Các Phương Pháp Chứng Minh BĐT

Các Phương Pháp Chứng Minh BĐTCác Phương Pháp Chứng Minh BĐTCác Phương Pháp Chứng Minh BĐTCác Phương Pháp Chứng Minh BĐTCác Phương Pháp Chứng Minh BĐTCác Phương Pháp Chứng Minh BĐT

Các phương pháp chứng minh BĐT 1 (phần 1) Các phương pháp chứng minh BĐT 2 Chương I Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó để chứng minh BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng: • Dạng 1: 2 a b ab + ≥ với a,b là các số không âm • Dạng 2: 2 2 2 a b ab + ≥ với mọi a,b Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là: • Hệ quả 1: 2 2 2 2( ) ( ) 4 a b a b ab + ≥ + ≥ với mọi a,b • Hệ quả 2: 1 1 4 a b a b + ≥ + với a,b dương • Hệ quả 3: 2 a b b a + ≥ với a,b dương I.Các bài toán cơ bản Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 1) 4 2) 8 3) 2 2 2 8 a b a b b c c a abc a b a b c b c a c a b a b b c c a   + + ≥ + + + ≥     + + + + + + ≥ + + + Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 a b c a b c ab bc ca + + ≥ + + ≥ + + Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 4 4 6 6 6 1) 2) 4 8 3) 32 a b a b a b a b a b a b + + + ≥ + ≥ + + ≥ Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh: 1 1 1 2 2 2 1) 2) 4 a b c a b b c c a b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + + +   + + ≥ + +   + + +   Các phương pháp chứng minh BĐT 3 Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh: ( ) 1 1 1 1) 9 2) 1 1 1 3) bc ca ab a b c a b c a b c a b c a b c bc ca ab a b c   + + + + ≥ + + ≥ + +     + + ≥ + + Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 1) 2) 4( ) 3) 2 2( ) a b a b a b a b a b b a b a a b a b b a + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + II.Các bài toán nâng cao Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 25 1 1 25 1) 2) 2 2 1 1 25 1 1 25 3) 4) 4 4 a b a b a b b a a b a b a b b a         + + + ≥ + + + ≥                       + + ≥ + + ≥             Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh; 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 1 1 1 2) 3 ( 1) 2 a b c a b c b c c a a b abc a b c a b c b c c a a b abc + + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + = + + + Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 2) 3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 1 1 3) 2 2 2 4 4 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b b c c a a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≤ + + + + + + + + ≤ + + + + + + + ≤ + + + + + + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 4 Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có: 3 3 1) 2 3 2) 2 a b c a b c m m ma b c m m m a b c + + ≥ + + ≥ Với , , a b c m m m là trung tuyến của các cạnh tam giác. Chương II Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để chứng minh Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT Cauchy bốn số và n số. I.Các bài toán cơ bản Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1) 9 2) 16 a b c a b c d a b c a b c d     + + + + ≥ + + + + + + ≥         Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( ) 3 1) 2 2) 2 2 2 64 1 1 1 3) 1 1 1 64 ( 1) a b c b c a c a b a b c b c a c a b abc a b c a b c + + ≥ + + + + + + + + + ≥     + + + ≥ + + =         Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1) 3 2) a b c a b b c c a abc a b c a bc b ca c ab + + ≥ + + ≥ + + ≥ + + Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: Các phương pháp chứng minh BĐT 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1) 2) 3) a b c a b c ab bc ca a b c b c a b c a a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1) 2) a b c a b c b c a a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 2 3 1) 2) a b c a b c b c a abc a b c ab bc ca b c a abc + + + + ≥ + + + + ≥ Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứ ng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a   + + ≥     II.Các bài toán nâng cao Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 2 3 1) d 2) d a b c a b c b c abc a b c ab bc ca b c abc + + + + ≥ + + + + ≥ Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a   + + ≥     Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh: 6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2 a b c d a b c b c d c d a d a b + + + ≥ + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 6 Chương III Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép: Cho một số nguyên dương 2 n ≥ và hai dãy số thực 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b thỏa mãn điều kiện: 1 2 n a a a ≥ ≥ ≥ và 1 2 n b b b ≥ ≥ ≥ . Khi đó ta có: ( )( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 n n n n a b a b a b a a a b b b n + + + ≥ + + + + + + Hay ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≥ + + + + + + Bài tập: Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a b a + + ≥ + + + ( BĐT Nesbit) Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 3( ) 2) 2 a b c a b c b c c a b a a b c a b c b c c a b a + + + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 1 a b c + + = Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 a b b c c a P b c c a a b + + + = + + + + + Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 a b c a b c abc    + + + + ≥    + + + +    Các phương pháp chứng minh BĐT 7 Chương IV Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh BĐT Để chứng minh bất đẳng thức A B ≥ , hay 0 A B − ≥ , ta tìm cách biến đổi biểu thức A B − thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu thức bình phương. I.Các bài toán cơ bản Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1) 2) 3 3) 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c a b c + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 2 2 2 1) 2) 3 bc ca ab a b c a b c bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1) 8a 2) 9a a b b c c a bc a b c ab ba ca bc + + + ≥ + + + + ≥ Bài 4.4: Chứng minh 3 3 3 3a a b c bc + + ≥ với 0 a b c + + ≥ Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 6 1 1 1 9 2) a b b c c a c a b a b c a b c + + + + + ≥ + + ≥ + + Các phương pháp chứng minh BĐT 8 II.Các bài toán nâng cao Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho , , a b c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b c a b c b c a b a c c a c c b a + − − + + + − + − + + − + − ≥ Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a b c ≥ ≥ . Chứng minh: 3 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 a b c abc − − − ≤ − Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác