1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương

21 561 6

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 21
Dung lượng 438,72 KB

Nội dung

Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương

PH ƯƠ NG TRÌNH M Ặ T PH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véct ơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; ; u a a a v b b b = =   là m ộ t c ặ p véc t ơ ch ỉ ph ươ ng (VTCP) c ủ a m ặ t ph ẳ ng ( α ) ⇔ , 0 u v ≠    ; không cùng ph ươ ng và các giá c ủ a chúng song song ho ặ c n ằ m trên m ặ t ph ẳ ng ( α ) 2. Véct ơ ( ) ; ; n a b c = là véc t ơ pháp tuy ế n (VTPT) c ủ a m ặ t ph ẳ ng ( α ) ⇔ ( α ) ⊥ giá c ủ a n  3. Nh ậ n xét : M ặ t ph ẳ ng ( α ) có vô s ố c ặ p véct ơ ch ỉ ph ươ ng và vô s ố véct ơ pháp tuy ế n đồ ng th ờ i [ ] // , n u v    . N ế u ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =     là m ộ t c ặ p VTCP c ủ a mp( α ) thì VTPT là: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =        II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 2. Ph ươ ng trình t ổ ng quát: 2.1. Ph ươ ng trình chính t ắ c: 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i 2 2 2 0 A B C + + > . N ế u D = 0 thì 0 Ax By Cz + + = ⇔ ( α ) đ i qua g ố c t ọ a độ . N ế u A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0 By Cz D + + = s ẽ song song ho ặ c ch ứ a v ớ i tr ụ c x ’O x . N ếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0Ax Cz D+ + = sẽ song song ho ặc ch ứa vớ i trục y ’O y . N ế u A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì ( α ): 0Ax By D + + = sẽ song song hoặ c ch ứa vớ i trụ c z ’O z . www. laisac. pag e. tl  Đ Đ Đ Ư Ư Ư Ờ Ờ Ờ N N N G G G T T T H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G V V V À À À M M M Ặ Ặ Ặ T T T P P P H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G T T T R R R O O O N N N G G G K K K H H H Ô Ô Ô N N N G G G G G G I I I A A A N N N O O O X X X Y Y Y Z Z Z T S.T rần  P h ươ ng 2.2. Ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) v ớ i c ặ p VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b  =   =     hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b   = =        là: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 2 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = 2.3. Ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua 3 đ i ể m ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ; , , ; , , A x y z B x y z C x y z không th ẳ ng hàng có VTPT là: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 , , , y y z z z z x x x x y y n AB AC y y z z z z x x x x y y − − − − − −     = =     − − − − − −      nên ph ươ ng trình là: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 y y z z z z x x x x y y x x y y z z y y z z z z x x x x y y − − − − − − − + − + − = − − − − − − Đặ c bi ệ t: Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua ( ) ( ) ( ) ; 0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c là: ( ) 1 0 y x z abc a b c + + = ≠ 3. Ph ươ ng trình chùm m ặ t ph ẳ ng: Cho 2 m ặ t ph ẳ ng c ắ t nhau ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : 0; : 0 a x b y c z d a x b y c z d α + + + = α + + + = v ớ i ( ) ( ) ( ) 1 2 ∆ = α α ∩ . M ặ t ph ẳ ng ( α ) ch ứ a ( ∆ ) là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 p a x b y c z d q a x b y c z d + + + + + + + = v ớ i 2 2 0 p q + > III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG Cho 2 m ặ t ph ẳ ng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 1 1 1 1 , , n A B C =  và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 2 2 2 2 , , n A B C =  . N ế u 1 2 , n n   không cùng ph ươ ng thì ( α 1 ) c ắ t ( α 2 ). Nếu 1 2 ,n n   cùng phương và ( α 1 ), ( α 2 ) không có điểm chung thì ( α 1 ) // ( α 2 ) N ế u 1 2 , n n   cùng ph ươ ng và ( α 1 ), ( α 2 ) có đ i ể m chung thì ( α 1 ) ≡ ( α 2 ) IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) th ỏ a mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +     với 1 2 ,n n   là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Kho ả ng cách t ừ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đế n m ặ t ph ẳ ng ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + 2. Kho ả ng cách gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng song song: ( ) ( ) ( ) ; ; d d M M α β = β ∀ ∈ α ( ) ( ) ( ) ; ;d d M M α β = α ∀ ∈ β VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. L ậ p ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua A(2; 1; − 1) và vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng xác đị nh b ở i 2 đ i ể m B( − 1; 0; − 4), C(0; − 2; − 1).  Mp( α ) đ i qua A nh ậ n ( ) 1; 2;3 BC = −  làm VTPT nên ph ươ ng trình mp( α ) là: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 1 0 x y z − − − + + = ⇔ 2 3 3 0 x y z − + + = Bài 2. L ậ p ph ương trình tham s ố và ph ươ ng trình tổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua ( ) 2; 1;4 A − , ( ) 3; 2; 1 B − và vuông góc v ớ i ( ) : 2 3 0 x y z β + + − = HD: ( ) 1;3; 5 AB = −  , ( ) 1;1;2 n β =  . Do mp( α ) đ i qua A, B và ( ) ( ) α ⊥ β nên ( α ) nh ậ n , b AB n   làm c ặ p VTCP. Suy ra VTPT c ủ a ( α ) là: ( ) 3 5 5 1 1 3 ; ; 11; 7; 2 1 2 2 1 1 1 n − −   = = − −      . M ặ t khác ( α ) đ i qua ( ) 2; 1;4 A − nên ph ươ ng trình mp( α ): ( ) ( ) ( ) 11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0 x y z x y z − − + − − = ⇔ − − − = . Bài 3. L ậ p ph ươ ng trình mp( α ) đ i qua A(1; 0; 5) và // mp( γ ): 2 17 0 x y z − + − = . L ậ p ph ươ ng trình mp( β ) đ i qua 3 đ i ể m B(1; − 2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nhọ n ϕ tạ o bở i 2 mp( α ) và ( β ). HD: mp( α ) // ( γ ): 2 17 0 x y z − + − = có ( ) 2; 1;1 n = −  ⇒ ( α ): 2 0 x y z c − + + = ( α ) đ i qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7 c c ⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT ( α ): 2 7 0 x y z − + − =  mp( β ) nh ậ n 2 véc t ơ ( ) ( ) 0; 2; 1 , 1;3; 1 BC BD = − = − −   làm c ặ p VTCP nên có VTPT là: ( ) 2 1 1 0 0 2 ; ; 1;1; 2 3 1 1 1 1 3 n β − −   = =   − − − −    . V ậ y ph ươ ng trình mp( β ): ( ) 1 2 0 2 1 0 x y z x y z + − + = ⇔ + + − =  ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 cos cos , 60 6 2 3 2 1 1 1 1 2 n n β ⋅ − ⋅ + ⋅ π ϕ = = = = ⇒ ϕ = = ° + + + +   Bài 4. Vi ế t PT m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng th ẳ ng ( ∆ ): 2 0 3 2 3 0 x z x y z − =    − + − =   và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P): 2 5 0 x y z − + + = HD: Ph ươ ng trình chùm m ặ t ph ẳ ng ch ứ a ( ∆ ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 0 , ; 0 m x z n x y z m n m n − + − + − = ∈ + > » ⇔ ( ) ( ) 3 2 2 3 0 m n x ny n m z n + − + − − = ⇒ mp( α ) ch ứ a ( ∆ ) có VTPT ( ) 3 ; 2 ; 2 u m n n n m = + − −  M ặ t ph ẳ ng (P) có VPPT ( ) 1; 2;1 v = −  nên để ( α ) ⊥ (P) thì 0 u v ⋅ =   ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 2 0 m n n n m ⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0 n m ⇔ − = . Cho 1 n = suy ra 8 m = , khi đ ó ph ươ ng trình mp( α ) là: 11 2 15 3 0 x y z − − − = Bài 5. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a O z và l ậ p v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( α ): 2 5 0 x y z + − = m ộ t góc 60 ° . HD: M ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a O z ⇒ (P) có d ạ ng: 0 mx ny + = ( 2 2 0 m n + > ) ⇒ VTPT ( ) ; ; 0 u m n =  . M ặ t ph ẳ ng ( α ) có VTPT ( ) 2;1; 5 v = −  suy ra ( ) 2 2 2 2 2. 1. 0. 5 1 cos , cos 60 2 2 1 5 m n u v m n + − = ° ⇔ = + + +   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 m n m n ⇔ + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 10 2 3 8 3 0 m mn n m n m mn n ⇔ + + = + ⇔ + − = Cho 1 n = ⇒ 2 1 3 8 3 0 3 3 m m m m + − = ⇔ = − ∨ = . V ậ y ( ) : 3 0 P x y − = ho ặ c ( ) : 3 0 P x y + = Bài 6. Vi ế t ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t ạ o v ớ i (O xy ) m ộ t góc 60 ° . HD: ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = qua M, N suy ra: 0;3 0 C D A D + = + = ⇒ 3 ; 3 C A D A = = − . M ặ t ph ẳ ng (O xy ) có VTPT là ( ) 0;0;1 suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 cos 60 36 10 2 10 C A A A B A B C A B = ° ⇔ = ⇔ = + + + + 2 2 26 26 A B B A ⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 0 A B C + + ≠ ⇒ 0 A ≠ . Cho 1 A = suy ra mp( α ): 26 3 3 0 x y z − + − = ho ặ c 26 3 3 0 x y z + + − = Bài 7. Cho A( a ; 0; a ), B(0; b ; 0), C(0; 0; c ) v ớ i a , b , c là 3 s ố d ươ ng thay đổ i luôn luôn th ỏ a mãn 2 2 2 3 a b c + + = . Xác đị nh a , b , c sao cho kho ả ng cách t ừ O đế n m ặ t ph ẳ ng (ABC) đạ t Max. HD:  (ABC): 1 0 y x z a b c + + − = . Suy ra ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ; d O ABC a b c = + + ⇒ 2 2 2 2 1 1 1 1 d a b c = + + ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 3 3 3 a b c a b c   = + + + + ≥ ⋅ =     2 1 1 3 3 d d ⇒ ≤ ⇒ ≤ . V ớ i 1 a b c = = = thì 1 Max 3 d = Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( ) ( ) : 2 1 1 0 m P x y z m x y z+ + + + + + + = . Chứng minh rằng: (P m ) luôn đi qua (d) cố định ∀ m Tính kho ảng cách t ừ O đến (d). Tìm m để (P m ) ⊥ ( ) 0 : 2 1 0P x y z + + + = HD:  V ớ i m ọ i m , (P m ) luôn đ i qua đườ ng th ẳ ng c ố đị nh (d): 2 1 0 1 0 x y z x y z + + + =    + + + =    M ặ t ph ẳ ng 2 1 0 x y z + + + = có VTPT: ( ) 2;1;1 u =  và 1 0 x y z + + + = có VTPT ( ) 1;1;1 v =  suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ) ; 0; 1;1 a u v = = −    . M ặ t khác (d) đ i qua ( ) 0;0; 1 M − ⇒ ( ) ( ) [ ] 2 2 1 0 0 1 , 2 0 1 1 OM a d O d a ⋅ + + = = = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) : 2 1 1 1 0 m P m x m y m z m + + + + + + + = có VTPT ( ) 1 2; 1; 1 n m m m = + + +  ; Tr ườ ng h ợ p đặ c bi ệ t m ặ t ph ẳ ng ( ) 0 P có VTPT ( ) 2 2;1;1 n =  . Để (P m ) ⊥ (P 0 ) thì ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0 2 n n m m m m m − ⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =   Bài 9. Cho 3 đ i ể m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; − 1). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là m ộ t hình ch ữ nh ậ t. Cho S(9; 0; 0). Tính th ể tích chóp S.OABC. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a AB và đ i qua trung đ i ể m OS. HD:  ( ) ( ) 2; 2; 1 , 2;1; 3 AB AC = − = −   ⇒ VTPT ( ) , 5; 4; 2 n AB AC   = = − −      Do (ABC) đ i qua A(0; 1; 2) nên ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (ABC) là: ( ) ( ) ( ) 5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0 x y z x y z − − + − − − = ⇔ − + =  O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0 − + = nên O ∈ (ABC). Ta có: ( ) 0;1;2 OA =  , ( ) 2; 2; 1 OC = −  OC AB ⇒ =   0.2 1.2 2.1 0 OA OC ⋅ = + − =   suy ra OABC là hình ch ữ nh ậ t.  G ọ i H là hình chi ề u c ủ a S lên (OABC) suy ra 1 1 2 2. 3 3 OABC ABC SABC V S SH S SH V = ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 , 6 AB AC AS   = ⋅ ⋅      Ta có: ( ) 9; 1; 2 AS = − −  và ( ) , 5; 4; 2 AB AC   = − −     ⇒ ( ) ( ) 1 1 9 5 1 4 2 2 45 15 3 3 V = − − ⋅ − − = − =  Trung đ i ể m c ủ a OS là ( ) 9 ;0;0 2 M ⇒ ( ) 9 ; 1; 2 2 AM = − −  ⇒ M ặt phẳng chứ a AB và đi qua M có VTPT là: [ ] ( ) 1 . 5; ; 11 2 n AB AM= = − − −    ⇒ Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng: 10 22 45 0 x y z + + − = . Bài 10. Lập phươ ng trình của mặt ph ẳng ( ) α thuộc chùm tạ o bởi hai mặt ph ẳng ( ) ( ) : 3 7 36 0; :2 15 0 P x y z Q x y z− + + = + − − = n ếu bi ết khoả ng cách từ g ố c t ọ a độ O đế n α b ằ ng 3. Gi ả i M ặ t ph ẳ ng ( ) α thu ộ c chùm t ạ o b ở i (P) và (Q) nên có ph ươ ng trình d ạ ng: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 7 36 2 15 0 0 m x y z n x y z m n − + + + + − − = + > ( ) ( ) ( ) 2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 36 15 , 3 3 2 3 7 m n d O m n n m m n − α = ⇔ = + + − + − 2 2 2 2 12 5 59 16 6 19 104 85 0 m n m mn n n mn m ⇔ − = − + ⇔ − + = ( ) ( ) 19 85 0 19 85 n m n m n m n m ⇔ − − = ⇔ = ∨ = + Cho n = m = 1 thì nhận được ( ) 1 : 3 2 6 21 0x y zα − + + = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( ) 2 : 189 28 48 591 0 x y z α + + − = . Bài 11. L ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α đ i qua 2 đ i ể m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) và kho ả ng cách t ừ đ i ể m ( ) 1 0; 0; 2 M đế n m ặ t ph ẳ ng ( ) α b ằ ng 6 3 . Gi ả i G ọ i ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α là: ( ) 2 2 2 0 0 Ax By Cz D A B C + + + = + + > Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 ; 5 0 2 A A B D B A B C D ∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + = M ặ t khác: ( ) ( ) 2 2 2 7 7 1 , 2 6 3 6 3 d M C D A B C α = ⇔ + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 27 2 49 3 C D A B C ⇔ + = + + . T ừ (1) và (2), ta có ( ) 3 2 , 2 4 C A B D B A = − − = − Th ế (4) vào (3), ta đượ c: ( ) 2 2 2 2 27.49 49 3 2 A A B A B   = + + +   2 2 17 5 12 17 0 5 B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = − + Ch ọ n A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nh ậ n đượ c ( ) 1 : 5 1 0 x y z α + − − = + Ch ọ n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( ) 2 : 5 17 19 27 0 x y z α − + − = VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 1. Vi ế t PT mp( α ) ch ứ a g ố c t ọ a độ O và vuông góc v ớ i ( ) : 7 0 P x y z − + − = , ( ) : 3 2 12 5 0 Q x y z + − + = Bài 2. Vi ế t PT mp( α ) đ i qua M(1; 2;1) và ch ứ a giao tuy ế n c ủ a ( ) ( ) : 1 0, : 2 3 0 P x y z Q x y z + + − = − + = Bài 3. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a ( ) 3 0 : 3 2 1 0 x y z x y z − + − =   ∆  + + − =   và vuông góc vớ i mặ t phẳng (P): 2 3 0x y z+ + − = Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi ế t PT mp(ABC). Tính kho ả ng cách t ừ g ố c O đế n (ABC). Vi ế t PT m ặ t ph ẳ ng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ ( α ): 2 3 1 0 x y z − + + = . b. Qua O và ⊥ ( α ), (ABC); Qua I( − 1; 2; 3) và ch ứ a giao tuy ế n c ủ a ( α ), (ABC) Bài 5. Xác đị nh các tham s ố m , n để m ặ t ph ẳng 5 4 0x ny z m + + + = thuộ c chùm m ặ t ph ẳ ng có ph ươ ng trình: ( ) ( ) 3 7 3 9 2 5 0 x y z x y z α − + − + β − − + = Bài 6. Cho 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) : 2 3 1 0 x y z α − + + = , ( ) : 5 0 x y z β + − + = và đ i ể m M(1; 0; 5). Tính kho ả ng cách t ừ M đế n mp( α ). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua giao tuy ế n (d) c ủ a ( α ) và ( β ) đồ ng th ờ i vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (Q): 3 1 0 x y − + = . Bài 7. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua 3 đ i ể m A(1; 1; 3), B( − 1; 3; 2), C( − 1; 2; 3). Tính kho ả ng cách t ừ g ố c O đế n (P). Tính di ệ n tích tam giác ABC và th ể tích t ứ di ệ n OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các đ i ể m M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a OA và BC; P, Q là 2 đ i ể m trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và 2 đườ ng th ẳ ng MN, PQ c ắ t nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số AQ AB . Bài 9. Cho A( a ; 0; 0), B(0; a ; 0), C( a ; a ; 0), D(0; 0; d ) v ớ i a , d > 0. G ọ i A’, B’ là hình chi ế u c ủ a O lên DA, DB. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a 2 đườ ng OA’, OB’. Ch ứ ng minh m ặ t ph ẳ ng đ ó vuông góc CD. Tính d theo a để s ố đ o góc  45 A OB ′ ′ = ° . Bài 10. Tìm trên O y các đ i ể m cách đề u 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) ( ) : 1 0, : 5 0 x y z x y z α + − + = β − + − = Bài 11. Tính góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q) cùng đ i qua đ i ể m I(2; 1; − 3) bi ế t (P) ch ứ a O y và (Q) ch ứ a O z . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m cách đề u 2 m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆ OAB đề u c ạ nh a n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng (O xy ), đườ ng th ẳ ng AB // O y . Điể m A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(O xy ). Cho đ iểm ( ) 0;0; 3 a S . Xác đị nh A, B và trung đ i ể m E c ủ a OA. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a SE và song song v ớ i O x . Tính ( ) , d O P t ừ đ ó suy ra ( ) ; d Ox SE PH ƯƠ NG TRÌNH ĐƯỜ NG TH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN : 1. Véct ơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  là véc t ơ ch ỉ ph ươ ng (VTCP) c ủ a ( ∆ ) ⇔ ( ∆ ) // giá c ủ a a  2. Nh ậ n xét: N ế u a  là m ộ t VTCP c ủ a ( ∆ ) thì ka  ( k ≠ 0) c ũ ng là VTCP c ủ a ( ∆ ) t ứ c là ( ∆ ) có vô s ố VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Ph ươ ng trình tham s ố : Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ;a a a a=  : ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t z z a t = +    = + ∈   = +   » 2. Ph ươ ng trình chính t ắ c: Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) tổng quát là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =    + + + =   v ớ i 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ 4. Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua 2 đ i ể m M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ): 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − 5. Chuy ể n d ạ ng ph ươ ng trình t ổ ng quát sang d ạ ng tham s ố , chính t ắ c: Cho ( ∆ ): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D  α + + + =   β + + + =   ( 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ ) ⇒ VTPT c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , n A B C n A B C  =   =     ⇒ VTCP 1 2 , a n n =        Tìm điể m M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇒ 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . Đặ t t ỉ s ố này b ằ ng t suy ra d ạ ng tham s ố . III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. V ị trí t ươ ng đố i c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng : Cho ( ∆ 1 ) đ i qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) v ớ i VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a =  , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =   N ế u [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ ≠    thì ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau.  N ế u [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ =    và 1 2 3 1 2 3 : : : : a a a b b b ≠ thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) c ắ t nhau.  N ế u [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và h ệ ph ươ ng trình c ủ a ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   vô nghi ệ m thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) song song nhau.  N ế u [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và h ệ ph ươ ng trình c ủ a ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   có nghi ệ m thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) trùng nhau. 2. V ị trí t ươ ng đố i c ủ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c =  và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i VTPT ( ) , , n A B C =   N ế u 0 n u ⋅ ≠   0 Aa Bb Cc ⇔ + + ≠ thì ( ∆ ) c ắ t ( α ).  N ế u // n u   : : : : a b c A B C ⇔ = thì ( ∆ ) ⊥ ( α ).  N ế u ( ) 0 0n u M ⋅ =    ∉ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + ≠   thì ( ∆ ) // ( α ).  Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ =    ∈ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + =   thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc gi ữ a 2 đườ ng th ẳ ng: Cho ( ∆ 1 ) đ i qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) v ớ i VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a =  , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =  Góc gi ữ a ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 , 0,90 ∆ ∆ = ϕ∈ ° xác đị nh b ở i: 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos a b a b a b u v u v a a a b b b + + ⋅ ϕ = = ⋅ + + + +     2. Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c =  và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i VTPT ( ) , , n A B C =  Góc gi ữ a ( ) ( ) ( ) [ ] , 0,90 ∆ α = ϕ∈ ° xác định b ở i: 2 2 2 2 2 2 sin u n aA bB cC u n a b c A B C ⋅ + + ϕ = = ⋅ + + + +     3. Góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng: Góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) th ỏ a mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +     v ớ i 1 2 , n n   là 2 VTPT c ủ a ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Kho ả ng cách t ừ 1 đ i ể m đế n 1 đườ ng th ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c =  . Kho ả ng cách t ừ đ i ể m M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) đến đường th ẳng ( ∆ ) là: ( ) ( ) 0 1 1 , u M M d M u   ⋅   ∆ =    2. Kho ả ng cách gi ữ a 2 đườ ng th ẳ ng chéo nhau: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , ,u a a a =  , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =  Gi ả s ử ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau, khi đ ó ( ) [ ] [ ] 1 2 1 2 , ( ),( ) , u v M M d u v ⋅ ∆ ∆ =      [...]... (∆) c t (∆1), (∆2) và song song v i (∆3) ∆ ∆ ∆ Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆3 ), m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) và // (∆3 ) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β) N u (∆ ) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) thì bài toán vô nghi m Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s... theo phương (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3 ∆ 8 D ng 8: VPT ư ng th ng (∆) qua M và c t (∆1), (∆2) v i (∆1), (∆2) chéo ∆ ∆ ∆ ∆ nhau và không i qua M Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1) N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát thì nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm N u (∆1 ) d ng tham s thì l y 2 i m A, B ∈ (∆1 ) ⇒ Phương trình (α ) qua 3 i m A, B, M N u (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô... song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) và // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) Bài 1 Xác 7 x + y − z − 1 = 0  nh hình chi u song song c a t (∆1):  lên (α): x + 2y + z +1= 0   y +1 z + 2 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3... ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN c Phương pháp 2: G i a1 , a 2 là VTCP c a (∆1 ) và (∆ 2) ⇒ ư ng vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2    Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 ) và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Bài 1 Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a SB, OA Bài 2 Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a... (∆1 ), (∆ 2) và song song v i (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) là giao i m c a (∆) và (∆ 1) (∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0 ( ∆ )  (∆ ) c t (∆ 2) suy ra h  có nghi m ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ 2 )  y − 2 = 0  Bài 1 VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1):  , (∆2): 2 x − z − 5 = 0  { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} và // v i... // v i tr c Oz Bài 2 VPT y + 2 z −1 y −3 z −9 = = T (∆) c t (∆1): x − 2 = , (∆2): x − 7 = 3 4 1 1 2 1 y+3 z−2 và // (∆3): x + 1 = = 3 1 −2 ∆ 10 D ng 10: VPT ư ng th ng (∆) qua M và vuông góc (∆1), c t (∆2) trong ∆ ∆ ó M ∉ (∆1), (∆2) ∆ ∆ Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆ 2) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m N u (α ) c t (β ) thì xét (∆... 3 = 0 (∆3 ) :   2 x − y + z + 1 = 0  i c a các c p 2 ư ng th ng v i nhau b Vi t phương trình ư ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) và (∆ 3) 2 D ng 2: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên m t ph ng (α) α Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (α) Bài 1 Tìm hình chi u vuông góc c a M(1;... M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = , 2 2 1 7 x + y − z − 1 = 0  c t (∆ 2):  x + 2 y + z + 1 = 0  ∆ 11 D ng 11: VPT ư ng vuông góc chung c a 2 ư ng th ng (∆1), (∆2) ∆ chéo nhau a TH c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2): Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chi u vuông góc c a M lên (∆1 ) ⇒ MH là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Vi t phương trình... = 0 và ( ∆ 2 ) :  y − z +1= 0 Bài 3 Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a x = 2 + t2  x = 1 + 2t1  ( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2   z = 1 + 3t  z = −3 + 3t 1 2   Bài 4 VPT ư ng vuông góc chung c a 3 x − 2 y − 8 = 0 ( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}  x = 2 + t x + 2z − 2 = 0  Bài 5 Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và (... + z − 3 = 0 , ( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 G i (∆) là giao tuy n c a (P1) và (P2) Tính góc gi a (∆) v i giao tuy n c a (P1), (P3) và v i m t ph ng (P3) x = 2 + t 3 x − y − 1 = 0  Bài 4 Cho ( ∆ 1 ) :  và ( ∆ 2 ) :  y = −1 Tìm m z − 3y − 5 = 0   z = 1 + mt  a Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 45° : b Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 60° Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài 5 . đ ó suy ra ( ) ; d Ox SE PH ƯƠ NG TRÌNH ĐƯỜ NG TH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN : 1. Véct ơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  là véc t ơ ch ỉ . (Q). Bài 12. Cho ∆ OAB đề u c ạ nh a n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng (O xy ), đườ ng th ẳ ng AB // O y . Điể m A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(O xy ). Cho đ iểm ( ) 0;0; 3 a S . Xác. PH ƯƠ NG TRÌNH M Ặ T PH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véct ơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; ; u

Ngày đăng: 12/11/2014, 11:35

TỪ KHÓA LIÊN QUAN