19 phương pháp chứng minh BĐT

1 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B            2/Tính chất + A>B AB   + A>B và B >C CA   + A>B  A+C >B + C + A>B và C > D  A+C > B + D + A>B và C > 0  A.C > B.C + A>B và C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n  + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n +A < B và A.B > 0  B A 11  3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A n  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0A với A  (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B    ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + BABA  ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) 2 PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1   0)()()( 222  zyzxyx đúng với mọi x;y;z R  Vì (x-y) 2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz – 2yz = ( x – y + z) 2 0  đúng với mọi x;y;z R  Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R  Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 - 2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22          baba ; b) 2 222 33          cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22          baba =   4 2 4 2 2222 bababa    =   abbaba 222 4 1 2222  =   0 4 1 2 ba Vậy 2 22 22          baba . Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 3 2 222 33          cbacba =         0 9 1 222  accbba .Vậy 2 222 33          cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát 2 21 22 2 2 1          n aaa n aaa nn Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 01 4444 2 2 2 2 2 2 2                                      m m qmq m pmp m nmn m 01 2222 2222                              m q m p m n m (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi                01 2 0 2 0 2 0 2 m q m p m n m               2 2 2 2 m m q m p m n       1 2 qpn m Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : )( 444 cbaabccba  Giải: Ta có : )( 444 cbaabccba  , 0,,   cba                         0 0)2( )2()2( 0222 222 0222222 0 222 2 22 2 22 2 22 22222 2222222222 2 22 2 22 2 22 222 22 2 2222 2 2222 2 22 222444 222444        acabacbcbcabaccbba abaacba abcaccbacbcbbaaccbba abcacbbca caaccbcbbaba abcacbbcacba abcacbbcacba Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: 4 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . Chú ý các hằng đẳng thức sau:   22 2 2 BABABA    BCACABCBACBA 222 222 2    3223 3 33 BABBAABA  Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a  4 2 2 b) baabba  1 22 c)   edcbaedcba  22222 Giải: a) ab b a  4 2 2 abba 44 22  044 22  baa   02 2  ba (BĐT này luôn đúng). Vậy ab b a  4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba  1 22  )(21(2 22 baabba  012122 2222  bbaababa 0)1()1()( 222  baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba  1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c)   edcbaedcba  22222      edcbaedcba  44 22222          044444444 22222222  cacadadacacababa          02222 2222  cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng:         4488221010 babababa  Giải:         4488221010 babababa   128448121210221012 bbabaabbabaa       0 22822228  abbababa  a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 )  0  a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 )  0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y Chứng minh yx yx   22  22 Giải: yx yx   22  22 vì :x  y nên x- y  0  x 2 +y 2  22 ( x-y)  x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y  0  x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2  0  x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy  0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 5  (x-y- 2 ) 2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 01269 222  yxyyyx Ryx   , b/ cbacba  222 (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:        zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( zyx 111  )=x+y+z - ( 0) 111  zyx (vì zyx 111  < x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 21        c a c c b b b a a Giải: Ta có : )1( 11 c b a a b a a c b a b a cbaba         Tương tự ta có : )2( c b a b c b b    , )3( c b a c c a c    Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : 1      c a c c b b b a a (*) Ta có : )4( c b a ca b a a baa      Tương tự : )5( c b a ba c b b     , )6( c b a bc a c c     Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : 2      c a c c b b b a a (**) Từ (*) và (**) , ta được : 21        c a c c b b b a a (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) xyyx 2 22  b) xyyx  22 dấu( = ) khi x = y = 0 6 c)   xyyx 4 2  d) 2 a b b a Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:   xyyx 4 2  Tacó   abba 4 2  ;   bccb 4 2  ;   acac 4 2     2 ba    2 cb    2 ac     2 222 864 abccba   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : 0,  ba , ta có: abba 2 . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : n n n n nn n aaa aaa aaanaaa          21 21 2121 Dấu “=” xảy ra khi n aaa  21 Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 3 4 2 2 1 2 4 1 4 2       xx x x x x x Giải : Nếu đặt t =2 x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 0,, 4 2         ba b a x x Khi đó phương trình có dạng : 2 31 1 1       b a a b b a Vế trái của phương trình:         1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 1 a b a b a b a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b                                                                                                         2 3 3 11 3 .113 2 1 3 3    baba baba Vậy phương trình tương đương với : 0142111  xbababa xx . Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = 111      z z y y x x 7 Giải : P = 3- ( 1 1 1 1 1 1      zyx ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì   3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 3 3 9a b c abc a b c a b c abc a b c a b c a b c                          Suy ra Q = 1 1 1 1 1 1      zyx 4 9   -Q 4 9  nên P = 3 – Q  3- 4 9 = 4 3 Vậy max P = 4 3 .khi x = y = z = 3 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: abc cba ab c ac b bc a 2 111 222         Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :          acab bca bca bcabca 11 2 112 2 2 2 Tương tự : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 b ac bc ab c ab ac bc b ac c ab a b c a bc b ac c ab abc                                   Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3      c b a c b a c b a c b a (*) Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : )1( ))()(( 3 3 cbabacacb abc cba c bac b acb a        Cũng theo bất đẳng thức Côsi : )2()( 2 1 ))(( cbacacbbacacb  Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được )3(1 ))()(( ) )( )( (           cbabacacb abc abc c b a b a c a c b Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: Cho      zyx cba ,,0 0 . Chứng minh rằng:       2 2 4 zyx ac ca c z b y a x czby           8 Giải: Đặt 0)()( 2  acxcaxxf có 2 nghiệm a,c Mà: 0)(0)( 2  acbcabbfcba          zyxca c z b y a x aczcybxa zcaycaxca c z aczc b y acyb a x acxa yca b y acybca b ac b                  )()()( Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:                  )( 4 4 2 2 2 22 đpcmzyx ac ca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa                           Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( 2  n ): nn bbbaaa , ,,,, , 2121 . Ta luôn có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  Dấu “=” xảy ra khi n n b a b a b a  2 2 1 1 Hay n n a b a b a b  2 2 1 1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh: Đặt        22 2 2 1 22 2 2 1 n n bbbb aaaa  Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.  Nếu a,b > 0: Đặt:   ni b b a a i i i i , 2,1,   , Thế thì: 22 2 2 1 22 2 2 1 nn   Mặt khác:   22 2 1 iiii   Suy ra: babababa nn nnnn 1) ( 2 1 ) ( 2 1 2211 22 2 2 1 22 2 2 12211    Lại có: nnnn babababababa  22112211 Suy ra: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  9 Dấu”=” xảy ra   n n nn ii b a b a b a dáucùng ni       , ,2,1 2 2 1 1 11   Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: Rx   , ta có: 8 1 cossin 88  xx Giải: Ta có: Rxxx  ,1cossin 22 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:         2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 1 1 sin cos sin cos 2 4 x x x x x x x x            Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:        2 4 4 8 8 2 2 4 4 1 1 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 sin cos 4 4 8 x x x x x x           Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: ACCBBAP tan.tan1tan.tan1tan.tan1  Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: ), ,2,1)(, ,,( micba iii  Thế thì: ) )( )( () ( 222111 2 212121 m m m m m m mmmmmm mmm cbacbacbacccbbbaaa  Dấu”=” xảy ra   bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  i t sao cho: iiiiii ctcbtbata  , ,, , Hay nnn cbacbacba ::: ::: :: 222111  Ví dụ 1: Cho      2, 3 22 2 2 1 nZn aaa n Chứng minh rằng: 2 1 32 21    n a aa n Giải: * Nk  ta có:                  2 1 2 1 1 4 1 11 2 2 kk k k 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 1 1 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k n n n n                                                 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: 10 2 3 2 3 1 3 1 2 1 1 32 222 22 2 2 1 21    n aaa n a aa n n (đpcm) Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: 222222 )()( dcbadbca  Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  2222 . dcba  mà       2222 22 2 dcbdacbadbca    22222222 .2 dcdcbaba   222222 )()( dcbadbca  Ví dụ 3: Chứng minh rằng : acbcabcba  222 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có     2 222222 .1.1.1)(111 cbacba   3     acbcabcbacba  2 222222  acbcabcba  222 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a)Nếu      n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn    . 22112121 . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi      n n bbb aaa 21 21 b)Nếu      n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn    . 22112121 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi      n n bbb aaa 21 21 Ví dụ 1: Cho  ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và . 3 2 sin sin sin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin S C B A CCBBaA     S là diện tích tan giác. chứng minh rằng  ABC là tam giác đều. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư . 2 0   CBA Suy ra:      CBa CBA 2sin2sin2sin sinsinsin Áp dụng BĐT trebusep ta được: [...]... 20 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 Ví dụ1: Chứng minh rằng : 1 1 1 1  2   2  2  2 1 2 n n n  N ; n  1 (1) 1 4 Giải: Với n =2 ta có 1   2  1 2 (đúng) Vậy BĐT (1) đúng...  , x  R + Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q” Muốn chứng minh p  q (với...  12 k k 11 1 2 2   k (k  2)  (k  1) 2  k +2k 0 Chứng minh rằng    2  2  Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật vậy với n = k+1 ta có a b (1)      2  k 1  a k 1  b k 1 2 k a k 1  b k 1 ab... dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2  b 2  c 2  d 2  199 8 thì ac+bd  =199 8 Giải: Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2 abcd  a 2 d 2  b 2 c 2 - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 199 82 rõ ràng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  199 8 2  ac  bd  199 8 Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2 c hứng minh. .. thì Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u 2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1 Khi đó :S = a1  a2   a2  a3    an  an1   a1  an 1 (*) Phương pháp. ..  a  b  17   Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a 2  b 2  c 2  2abc  2 Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh rằng : c(a  c)  c(b  c)  ab , a  b  0 và b  c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn... dụ2: Chứng minh rằng: f x, y   x 2 y 4  2x 2  2 y 2  4 xy  x 2  4 xy 3 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   1  y  2 x 2 y 4  2 x 2  2 y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 x 2  4 y 1  y  x  4 y 2  0 2  4 y 2  y 2  1  16 y 2  0 Ta có   4 y 2 2 Vì a = y 2  1  0 vậy f x, y   0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh. ..  1  na Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi  Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b  b a  1, a, b  0 Giải - Nếu a  1 hay b  1 thì BĐT luôn đúng - Nếu 0 < a,b < 1 Áp dụng BĐT Bernouli: b b b 1  a  a  b a  1   1 a    ab     1    1 a  a a ab a  b Chứng minh tương tự: b a  Suy ra a b  b a  1 ab Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng 5 a5  b5  c5  a  b  c    3 3  ... a 2 , a n  0; r  1 Chứng minh rằng r r r a1r  a 2   a n  a1  a 2   a n      n n   Dấu ‘=’  a1  a 2   a n (chứng minh tương tự bài trên) Ví dụ 3: Cho 0  x, y, z  1 Chứng minh rằng 2 x    2 y  2 z 2x  2 y  2z  81 8 Giải Đặt a  2 x , b  2 y , c  2 z 1  a, b, c  2 1  a  2  a  1a  2   0  a 2  3a  2  0  a  2  3 (1) a Chứng minh tương tự: 2 3...  c  xn   nc a  cb 4c a b  2 Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc 13 Giải: a  c  d b  c  d Tacó   a  c  d  0   b  d  c  0 (a-c)(b-d) > cd  ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc (điều phải chứng minh) 5 2 2 2 thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 3 Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 1 1 1 1  . giải): a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 9 111  c b a b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z )1)(1)(1(4 zyx     c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 2 3       b a c a c b c b a . a 2 (c 2 +d 2 )+b 2 (c 2 +d 2 ) =(c 2 +d 2 ).( a 2 + b 2 ) = 199 8 2 rõ ràng (ac+bd) 2      2 22 199 8 bcadbdac  199 8 bdac Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a 1 ;. đẳng thức ta có : accbbacba 222333 3222  Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu 199 8 2222  dcba thì ac+bd  =199 8 Giải: Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2222 2 daabcdd  22 cb - abcd2 =