Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán Số năm có kinh nghiệm: 12 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1... Đối với học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC

CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

(Ghi đầy đủ tên gọi giải pháp SKKN)

Người thực hiện: Nguyên Tất Thu Lĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014 – 2015

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: NGUYỄN TẤT THU

2 Ngày tháng năm sinh: 13/09/1980

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Phương pháp và lí luận dạy học bộ môn Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán

Số năm có kinh nghiệm: 12 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Sử dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức – năm 2009

2 Sử dụng phép đếm để chứng minh đẳng thức tổ hợp – năm 2010

3 Một số phương pháp giải bài toán cực trị tổ hợp – năm 2012

4 Một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong tổ hợp – năm 2013

5 Một số phương pháp đếm nâng cao – năm 2014

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN (VIẾT IN HOA ĐẬM)

MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nhị thức Newton xuất hiện trong Sách giáo khoa lớp 11 Dựa vào khai triển nhị thức Newton giúp chúng ta khai triển các lũy thừa bậc cao Đối với học sinh Chuyên Toán và đội tuyển ôn thi Quốc gia, thì ngoài những tính chất cơ bản của khải triển thì tính chất số học của các hệ số là một chủ đề thú vị và các bài toán về chủ đề đó được xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi các cấp Nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Chuyên Toán và nâng cao chất lượng ôn

thi học sinh giỏi Quốc gia, chúng tôi chọn đề tài “Một số tính chất số học của

hệ số nhị thức” làm đề tài nghiên cứu của mình

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Một trong những vấn đề ta xét đến là việc mở rộng khai triển abn, trong đó ,

Ví dụ 3 (Định lí Lucas) Cho m n là các số tự nhiên, p là số nguyên tố Giả ,

sử biểu diễn cơ sở p của m n là ,

 0

mod

i i

k n n

+) m  n bài toán hiển nhiên đúng

+) Không mất tính tổng quát, ta giả sử m  n

 Không mất tính tổng quát ta giả sử m  n

VìC p k  0 (mod ), p k 1, p 1

Nên ta có:

1 1

p

p i

k n m i

k n n

i



  và bài toán được chứng minh

Ví dụ 4 Cho n là số tự nhiên, p là số nguyên tố và n  p Chứng minh rằng

mod 

p n

Cách 2: Xét dãy n n, 1,n2, ,n  p  Dãy này gồm p số tự nhiên liên 1

tiếp, nên tồn tại duy nhất một số chia hết cho p , gải sử số đó là m

Ví dụ 5 Cho p k là các số nguyên dương thoả p là số nguyên tố và ,

2 k  p Chứng minh rằng 1 C p k1 chia hết cho p

(Trích đề thi HSG cấp tỉnh, lớp 12, tỉnh Đồng Nai, năm học 2012-2103)

Lời giải

0 mod

p

i p i

i p

p C

Ví dụ 9 Cho p là số nguyên tố lẻ Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao

cho C C1n, n2, ,C n n1 đều chia hết cho p (Trích đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12, tỉnh Phú Thọ, năm 2012)

0

i i

k m m

Ví dụ 10 (VN TST 2010) Gọi S là tổng bình phương các hệ số trong khai n

triển của nhị thức (1 x)n, trong đó n là số nguyên dương; x là số thực bất kì

Chứng minh rằng: S2n  không chia hết cho 3 với mọi n 1

Do đó, với mọi n tự nhiên thì S n  C2n n

Như thế ta cần chứng minh rằng: C42n n  không chia hết cho 3 với mọi n 1

a k

t t i

i i

Đặt m  n 1,m  4 và m m 2 3m8  3.2k1 Ta xét các trường hợp sau

(a) m  2s, vì m  4 nên s  2 Ta có

2 s 3.2s 8  m 3m 8 3.2tVới t là số nguyên dương

Nếu s  thì 4

2

8 3 2 (mod 16) t  2t  8 m 3m8  24  m m( 3) 16,điều này không thể xảy ra Như vậy ta chỉ có hai khả năng s  3, m  8, t  4hoặc s 2, m 4, t  2, n 3

p p

là tổng bình phương của hai số nguyên liên tiếp

(1999 Romanian IMO Team Selection Test)

Giả sử S phân tích được thành tổng bình phương hai số nguyên liên tiếp, khi n

đó tồn tại số nguyên dương k sao cho

2 ( 1)2

n

S  k  k hay 2k2 2k1 S n  0Phương trình có

Xét E m 1 3m 1 3m với m là số nguyên dương

Ví dụ 14 Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa C2n n  2n k, trong đó k

là số các ước nguyên tố của C2n n (VMO 2002 )

Lời giải

Giả sử p là một ước nguyên tố của C2n n , gọi m là số mũ của p trong phân tích

tiêu chuẩn ra các thừa số nguyên tố của C2n n

Bổ đề: Với mọi m sao cho p   m p 1 thì v C p( m k), k  0,1, ,m

Cuối cùng là một số bài tập luyện tập

Bài 1 Chứng minh rằng dãy C k k,C k k1, Ck k2, là dãy tuần hoàn nếu xét trong modulo k

Ta xét m  k là số nguyên dương sao cho nC m3 là số lẻ

Cụ thể: Nếu n lẻ, ta chọn m 0(mod 4), nếu n chẵn ta chọn m  3 mod 4 

k m k

Bài 7 (Iran TST 2011) Tìm tất cả các số nguyên dương n  sao cho với mọi 2

là một lũy thừa của 2

Bài 11 Chứng minh rằng với mỗi cặp số tự nhiên m k thì m có cách biểu diễn ,duy nhất dưới dạng

Với a k  a k1   a t  t  (1996 Iranian Mathematical Olympiad) 1

Bài 12 Cho m n là các số nguyên thỏa , 1  m n Chứng minh rằng m là

ước của

1 0

( 1)

m

k k n k

Bài 13 Cho p là số nguyên tố và đa thức f  [ ]x có bậc nhỏ hơn p  thỏa 1mãn f i   với mọi   i0,1, ,p1 Chứng minh rằng

C





chia hết cho p

II HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua việc sử dụng đề tài để giảng dạy cho các lớp chuyên toán và đội tuyển Quốc gia, thấy được các em tự tin hơn và các em nhanh chóng tìm được phương án giải quyết khi gặp các bài toán về tính chất số học của hệ số khai triển Qua đó thấy được sự hứng thú học toán cho các em học sinh tăng lên

ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đề tại có thể áp dụng khi dạy các lớp chuyên hoặc dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường THPT

III DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hà Huy Khoái (2006), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Số học,

NXB Giáo dục

2 Tủ sách THTT (2007), Các bài thi Olympic Toán THPT 1990-2006,

NXB Giáo dục

3 Đào Mạnh Thắng ,Chuyên đề Định Lí Lusca và ứng dụng

4 Các tài liệu từ Internet

Nguyễn Tất Thu

Biên hòa, ngày 22 tháng 05 năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2014 – 2015

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA HỆ SỐ KHAI TRIỂN

Họ và tên tác giả: NGUYỄN TẤT THU Chức vụ: Tổ phó chuyên môn

Đơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình

Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này

đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người

có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm

BM04-NXĐGSKKN

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)