Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố PH N I. Đ I S VÀ GI I TÍCHẦ Ạ Ố Ả I. CÁC CÔNG TH C L NG GIÁC KHÔNG TH NÀO QUÊNỨ ƯỢ Ể 1. Hai cung đ i nhau: -x và xố cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung ph nhau: ụ 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π − = − = ÷ ÷ − = − = ÷ ÷ 4. Hai cung h n kém nhau Pi: ơ x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các h ng đ ng th c l ng giácằ ẳ ứ ượ 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công th c c ng l ng giácứ ộ ượ cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công th c nhân đôiứ 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công th c nhân ba:ứ 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công th c h b c:ứ ạ ậ 2 2 1 cos2 1 cos2 sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công th c bi n đ i tích thành t ngứ ế ổ ổ [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công th c bi n đ i t ng thành tíchứ ế ổ ổ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 1 Tr ng THPT Cam Ly Bi t p Toỏn kh i 11 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = A. CễNG TH C BI N I I/. GI TR L NG GIC Bi 1: Cho 3 3 sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a ổ ử ữ ỗ =- ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( ) o o 180 < a < 270 .Tớnh sina , tana, cota. Bi 3: Cho o o o o tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= - Bi 4: Tớnh tan x cot x A tan x cot x + = - bi t 1 sinx = . 3 Tớnh 2sin x 3cos x B 3sin x 2cosx + = - bi t tanx = -2 Tớnh 2 2 2 sin x 3sin x cosx 2cos x C 1 4sin x + - = + bi t cotx = -3 Bi 5: Ch ng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (s d ng nh 1 cụng th c) 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bi 6: Ch ng minh cỏc ng th c sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bi 7: * Ch ng minh cỏc bi u th c sau c l p i v i x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 2 2 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 p ộ ự ờ ỳ ẻ ờ ỳ ở ỷ II/. GI TR L NG GIC C A CUNG C BI T * Bi t 1 HSLG khỏc : Bi 1: Cho sinx = - 0,96 v i 3 x 2 2 p p ổ ử ữ ỗ < < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh ( ) ( ) sin x , cos x , tan x , cot 3 x 2 2 p p p p ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ + - + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 2 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố Bài 2: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p a p a b æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = - æ ö ÷ ç + - ÷ ç ÷ ç è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç + + - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - - ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 3: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p p p a a p a a p p p p a a a a p p p p a a p a a a æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - + - - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + + - - - + - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ÷ Bài 4: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x p p p p = + + + + + + + + = - - - + + + - + - Bài 5: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 188 1 2 A B 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 p p p p p æ ö ÷ ç - - - ÷ ç - ÷ ç è ø = = + æ ö + ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 6: Ch ng minh:ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o 2 2 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 2 2 p p p p - + - + = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + + + + + + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Ch ng minh:ứ A B C a /sin(A B) sin A; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos ; 2 2 3A B C d / cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = III/. CÔNG TH C L NG GIÁCỨ ƯỢ Bài 8: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ o o o o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 p p p p p Bài 10: Tính cos x 3 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø bi t ế 12 3 sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p =- Bài 11: Cho 2 góc nh n ọ , a b có 1 1 tan ,tan 2 3 a b = = . a/ Tính ( ) tan a b + b/ Tính a b + Bài 12: Cho 2 góc nh n x và y tho : ọ ả x y 4 tan x.tan y 3 2 2 p ì ï ï + = ï í ï ï = - ï î a/ Tính ( ) tan x y ;tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 3 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố Bài 13: Tính tan x 4 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø bi t ế 40 sin x 41 =- và 3 < x < 2 p p Bài 14: Tính tan 4 p a æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø theo tan a . Áp d ngụ : Tính tg15 o Bài 15: Tính: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tan 25 tan 20 1 tan15 A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C 1 tan 25 .tan 20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69 D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F 3 cot 261 tan 201 + + = + = = - - - = - = + = + Bài 16: Tính: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 2 2 b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x 3 3 3 3 p p p p p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = - + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 17: Ch ng minh bi u th c sau đ c l p đ i v i x:ứ ể ứ ộ ậ ố ớ 2 2 2 2 2 2 2 2 A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + - = + + + - ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 18: Ch ng minh:ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sin a cosa sinbcosb d /sin a sin a 2sina 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 19: Lo i 5ạ : H th c l ng trong tam giác ệ ứ ượ Cho tam giác ABC.Ch ng minhứ : 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 2 2 p = - = - æ ö ÷ ç ¹ ÷ ç ÷ ç è ø + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( h c thu c k t qu )ọ ộ ế ả Công th c bi n đ iứ ế ổ : Bài 20: BI N Đ I THÀNH T NGẾ Ổ Ổ ( ) ( ) o o 2 a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30 5 5 p p + - ( ) ( ) ( ) d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin 3x; f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a 6 6 p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 21: BI N Đ I THÀNH TÍCHẾ Ổ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 4 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố ( ) ( ) ( ) a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin x d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tan a + - + + - - + + - Bài 22: H TH C L NG TRONG TAM GIÁC Ệ Ứ ƯỢ Trong tam giác ABC.Hãy ch ng minh và h c thu c các k t qu sau :ứ ọ ộ ế ả A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - ( ) 2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( ti p theo Lo i 5- Trang 8)ế ạ Bài 23: Ch ng minh ứ ABCD vuông n u: ế 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cos A cosB; c / sin A sin B sin C 2 cos B cosC + = = + + + = + Bài 24: Ch ng minh ứ ABCD cân n u:ế 2 C sin B a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c/ tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A 2 sin C = + = + = = Bài 25: Ch ng minh ứ ABCD đ u n u:ề ế 1 3 a / cosA.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC 8 2 = + + = + + + + = Bài 26: Ch ng minh ứ ABCD cân ho c vuông n u:ặ ế ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - Bài 27: Hãy nh n d ng ậ ạ ABCD bi t:ế 2 2 2 sin A a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C cos B + + = + + = = B. HÀM S L NG GIÁCỐ ƯỢ I. Tìm t p xác đ nh c a hàm s l ng giác ậ ị ủ ố ượ Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 ≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm s y = tanx xác đ nh khi ố ị 2 x k π π ≠ + Hàm s y = cotx xác đ nh khi ố ị x k π ≠ Bài 1: Tìm t p xác đ nh c a các hàm s sau ậ ị ủ ố 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 5 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính ch n, l c a các hàm s l ng giác ẵ ẻ ủ ố ượ Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Ph ng pháp:ươ B c 1 : Tìm TXĐướ D ; Ki m tra ể ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ B c 2 : Tính f(-x) ; so sánh v i f(x) . Có 3 kh năngướ ớ ả − = → − = − → − ≠ ± → 0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính ch n, l c a các hàm s sau ẳ ẻ ủ ố 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Xét s bi n thiên c a hàm s l ng giác ự ế ủ ố ượ Chú ý : Hàm s y = sinx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả 2 ; 2 2 2 k k π π − + π + π ÷ Hàm s y = sinx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả 3 2 ; 2 2 2 k k π π + π + π ÷ Hàm s y = cosx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả ( ) 2 ; 2k k−π + π π Hàm s y = cosx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả ( ) 2 ; 2k kπ π + π Hàm s y = tanx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả ; 2 2 k k π π − + π + π ÷ Hàm s y = cotx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả ( ) ;k kπ π + π Bài 3* Xét s bi n thiên c a các hàm sự ế ủ ố 1) y = sinx trên ; 6 3 π π − ÷ 2) y = cosx trên kho ng ả 2 3 ; 3 2 π π ÷ 3) y = cotx trên kho ng ả 3 ; 4 2 π π − − ÷ 4) y = cosx trên đo n ạ 13 29 ; 3 6 π π 5) y = tanx trên đo n ạ 121 239 ; 3 6 π π − 6) y = sin2x trên đo n ạ 3 ; 4 4 π π − 7) y = tan3x trên kho ng ả ; 12 6 π π − ÷ 8) y =sin(x + 3 π ) trên đo n ạ 4 2 ; 3 3 π π − Bài 4: * Xét s bi n thiên c a các hàm sự ế ủ ố Hàm số Kho ngả 3 ; 2 π π ÷ ; 3 3 π π − ÷ 23 25 ; 4 4 π π ÷ 362 481 ; 3 4 π π − − ÷ y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 6 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố Chú ý Hs y = f(x) đ ng bi n trên K ố ồ ế ⇒ y = A.f(x) +B ®ång biÕntrªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕntrªn K nÕu A < 0 Bài 5* L p b ng bi n thiên c a hàm sậ ả ế ủ ố 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đo n ạ [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π + ÷ trên đo n ạ 2 ; 3 3 π π − IV. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s l ng giácủ ố ượ Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN c a các hàm s ủ ố 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm s y = f(x) đ ng bi n trên đo n ố ồ ế ạ [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a= = Hàm s y = f(x) ngh ch bi n trên đo n ố ị ế ạ [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN c a các hàm s ủ ố 1) y = sinx trên đo n ạ ; 2 3 π π − − 2) y = cosx trên đo n ạ ; 2 2 π π − 3) y = sinx trên đo n ạ ;0 2 π − 4) y = cos π x trên đo n ạ 1 3 ; 4 2 C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔ +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 7 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 8 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 −t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 9 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin 2 ) 42 ( π − x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin 3 tan 1 cos x x x x − + = 19/ tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = D. TỔ HP Tóm t t giáo khoaắ I. Quy t c đ mắ ế 1. Quy t c c ng:ắ ộ Gi s cơng vi c có th ti n hành theo m t trong hai ph ng án A vàả ử ệ ể ế ộ ươ B. Ph ng án A có th th c hi n b i n cách; ph ng án B có th th c hi n b i mươ ể ự ệ ở ươ ể ự ệ ở cách. Khi đó, cơng vi c đ c th c hi n theo n + m cách.ệ ượ ự ệ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 10 . + = − − + = − + + 11 . Công th c bi n đ i t ng thành tíchứ ế ổ ổ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- ườ Thanhemail94@gmail.com 1 Tr ng THPT Cam Ly Bi t p Toỏn kh i 11 cos cos 2cos. Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11 ố PH N I. Đ I S VÀ GI I TÍCHẦ Ạ Ố Ả I. CÁC CÔNG TH C L NG GIÁC KHÔNG TH NÀO QUÊNỨ ƯỢ Ể 1. Hai. ứ Thanhemail94@yahoo.com.vn- Tr ng THPT Cam Ly- Thanhemail94@gmail.com 2 Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11 ố Bài 2: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin