trang 2
=
=
5
1
y
x
;
−=
=
97
7
y
x
;
−=
−=
9
1
y
x
;
−=
−=
99
7
y
x
Vậy các mghiệm nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99)
Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
y2=x(x+1)(x+7)(x+8) (1)
Lời giải:
(1) y2=(x2+8x)(x2+8x+7) Đặt t=x2+8x, ta có: y2=t2+7t
4y2=4t2+28t+49-49 (2t+7)2-4y2=49 (2t+7-2y)(2t+7+2y)=49
Đến đây bài toán coi nh giải quyết xong
Bài tập áp dụng
1 x 2 -4xy=23.
2 x 2 -2xy-3y 2 =8.
3 x+y+xy=9.
Ph
ơng pháp 2: Sắp thứ tự các ẩn.
Nếu các ẩn x, y, z, … có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x≤y≤z…để tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện này Từ đó, dùng phép hoán vị để tìm ra các
nghiệm của phơng trình đã cho
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x+y+z= xyz (1)
Lời giải:
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình, trớc hết ta xét x≤y≤z Vì
x, y, z nguyên dơng nên xyz>0, do đó x≤y≤z suy ra xyz=x+y+z≤3z suy ra xy≤3 suy ra xyє{1;2;3}
Nếu xy=1 suy ra x=1;y=1, thay vào(1) ta có:2+z=z (Vô lí)
Nếu xy=2, do x≤y nên x=1; y=2 thay vào(1) ta đợc z=3
Nếu xy=3, do x≤y nên x=1; y=3 thay vào (1) ta đơc z=2
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là:
(x,y,z)=(1,2,3);(1,3,2);(2;1;3);(2;3;1);(3;2;1);(3;1;2)
Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
1+1 +1+1= 1
t z y
Lời giải:
Giả sử x≤y≤z≤t Thế thì số nhỏ nhất x≤4(Nếu không thì 1)
1 1 1 1
< + + +
t z y
x≥2 Vậy ta xét 3 trờng hợp x=2; x=3; x=4
Trang 3Nếu x=2 thì 1 +1+1=21
t z
y Ta lại thấy rằng y≤6 (Nếu không thì 1 +1 +1<12
t z
và y≥3
Bây giờ trong đẳng thức 1 +1+1=21
t z
y ta thay lần lợt y=3;4;5;6 xét tiếp z và
t theo cách đánh giá x và y ở trên
Ta lại xét hai trờng hợp x=3 và x=4 cuối cùng sẽ đợc 14 bộ bốn số
(x; y; z; t)=(2;3;7;42);(2;3;8;24);(2;3;9;18);(2;3;10;15);(2;3;12;12);
(2;4;5;20);(2;4;6;12);(2;4;8;8);(2;5;5;10);(2;6;6;6);(3;3;4;12);(3;3;6;6); (3;4;4;6);(4;4;4;4)
Bài tập t ơng tự:
1.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
2 1 1
1
= + +
z y
2 Cho các số tự nhiên a<b<c<d<e (a≠2) sao cho
1 1 1 1 1
e d c b
a
3 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
5
4 1 1
1
= + +
t z
Ph
ơng pháp 3: sử dụng tính chất chia hết.
Phơng pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm nguyên của phơng trình
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2- 2y2=5 (1)
Lời giải:
Từ phơng trình (1) ta suy ra x phải là số lẻ Thay x=2k+1(kєZ) vào (1), ta đ-ợc: 4k2+4k+1-2y2=5 2(k2+k-1)=y2 =>y2 chẵn => y chẵn
Đặt y= 2t (tєZ), ta có:
2(k2+k-1)=4t2 k(k+1)=2t2+1(2)
Nhận xét: k(k+1) là số chẵn, 2t2+1 là số lẻ => Phơng trình (2) vô nghiệm Vậy phơng trình (1) không có nghiệm nguyên
Thí dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn: x3+y3
+z3=x+y+z+2000 (1)
Lời giải:
Ta có: x3-x=(x-1)x(x+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp(với x là số
nguyên) Do đó: x3-x chia hết cho 3 Tơng tự y3-y và z3-z cũng chia hết cho 3 =>
x3+y3+z3-x-y-z chia hết cho 3
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
Trang 46x 2 +5y 2 =74 (1) (1) 6(x 2 -4) = 5(10-y 2 )
Vì (5,6)=1, nên phải có: x 2 -4 5; 10-y 2 6.
Đặt x 2 -4=5u; 10-y 2 =6v.
Nhận thấy 6.5u=5.6v => u=v.
x 2 =5u+4 ≥0 => u ≥-4/5
y 2 =10-6v ≥0 => v≤5/3
=> -4/5 ≤u=v≤5/3
Suy ra u=v=0 hoặc u=v=1.
+ u=v=0 => y 2 =10, không có y nguyên nào.
+ u=v=1 =>
=
= 4
9
2
2
y
x
Phơng trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là:
(x;y)=(3;4); (3;-4); (-3;4); (-3; -4)
Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
19x2+28y2=729.(1)
Lời giải:
(1) => (18x2+27y2)+(x2+y2)=729
=>x2+y2 3 => x3; y3 Đặt x=3u; y=3v (u,v∈Z ).Thay vào phơng trình
đã cho đợc: 19u2+28v2=81
Lập luận tơng tự, ta lại đợc u=3s; v=3t (s,t∈Z ), và lại có:
19s2+28t2=9
Dễ thấy rằng s, t không đồng thời bằng 0, do đó 19s2+28t2>19>9, hay
ph-ơng trình trên vô nghiệm Từ đó suy ra phph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên
Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a y=
1
3 2
−
+
x
x
;
b xy-x-2y=3;
c.2x2-2xy=5x+y-19
Lời giải:
a y=
1
5 2 1
3 2
− +
=
−
+
x x
x
Ta thấy y là số nguyên x-1 là ớc của 5
x-1= 1; 5 Ta có bảng.± ±
Trang 5Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(-4;1);(0;-3);(2;7);(6;3)
b xy+x-2y=3 y(x-2)=-x+3 y=
2
1 1 2
3
− +
−
=
−
+
−
x x
x
Ta thấy y là số nguyên x-2 là ớc của 1 x-2= 1 ± x=1 hoặc x=3 Từ
đó ta có nghiệm (x;y)=(1;-2);(3;0)
Chú ý có thể dùng phơng pháp 1 để giải quyết bài toán này, ta có thể đa về dạng: x(y+1)-2(y+1)=1 (y+1)(x-2)=1
c 2x2-2xy=5x+y-19 2x2-5x+19=y(2x+1)
y=
1 2
19 5
2 2
+
+
−
x
x
1 2
22
+
Để y nguyên thì 2x22+1 phải nguyên => 2x+1 phải là ớc của 22
2x+1= 1; 2; 11; 22 Ta có bảng sau:± ± ± ±
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:
(x;y)=(-6;-11);(-1;-26);(0;19);(5;4)
Bài tập áp dụng:
1 Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau:
a y=
3
6 3
2
+
− +
x
x x
; b y(x-1)=x2+2 ;
c 2x2-2xy=5x-y-19;
2 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
xy2+2xy-243y+x=0 HD: Ta có xy2+2xy-243y+x=0 x(y+1)2=243y(*) Từ (*) thấy rằng
(y+1,y)=1 => (y+1)2 là của 243
ĐS: (x,y)=(54,2); (24;8)
Ph
ơng pháp 4: sử dụng bất đẳng thức.
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này suy ra các giá trị nguyên của ẩn này
Thí dụ1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2-xy +y2=3.(1)
Lời giải:
Trang 6a (x- .
4
3 3 ) 2
2
4
3 3 0 ) 2
2
2 ≥ ⇒ − y ≥
y => -2≤y≤2
Lần lợt thay y= 1; 2; 0 vào ph± ± ơng trình để tính x ta có các nghiệm nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(-1;-2);(1;2);(-2;-1);(2;1);(-1;1);(1;-1)
Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x 2 -6xy+13y 2 =100 (1) Lời giải:
(1) (x2-6xy+9y2)=100-4y2 (x-3y)2=4(25-y2) (2)
Từ (2) => y2≤25 và 25-y2 là số chính phơng hoặc bằng 0
Vậy y2 ∈{0 ; 9 ; 16 ; 25} => y ∈{0 ; ± 3 ; ± 4 ; ± 5}
Từ đó ta có 12 nghiệm nguyên nh sau: (x;y)=(10;0); (-10;0); (17;3); (1;3);(-17;-3); (-1;-3); (6;4); (18;4); (-18;-4); (-6;-4); (15;5); (-15;-5)
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
+ + z =3.
xy y
xz x yz
Lời giải:
ĐK: x,y,z≠0 Ta có: y2z2+x2z2+x2y2=3xyz => xyz>0
áp dụng bất đẳng thức côsi với 3 số y2z2; x2z2; x2y2, ta có:
y2z2+x2z2+x2y2 ≥33 x4y4z4 => 3xyz ≥33 x4y4z4 => xyz≤1
xyz=1(do xyz>0)
Từ đó ta có các nghiệm nguyên:
(x;y;z)=(1;1;1); (1; -1; -1); (-1;1;-1); (-1;-1;1)
Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
1+x+x2+x3=y3
Từ phơng trình trên dễ thấy:
x3<y3<(x+2)3 => y3=(x+1)3
Vậy ta có: 1+x+x2+x3=(x+1)3 2x2+2x=0 x=0 hoặc x=-1
Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm nguyên
(x;y)=(0;1);(-1;0)
Bài tập áp dụng:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
1 y 2 =1+x+x 2 +x 3 +x 4
2 y 3 -x 3 =3x.
3 y 3 =x 3 +2x+1.
Ph
ơng pháp 5: Sử dụng một số nhận xét.
1.Nhận xét 1: A 2
1 +A 2
2 +…+A n 2 =0 A 1 =0 V A 2 =0 V…V A n =0.
Trang 7Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x 2 +2y 2 -2xy-2x+2=0(1)
Lời giải:
(1) 2x 2 +4y 2 -4xy-4x+4=0 (x 2 -4xy+4y 2 )+(x 2 -4x+4)=0
(x-2y) 2 +(x-2) 2 =0
=
−
=
−
0 2
0
2
x
y
x
=
=
1
2
y
x
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: (x;y)=(2;1).
Thí dụ 2: Phơng trình sau có nghiệm nguyên không? Nếu có hãy tìm các cặp nghiệm nguyên đó.
x 2 +y 2 +z 2 -2x-4y-6z+14=0.(2)
Lời giải
(2) (x2-2x+1)+(y2-4y+4)+(z2-6z+9)=0
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=0
=
−
=
−
=
− 0 3
0 2
0 1
z y
x
=
=
= 3 2 1
z y x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm nguyên, nghiệm nguyên đó là:
(x;y;z)=(1;2;3)
Bài tập áp dụng:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (nếu có)
a 2x2+y2+2z2+2xy+2xz+2yz-6x-2z=-10
b 4x2+10y2-12xy-4y+4=0
*chú ý: cũng có thể coi đây là các bài toán tìm ẩn số bình thờng có sử dụng nhận
xét trên
* Nhận xét 2: Từ hai định lí liên quan đên phơng trình bậc hai
Định lí 1: Phơng trình bậc hai
Ax2+bx+c=0(*) (aєZ*, b; cєZ)
Có nghiệm hữu tỉ khi và chỉ khi ∆ =b2-4ac là số chính phơng
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Nếu phơng trình (*) có các nghiệm x1;2=
a
b
2
∆
±
− là số hữu tỉ thì khi đó ∆ là số hu tỉ Đặt ∆= q p (Với p;qєN, q≠ 0 và (p,q)=1) Suy ra
q2 ∆=p2 => q2 ∆chia hết cho p2
Trang 8Mặt khác, (p,q)=1 => (p2,q2)=1 => ∆chia hết cho p2 => ∆ ≥p2 => q2 ≤1
=>q=1 =>∆=p2 là số chính phơng
+ Điều kiện đủ: Đảo lại, nếu b2-4ac = d2 là một số chính phơng thì phơng trình (*) có nghiệm x1;2=−b2a±d rõ ràng là số hữu tỉ
Định lí 2: Nếu x0= q p (p; q∈Z, q≠ 0 và (p,p)=1) là nghiệm hữu tỉ của phơng trình bậc hai ax2+bx+c=0(a∈Z* ,b;c∈Z)thì q là ớc của a và p là ớc của c
Chứng minh:
Thay x0= q p vào phơng trình(*) ta có a 2 0
2
= + + c q
p b q p
ap2+bpq+cq2=0 ap2=-q(bp+cq) =>ap2 chia hết cho q =>q là ớc của a (vì (p,q)=1)
Tơng tự cq2=-p(ap+bq) => p là ớc của c
*l
u ý: nghiệm nguyên là một trờng hợp đặc biệt của nghiệm hữu tỉ (Khi
a=1)
Thí dụ 1: cho a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh phơng trình bậc hai
ax2+ bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ
Lời giải:
Cách 1:
Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm hữu tỉ, theo định lí 1 thì
b2-4ac=m2 là một số chính phơng =>b2-m2=4ac
Vì b2 lẻ, 4ac chẵn nên m2 phải là số lẻ
Ta lại biết rằng bình phơng của một số lẻ khi chia cho 8 chỉ có số d là 1 nên
b2-m2 chia hết cho 8; ac lại là số lẻ nên 4ac không chia hết cho 8 Điều này mâu thuẫn với b2-m2=4ac
Vậy phơng trình ax2+bx+c với a, b, c là các số nguyên lẻ không thể có nghiệm hữu tỉ
Cách 2:
Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm hữu tỉ x0= q p ( p; q∈Z, q≠ 0 và
(p,p)=1), theo định lí 2 thì q là ớc của a và p là ớc của c
Vì a,c lẻ nên p, q cũng lẻ => ap2, bpq, cq2 lẻ => ap2+bpq+cq2 lẻ, khác 0
Điều này mâu thuẫn với giả thiết x0= q
p
nghiệm hữu tỉ của phơng trình đã cho Từ
đó suy ra điều cần phải chứng minh
*L u ý: kết quả trên còn đúng với đa thức bậc bất kì với các hệ số là số nguyên lẻ
Thí dụ 2: Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x2-(3+2a)x+40-a=0
Trang 9Lời giải
Theo định lí 1, trớc hết để phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì phải có ∆=m2
là một số chính phơng
(3+2a)2-4(40-a)=m2
4a2+16a-151=m2
(2a+4)2-m2=167 (2a+4+m)(2a+4-m)=167
{2a+ 4 −m; 2a+ 4 +m} {= 1 ; 167} hoặc {− 1 ; − 167} (Vì 167 là số nguyên tố) Suy ra a=40 hoặc a=-44 Thử lại, ta thấy chúng đều thoả mãn điều kiện đề bài
Vậy các số a cần tìm là: 40; -44
Thí dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta đều có n2-n+2 không chia hết cho 49
Lời giải:
Giả sử n2-n+2=49k (k∈N), nghĩa là phơng trình n2-n+2-49k=0 với ẩn n phải có nghiệm nguyên
∆n phải là số chính phơng
1-4(2-49k)=t2 (t∈Z) 196k-7=t2 7(28k-1)=t2
=> 28k-1 phải chia hết cho 7, điều này vô lí
Vậy n2-n+2≠ 49k, điều cần phải chứng minh
*Tuy nhiên cũng có những bài toán không cần sử dụng hai định lí trên
Thí dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
2x2-2mx+m2-1=0
Lời giải:
Ta thấy x=t là nghiệm của phơng trình tồn tại m sao cho:
2t2-2mt+m2-1=0 phơng trình m2-2tm+2t2-1=0 có nghiệm đối với ẩn m
m
/
∆ ≥0 t2-2t2+1≥0 -t2+1≥0 -1≤t≤ 1, do đó t∈Zt∈{− 1 ; 0 ; 1}
Ta có: + t=0 m=± 1
+ t=-1 m2+2m+1=0 (m+1)2=0 m=-1 + t=1 m2-2m+1 =0 (m-1)2=0 m=1
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi m=± 1
Bài tập áp dụng:
1 Cho a, b là các số nguyên Chứng minh rằng phơng trình sau không
có nghiệm hữu tỉ: x 2 +3ax-3(b 2 +1)=0.
2 Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x 2 …(a+5)x+5a+2=0.
3 Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x 2 +ax+198=a.
4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n 2 +5n+16 không chia hết cho 169.
Trang 10Chắc chắn còn nhiều phơng pháp để giải các phơng trình nghiệm nguyên cũng nh còn nhiều ví dụ hay và hấp dẫn khác Mong các bạn tìm hiểu thêm và cùng trao đổi về vấn đề này nhiều hơn nữa