Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trung học phổ thông

Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình vô tỷ một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN THI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN THI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI – 2014

Lời cảm ơn Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn của em được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Lê Anh Vinh

Trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt thời gian của khóa học

Trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Bất Bạt

đã tạo điều kiện, giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa học với luận văn này

Em xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên em thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Thi

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU

Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Kỹ năng .5

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 6

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 6

1.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán 7

1.2.1 Khái niệm 7

1.2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 7

1.2.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 8

1.2.4 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán 9

1.3 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ 9

1.3.1 Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ 9

1.3.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ 10

1.3.3 Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán 14

1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ 14

1.3.5 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình vô tỷ 16

1.3.6 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỷ .20

1.4 Kết luận Chương 1 21

Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ .22

2.1 Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 22

2.1.1 Rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương 22

2.1.2 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đặt ẩn phụ 24 2.1.3 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua lượng giác 26 2.1.4 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua tính chất của vectơ 29 2.1.5 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần 30 2.1.6 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số 33 2.2 Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ

đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 35 2.2.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ 38 2.2.2 Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ 42 2.2.3 Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 47 2.3 Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi phương trình cho học sinh, giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi 50 2.3.1 Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản thường dùng trong dạy học phương trình 50 2.3.2 Hình thành kĩ năng biến đổi phương trình 54 2.3.3 Giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình 57 2.4 Biện pháp 4: Khắc phục những sai lầm của học sinh trong quá trình giải phương trình vô tỷ 60 2.4.1 Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ môn Toán 61 2.4.2 Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải 62 2.4.3 Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn 63 2.5 Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hướng phương pháp giải 71

2.6 Kết luận chương 2 79

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm 80

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 80

3.2.1 Lớp thực nghiệm 80

3.2.2 Tiến trình thực nghiệm 80

3.2.2 Giáo án thực nghiệm 80

3.2.3 Đề kiểm tra .90

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 90

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 92

KẾT LUẬN 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và ngành Giáo dục nước ta

Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hành trong những năm qua như sau:

- Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”

- Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy biện chứng, tư duy hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”

- Còn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thông tôi nhận thấy việc rèn luyện kỹ năng giải toán, mục tiêu giáo dục học sinh của những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng Điều đó được nêu cụ thể trong Luật giáo dục, chương I, điều 2: "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo

vệ Tổ quốc" Cụ thể hóa điều này, mục tiêu dạy học của môn Toán là:

- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;

- Rèn luyện kỹ năng giải toán để phát triển tư duy cho học sinh;

- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và toán học nói riêng vào thực tiễn cuộc sống;

- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày và cũng có khi không biết bắt đầu từ đâu,hướng giải quyết như thế nào? Tại sao lại như vậy?

Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng

cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình vô tỷ một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT

Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách; trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có nhiều cách

khác nhau như rèn cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng phân tích, rèn luyện kỹ năng tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc một vấn đề khoa học là rất quan trọng

Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung Phương trình vô tỷ Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình vô tỷ cho học sinh

Vì vậy, tôi chọn đề tài của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trung học phổ thông "

2 Mục đích nghiên cứu

Đề ra một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi trong dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình vô tỷ cần rèn luyện cho học sinh khá giỏi

Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vô tỷ

Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng

Ở trường phổ thông dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ như thế nào

để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi

7 Giả thuyết khoa học

Nếu giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi theo định hướng rèn luyện kỹ năng giải toán thì có thể nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề này ở trường phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có liên quan đến đề tài Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra

Kết quả phân tích một số tiêu chí sau thực nghiệm sư phạm

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Trong thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người vận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ Với quá trình đó con người dần hình thành cho mình cách thức (kỹ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm

lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [23, tr.131]

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các

dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[17, tr.149]

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[27, tr 426]

Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm

vụ mới Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn

có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành

động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong lao động

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra

Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đụng trong các bài tập Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng;

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại;

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

1.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học"

1.2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng

là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này

đã được nhiều tác giả đề cập như:

“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J Piaget);

“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant);

“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các

thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần;

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó;

Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

việc vận dụng tri thức;

Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán

Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

1.2.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của

môn Toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển trí tuệ, cụ thể là:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán; + Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian; + Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…; + Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học, đó là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận chính xác, các thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp

1.2.4 Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:

+ Nhóm kỹ năng vận dụng chung;

+ Nhóm kỹ năng thực hành;

+ Nhóm kỹ năng về tư duy

- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:

+ Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải;

+ Kỹ năng phân tích;

+ Kỹ năng mô hình hóa;

+ Kỹ năng sử dụng thông tin

1.3 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ

1.3.1 Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ

Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập phương

trình vô tỷ, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng, làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:

- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phương hướng giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt

- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân tích quan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải

- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháp tìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giải toán

Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan trọng nhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán

1.3.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ

Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán phương trình vô tỷ Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý

cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán

phương trình vô tỷ:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài

Với một bài toán công việc của người giải toán cần đặt ra là tìm hiểu nội dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện cho trong bài toán để từ đó xác định được dạng bài toán, tìm được phương hướng

giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp

Bước 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán Năng lực của người giải toán thể hiện rõ ở bước này Nhiều người khi giải

toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm ra mối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình giải quyết cái gì Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu quả Có thể nói bước này là thước đo năng lực của người giải toán, vì rằng không thể đánh giá

kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ các giả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán

tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan

Bước này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán:

Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của nó giúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài toán Nghĩa là, người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã

cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?

Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình đã tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi Ngoài ra, nó còn giúp ích nhiều cho người giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán liên

quan, sáng tạo ra các bài toán mới

Bước 3: Trình bày cách giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương

trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó

Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lời

giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài

toán mới Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó Như thế mới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một

loại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau

5x  14x  9  x  x  20  5 x 1  (1.1)

Điều kiện: x  5

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài

Phương trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phương hai vế của phương trình (1.1) thì sẽ thu được một phương trình phức tạp và không có hướng giải tiếp Tuy nhiên có thể biến đổi phương trình về dạng tương đương:

Do x  5 nên x + 4 > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta được:

Bước 4: Nghiên cứu sau lời giải

Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn

1.3.3 Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà

họ gặp trong chương trình Học phương pháp tìm lời giải không phải là học một thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp

để tìm lời giải bài toán như sau:

- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4 bước của phương pháp này trong quá trình giải toán

- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp tìm lời giải bài toán

Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp tìm lời giải bài toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể

Từ phương pháp tìm lời giải bài toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,

trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ

Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán Vì rằng, từ chỗ tìm ra được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến

việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Nói một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt Điều này đòi hỏi người giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả

Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:

1.3.4.1 Lời giải không mắc phải những sai lầm

Lời giải không mắc phải những sai lầm về kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra

Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trường hợp nào, một chi tiết nào Đặc biệt giải phương trình không được thiếu nghiệm Ngôn ngữ dùng phải chính xác

Lập luận phải chặt chẽ

+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải chứng minh Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài, đánh tráo điều phải chứng minh

+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã biết Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định

lý đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện

+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng trong chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic

1.3.4.2 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình tìm được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất

Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình là rất tốt Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải đúng được bài toán theo một phương pháp nhất định Đứng trước một phương trình đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách khác

1.3.4.3 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện ràng buộc, hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến Khi đó ta có bài toán mở rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ

1.3.4.4 Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo mĩ thuật

Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rèn luỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải) Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.3.5 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình vô tỷ

Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học Nhưng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng

cơ bản như: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay,

kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năng không chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình vô tỷ mà còn được rèn luyện trong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn học Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học

ta thường rèn luyện kỹ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến thức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng

có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự

Vì để vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kỹ năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kỹ năng

hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với

chủ đề phương trình vô tỷ ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc

về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính toán: Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính

toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt môn Toán Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật Khi giải toán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bài toán phương trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phương trình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thức khác Cần rèn luyện các đức tính như cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trí nhằm tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể có nhiều cách giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm như vậy học sinh có

cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng Từ đó tìm ra cách giải ngắn và hay nhất

- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồng

nhất, các phép biến đổi tương đương

- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm được Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn (Quá trình giải phương trình phần lớn “biến đổi” đưa về các phương trình dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải)

- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán

phương trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung “hàm số” Thực ra nhiều bài toán phương trình, bất phương trình giải bằng phương pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số

nghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phương pháp này dễ nhận ra kết quả, nhanh chóng, trực quan

Ví dụ 1.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

4 + x 6 - x = x - 2x + m   2

Điều kiện : 4 x   6

Đặt y = 4 + x 6 - x thì ta có y 0   và x -1 + y2 225 Vậy đồ thị của hàm số y  4 + x 6 - x là nửa đường tròn (phần nằm trên trục hoành) tâm tại điểm 01 (1 ; 0) và bán kính 5 Còn y x - 2x + m2 là Parabal luôn có cực tiểu nằm trên đường x = 1

Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì y

đỉnh của Parabal ở trên đường thẳng: x = 1,

đặc biệt phát huy tác dụng khi biện luận O

về số nghiệm của phương trình Mặc dù -4 0 1 6 x phương pháp này không chỉ ra được chính xác nghiệm của phương trình nhưng số nghiệm của phương trình được nhận ra khá dễ dàng và trực quan

- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương

trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán

Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khía cạnh xử sự của kỹ năng Để đưa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đưa ra nhiều cách làm khác nhau

Ví dụ 1.3: Giải phương trình sau x -1 + 3- x 2 ( 1.3)

Bằng suy luận của mình học sinh có thể đưa ra các cách giải sau:

y=x2-2x+m

Cách 1: Biến đổi tương đương

 x -1 + 3- x 2 1212 x -1+ 3- x

 x -1 + 3- x2 4

   x -1 + 3- x  2

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x -1 3- x x2

Cách 3: Quan sát, phân tích đề bài ta thấy  x -1 2 3- x2  2

Vậy ta có thể làm như sau: Đặt u = x -1 và v = 3- x ;

Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi

giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều

Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải

phương trình vô tỷ như kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên

hàm số, kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau

1.3.6 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỷ

Nội dung bài toán: Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch

hướng tư duy có ảnh hưởng đến kỹ năng

Ví dụ 1.4: Giải phương trình

1 cos x4 1cos x2 9 cos x4 3cos x2 1

Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình vô

tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấu căn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng:

dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới

Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể

Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy

thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của phương trình trên

Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương này, Luận văn đã sơ lược trình bày, phân tích, minh họa khái niệm kỹ năng, vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình vô tỷ Làm

cơ sở đề xuất quan điểm rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình vô tỷ, giúp học sinh học tập tích cực hơn

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 2.1 Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Khi tiếp xúc với một chủ đề toán học, thì việc hình thành cái nhìn tổng quan

về nội dung đó là hết sức quan trọng Chỉ khi có tổng quan về các phương pháp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và có khả năng ứng phó khi đứng trước những bài toán khác nhau Vì những lý do trên khi bắt đầu tiếp xúc với dạng toán mới, giáo viên cần cung cấp đầy đủ cho học sinh những phương pháp giải cơ bản, đồng thời nêu lên những dạng toán điển hình

2.1.1 Rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương

Phương pháp này thường sử dụng đối với những phương trình không có

gì đặc biệt hoặc những phương trình phải qua nhiều phép biến đổi tương đương mới xuất hiện những dạng đặc biệt và ta có thể giải tiếp bằng những phương pháp đã trình bày

Phương pháp biến đổi tương đương là phương pháp rất quan trọng, là tiền đề đặt nền móng cho các phương pháp khác Các phương trình vô tỷ dạng phức tạp đều có thể chuyển về dạng đơn giản hơn bằng phép biến đổi tương đương

Khi giải bằng phương pháp biến đổi tương đương trước hết ta phải đặt điều kiện Do đó mỗi phương trình thường đặt điều kiện nào đó mà ẩn phải thỏa mãn Dạng 1:

x 2

x2

x2

Vậy x=0 không là nghiệm của phương trình

Thay x=-1 vào phương trình (3) ta có: 3 3

   (đẳng thức đúng)

Vậy phương trình có một nghiệm x=-1

2.1.2 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đặt ẩn phụ

- Khi giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ thì ta phải xét xem các biểu thức trong các căn thức liên hệ với nhau theo phương thức nào? Phát hiện ra mối liên hệ này là một trong những yêu cầu để giải nhanh gọn các

phương trình vô tỷ

- Để áp dụng được phương pháp này thì các phương trình vô tỷ thường

có đặc điểm là bình phương biểu thức trong căn một vế của phương trình bằng tích của hai biểu thức trong căn của hai căn thức vế kia với cùng chỉ số căn thức Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải

phương trình vừa tạo ra, đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm

Ví dụ 2.4: Giải phương trình sau 3 + x + 6 - x - (3 + x)(6 - x) =3

Nhận xét: - Biểu thức dưới dấu căn chứa ẩn với các dấu đối nhau

- Có hai căn thức cùng chỉ số căn

Điều kiện: x2 + 2x - 1  0  x  -1 + 2 hoặc x  - 1 - 2

Để khử tính vô tỉ, đặt t = x2 2x 1 ,để làm xuất hiện t2 = x2 + 2x - 1, ta biến đổi (2.6) tương đương với: 2(1- x) 2  2 

x 2x 1  x 2x 1 4x

 2(1 - x)t = t2 - 4x  t2 - 2(1- x)t - 4x = 0;

Ta có ' = (1- x)2 + 4 x = (x + 1)2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 1 6

2.1.3 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua lượng giác

Đối với một số phương trình vô tỷ, ta có thể chuyển chúng sang bài toán lượng giác mà ta thường gọi là phương pháp lượng giác hóa Việc lượng giác hóa phương trình vô tỷ để phương trình đó đơn giản hơn Có 5 bước cơ bản trong phương pháp này: Bước 1: Tìm điều kiện của x

Bước 2: Đặt x = (t) chuyển điều kiện của x về điều kiện tương ứng của t Bước 3: Chuyển phương trình về phương trình lượng giác

Bước 4: Giải phương trình lượng giác đó

Bước 5: Quay về phương trình đại số ban đầu

Giải: Điều kiện : | x | 1

Khi đó vế phải là số dương

t = + kπ127π

Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 1

-πsin12

2sint 1- 2sin t - 2sin t = 0

 sint 1-sint - 2sin t 2  0

2

sinx=0sinx=0

sinx=-11-sinx-2sin 0

1sinx=

Ví dụ 2.10 : Giải phương trình sau 36x +1 = 2x

Giải :

Phương trình đã cho tương đương với: 8x - 6x = 1 3

Đặt: x = cost ; t0;

Phương trình trở thành: cos3t=1

2 

2t

Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S

2.1.4 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua tính chất của vectơ

Trong thực tế, khi giải một số phương trình vô tỷ ta không thể sử dụng được phương pháp đại số hoặc việc sử dụng các phương pháp đó làm cho bài toán phức tạp hơn khi đó ta có thể sử dụng phương pháp hình học để giải chúng làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn Ta sử dụng các kiến thức về vectơ: tính chất, các phép toán…

Ví dụ 2.13: Giải phương trình sau x x +1 + 3- x = 2 x +1 2

Giải: Điều kiện :  1 x 3

giải được bằng phương pháp đánh giá Tùy thuộc vào đặc điểm từng dạng,

từng biểu thức thành phần Cần rèn cho học sinh có “con mắt nhìn toán học”

nhạy bén và tinh tế khi đứng trước một bài toán, xem xét mối quan hệ giữa các giá trị của các biểu thức thành phần

Trong khi giải một số phương trình vô tỷ ta có thể sử dụng việc đánh giá hai vế của phương trình với cùng một số để dẫn đến điều kiện xẩy ra của phương trình đó và tìm ra nghiệm của chúng Các công cụ thường sử dụng trong quá trình đánh giá mỗi vế thường là các bất đẳng thức côsi, Bunnhiacopski, các hằng đẳng thức đáng nhớ,….Trong khi đánh giá cần chú

ý đến trường hợp dấu bằng xẩy ra khi sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp đánh giá này học sinh cần phải được củng cố kiến thức, đồng thời rèn khả năng nhận dạng và sử dụng bất đẳng thức hay đẳng thức thích hợp vào mỗi bài toán

2012 2012

Dấu = xảy ra khi x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình

Dạng 3: Dựa vào các bất đẳng thức

Ví dụ 2.16: Giải phương trình 13 x - x + 9 x + x = 162 4 2 4

Giải: Điều kiện: 1 x 1  

Biến đổi phương trình ta có : 2 2 22

2

x =1+ x

51- x =

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = x0

Ví dụ 2.17: Giải phương trình sau 3 x - 2 + x +1 3

Giải: Ta thấy x = 3 nghiệm đúng của phương trình

Với x > 3 thì:

x - 2 >1 ; x +1 >2 =>3 x - 2 + x +1 >3;

Với x < 3 thì:

3

x - 2 <1 ; x +1 <2 =>3 x - 2 + x +1 <3

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình

2.1.6 Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số

Để giải một số phương trình vô tỷ ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn

Một số cách giải phương trình dựa vào tính chất của hàm số:

Dạng 1: Hàm số y = f(x) xác định trên D  R và đơn điệu trên D Gia sử

x0D: f(x ) = m thì phương trình 0 f(x ) = m có nghiệm duy nhất 0 x = x 0

Phương pháp: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = k

Bước 2: Xét hàm số y = f(x)

Bước 3: Nhận xét:

Với x = x0 f(x) = f(x ) = k0 do đó x là nghiệm 0

Với xx0 f(x)f(x )0 k do đó phương trình vô nghiệm

Với xx0 f(x)f(x ) = k0 do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình 0

Ta thấy f'(x) không luôn dương với mọi x> -1 Vì vậy để áp dụng phương pháp này ta phải tách thành nhiều khoảng Mặt khác f'(x) > 0,  x  0, từ đó ta xét các trường hợp sau:

Nếu x  0  f'(x) > 0  f(x) đồng biến trên [0, +) nên với x  [0, +),

f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất

Ta nhận ra f(1) = 0 suy ra trong [0, +), f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x = 1

Phương trình không có nghiệm thuộc [-1, 0)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1

Dạng 2: Nếu y = f(x) xác định, liên tục và đơn điệu trên D  R thì phương trình f(x) = f(t)x = t

Phương pháp: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi đó f(u) = f(v)u = v