Bài tập toán chuyên đề

BÀI TẬP TOÁN CHUYÊN ĐỀ ………………………………………………………………………………………… 1 I.số phức và các phép toán 1.1,Tính các giá trị các căn số sau: 1. 3 A 1 i 3 = + 2. 4 B 1 i = − 3. 3 D 1 i = − + 1.2, Chứng minh rằng: 1. z 1 z 1 z argz − ≤ − + 2. n ế u Rez > 0 , Rea > 0 thì a z a z − + < 1 3. Nếu 1 2 z z 1 = = và z 1 ≠ ± thì 1 2 1 2 z z 1 z z + ∈ +  4. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u Rez 0 ≥ thì 1 z 1 z 2 + + ≥ 5. Tìm i Re(arctane ) ϕ v ớ i ϕ nh ọ n. 1.3, Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng 1. ( ) ( ) 3 2 f z z +1 tanz = 2. ( ) 2 f z z sinz = 3. ( ) ( ) 8 z f z z sinz = − 4. 3 z z f (z) 1 z e = + − 1.4, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn 1. 1 1 Re z 2 < 2. i z 0 arg z i 2 − π < < + 2 3. 1 1 1 1 Re Im 4 z z 2     < + <         1.5, Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m z th ỏ a mãn: 1. const ω = 2. arg const ω = 3. ( ) Re ln const ω = (ch ỉ gi ả i trong tr ườ ng h ợ p 2 z z 1 ω = + − ) Trong đ ó a. 2 z z 1 ω = + − b. 1/z e ω = 1.6, Tính giá tr ị c ủ a các hàm s ơ c ấ p sau a) i i ω = b) 2 ( 1) ω = − c) 1/i i ω = d) 3 i (1 i) − ω = − e) lni ω = f) 2i 1 i 2 +   ω =     g) So sánh ( ) ( ) 2 2 2 a ; a a α α α & trong đ ó a; α∈  h) V ớ i giá tr ị nào c ủ a z ∈  thì cosz;sinz ∈  1.7, Tính giá tr ị c ủ a modun c ủ a hàm sin z ω = t ạ i z iln(2 5) = π + + 1.8, gi ả i ph ươ ng trình a) cosz 3 = b) sin z 5 = 1.9, Tính t ổ ng c ủ a các chu ỗ i sau a) n n 1 n 1 1 1 1 z 1 z − ≥   −   + +   ∑ 3 b) n n n 1 n 2 z (1 z )(1 z ) − ≥ − − ∑ 1.10, Tìm bán kính h ộ i t ụ c ủ a các chu ỗ i hàm s ố sau a) n n n 0 (1 i) z ≥ + ∑ b) n! n 0 (2z) ≥ ∑ c) n n n 1 z n ≥ ∑ d) 2 n n n 1 1 1 z n ≥   +     ∑ e) 2n 1 2n 1 n 0 (2z) + + ≥ ∑ f) 2 n n 0 z n! ≥ ∑ 1.11, chứng minh đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 W(z) W(z) W(z) 4 z x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ II, Tích phân hàm biến phức: 1. C dz I z = ∫ trong đó a) { } C z 1/ Imz 0 ; 1 1 = = ≥ = b) { } C z 1/ Imz 0 ; 1 1 = = ≤ = c) { } C z 1 ; 1 1 = = = với điểm đầu của đường tích phân là điểm z 1 = d) { } C z 1 ; 1 i = = − = với điểm đầu z 1 = 2. C I lnzdz = ∫ trong đó a) { } C z 1 ;ln1 0 = = = với điểm đầu z 1 = 4 b) { } C z 1 ;lni 2 π = = = với điểm đầu z i = 3. C I (1 i 2z)dz = + − ∫ theo các đường nối điểm 1 z 0 = với 2 z 1 i = + a) Theo đường thẳng b) Theo parabol 2 y x = 4. z 1 1 dz I 1 z 2 − = = − ∫  5. 2 C zdz I z 9 = + ∫ trong đ ó C là đườ ng a) z 1 2 − = ; z = 4 b) z 2i 2 − = c) z 2i 2 + = 6. I = 3 2 C z 2z 1 dz (z 1) + + − ∫  trong đ ó C là đườ ng z = 2 7. 2 C (z 1) I dz z 2z 3 2i 3 − = − + − ∫  trong đ ó C là biên c ủ a đườ ng z 1 3 − = 8. 2 C zdz I z 1 = + ∫ v ớ i C trong các tr ườ ng h ợ p sau: 1. z 1 R + = , R<2 2. z R = , R< 1 III, Chuỗi TayLor và Laurent 3.0 Khai tri ể n TayLor t ạ i z 0 = và xác đị nh bán kính h ộ i t ụ R c ủ a chu ỗ i tìm đượ c a) z e f (z) 1 z = − ( n n n n 1 1 n 0 1 a z ; a a , a 1 n! − ≥ = + = ∑ ) b) f (z) z i = + trong đ ó 1 i i 2 + = 5 Tr ả l ờ i n n n 2 1 i 1z 1.3.5 (2n 3) z 1 ( 1) 2i 2.4.6 (2n) i 2 ≥   + −   + + −           ∑ c) 3 f (z) z = trong đ ó 3 i 3 1 1 2 = − + 3.1. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra : 1. 2z 1 W (z 1)(z 2) + = − + trong mi ề n z 1 < ; 1 z 3 < < ; 2 z < < ∞ 2. 2 2 z 2z 5 W (z 5)(z 2) − + = + − trong lân c ậ n c ủ a z = 2 ; 1 z 2 < < 3. sin z W 1 z = − trong lân c ậ n đ i ể m z 1; z = = ∞ 3.2 .Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z 0 của các hàm số sau: 1. 2 z 1 W sin z − = v ớ i z 0 = 0 2. z z e 1 W e 1 + = − v ớ i z 0 = 0 ; 2 i ± π IV, Thặng dư và ứng dụng 1)Một số công thức bổ sung a. [ ] 1 Res f (z);z C − = ∞ = − b. [ ] C 1 Res f (z);z f (z)dz 2 i − = ∞ = π ∫ c. [ ] [ ] k k Res f(z);z a Res f(z);z 0 = + = ∞ = ∑ N ế u f (z) gi ả i tích trong mi ề n gi ớ i h ạ n b ở i C tr ừ m ộ t s ố h ữ u h ạ n đ i ể m b ấ t th ườ ng k a cô l ậ p (k ể c ả đ i ể m z = ∞ ) 2)Tính thặng dư của các hàm số tại các điểm bất thường k a cô lập (kể cả điểm z = ∞ nếu nó không phải là điểm giới hạn của các cực điểm) 1. 10 7 z f (z) (1 z) = + t ạ i đ i ể m z = ∞ gợi ý [ ] [ ] Res f (z); Res f(z); 1 ∞ = − − 6 2. 2 f (z) cot z = gợi ý [ ] k Res f (z);k ( 1) ; k π = − ∈  3. 1 f (z) sin z.sin z = gợi ý [ ] [ ] Res f (z);z 0 Res f (z);z 0 = = = ∞ = 4. 1 z z f (z) e + = gợi ý [ ] [ ] n 0 1 Res f (z);0 Res f(z); n!(n 1)! ∞ = = − ∞ = + ∑ 5. 3 sin 2z W (z 1) = + 6. 2n n z W (z 1) = + 7. 2 1 W z(1 z ) = − 8. 1 W sin z = 9. z W sin z 1 = + 3)Tìm và phân loại các điểm bất thường,tìm thặng dư tại đó của các hàm: 1. 3 6 sin z W z = 2. 2z 1 W (z 1)(z 2) + = − + 3. 2 2 z 2z 5 W (z 5)(z 2) − + = + − 4. 2 z 2 W z 5z 6 − = + + 5. 1 W (z 2)(z 3) = − − 6. 2 1 W sin 2z = 4)Dùng thặng dư tính các tích phân sau : 7 1. 2 z z 1 2 I e dz z = = ∫ 2. 6 z 1 z sin z I dz z = − = ∫  3. 2 3 z 1 z 1 1 I (z z 1)e dz + + = = − + ∫ 4. 2 2 z 1 z 2 I (z 2)e dz + = = + ∫  5. 2 xcosxdx I x 2x 10 +∞ −∞ = − + ∫ 6. 2 xsin xdx I x 2x 10 +∞ −∞ = − + ∫ 7. 2 xsin xdx I x 4x 20 +∞ −∞ = + + ∫ 8. 2 sin xdx I (x 4)(x 1) +∞ −∞ = − − ∫ V, phép biến đổi z 5.1 Tìm các bi ế n đổ i z c ủ a các dãy sau 1. n n 1 n 1 1 khi n 0 x 4 4 0 khi n 0 −      + ≥      =       <  2. n n 3 khi n 2 x 4 0 khi n 2    ≥−    =     <−  8 3. n n 3 n khi n 2 x 4 0 khi n 2    ≥−    =     <−  4. n n 3 n n khi n 0 x 4 0 khi n 0    + ≥    =     <  5. 2 n n n 3 n khi n 0 x 0 khi n 0  + ≥  =  <   6. 2 n n n 1 khi n 0 x 3 0 khi n 0  + ≥  =   <  7. n n n4 n khi n 0 x 0 khi n 0  + ≥  =  <   8. n n 3 n khi n 0 x 4 0 khi n 0    + ≥    =     <  5.2. Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau : 1. 2 z f (z) khi z 4 z 5z 4 = > − + 2. 2 z f (z) khi z 4 (z 1) (z 3) = > − + 3. 2 z f (z) khi z 4 (z 1) (z 3) = > + + 4. 2 z f (z) khi z 2 4z 2 3z 1 = > − + 5. 2 z f (z) khi z 2 (4z 3) = > − 6. 2 2 z 1 f (z) khi z 3 (z 1) (z 2) + = > + + 9 7. 2 z 1 f (z) khi z 3 (z 2) (z 1) + = > + − VI, phép biến đổi Laplace 6.1. Tìm ảnh của các hàm gốc sau 1. ( ) ( ) 2t f t t 1 e = + 2. f (t) sin t = 3. ( ) 2t f t te cos2t − = 4. ( ) ( ) f t 2t 1 cos2t.sint = + 5. ( ) ( ) 2t f t 2t 1 e cos2t = + 6. t khi 0 t 1 f (t) 2 t khi 1 t 2 0 khi t 2 < <   = − < <   >  7. 2 t 1 khi 1 t 2 f (t) 0 khi t 2  + < <  =  >   8. (t ) f (t) e sin(t ) (t ) λ −α = − α η − α 9. 2 3t khi 0 t 4 f (t) 2t 3 khi 4 t 6 4 khi t 6  ≤ <  = − ≤ <   ≥  10. t 2 u 0 x(t) (u u e )du − = − + ∫ 11. t 2u 0 x(t) cos(t u)e du = − ∫ 6.2. Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau : 1. 3 2 2p 3 F(p) p 4p 5p + = + + 2. 2 1 F(p) (p 1) (p 2) = − + 10 3. 3 3 1 F(p) p (p 1) = − 4. 2 2 5p 15p 11 F(p) (p 1)(p 2) − − = + − 5. p 3 2 e F(p) p(p 1) − = + 6. 2 4p 12 F(p) p 8p 16 + = + + 7. 2 3p 19 F(p) 2p 8p 19 + = + + 8. 2 p 1 F(p) (p 3)(p 2p 2) − = − + + 9. 3p 2 2 e F(p) p − = 10. 2 2 1 F(p) (p p 1) = + + 11. Tìm nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình Volterra t 0 y(t u)y(u)du tsin t − = ∫ 6.3. Ứ ng d ụ ng phép bi ế n đổ i Laplace,tìm nghi ệ m riêng c ủ a ph ươ ng trình vi phân sau: 1. t 2t x 3x 2x e e − ′′ ′ + + = + v ớ i x(0) 2;x (0) 3 ′ = = − 2. t 2 4x 4x x e ′′ ′ − + = v ớ i x(0) 1;x (0) 0 ′ = = 3. x 2x 3x tcost ′′ ′ + + = v ớ i x(0) 1/ 4;x (0) 0 ′ = − = 4. 2t x 4x 4x (t 1)e − ′′ ′ − + = − v ớ i x(0) 2;x (0) 0 ′ = = 5. 2 x 2x 6t ′′ ′ + = v ớ i x(0) 0;x (0) 3 / 2 ′ = = − 6. x 7x (14t 15) ′′ ′ − = − + v ớ i x(0) 1;x (0) 2 ′ = = 7. 2 x 2x 3x 3 7t 3t ′′ ′ + + = + + v ớ i x(0) 1 x (0) ′ = − = . BÀI TẬP TOÁN CHUYÊN ĐỀ ………………………………………………………………………………………… 1 I.số phức và các phép toán 1.1,Tính các giá trị các căn số sau: 1. 3 A. ( ) 2 f z z sinz = 3. ( ) ( ) 8 z f z z sinz = − 4. 3 z z f (z) 1 z e = + − 1.4, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn 1. 1 1 Re z 2 < 2. i z 0 arg z i 2 − π < < + 2 3. 1