Trường THPT Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI HỌC KỲ 2 LỚP 11 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT Câu 1: Tinh 2 2 1 4 2 lim 3 n n n n + − − − + (1điểm) Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại 0 1x = − 2 3 5 4 1 1 ( ) 1 1 2 x x khi x x f x a khi x + + ≠ − + = + = − (1điểm) Câu 3: Chứng minh phương trình 3 6 1 2 0x x+ + − = có nghiệm dương. (1điểm) Câu 4: Tính '( 1)f − biết 2 4 3 ( ) 2 3 x f x x = + ÷ (1điểm) Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1y x= + . Biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng :6 2 1 0d x y+ − = (1điểm) Câu 6: Xác định giá trị của a để '( ) 0f x x> ∀ ∈¡ . 3 2 ( ) ( 1) (1 ) 1f x x a x a x= + − + − + (1điểm) Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, SA vuông góc với mặt đáy và 3SA a= . Biết ABCD là hình vuông cạnh 3a . a) Chứng minh ( )BD SAC⊥ và ( ) ( )SAB SAD⊥ (1.5 điểm) b) Tính góc giữa SB và (SAC) (0.5 điểm) c) Tính khoảng cách giữa SA và CD (1điểm) d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Gọi K là giao điểm của (AEF) với SC. Chứng minh AI EF⊥ (0.5 điểm) (Hình vẽ 0.5 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – KHỐI 11 – NĂM HỌC 2010-2011 Câu Đáp án Điểm 1) 1điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 lim 3 1 1 2 1 4 lim 3 1 1 0 0 4 0 1 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + − − − + + − − − = + + − − − = + + − − − = + = − 0.25 0.25 0.25 0.25 2) 1điểm 0 1 ( ) ( 1) 2 f x f a= − = + 0 2 3 2 2 1 1 1 5 4 ( 1)( 4) ( 4) lim ( ) lim lim lim 1 1 ( 1)( 1) ( 1) x x x x x x x x x x f x x x x x x x → →− →− →− + + + + + = = = = + + − + − + Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 0 0 1 ( ) lim ( ) 2 x x f x f x a → = ⇔ = 0.25 0.5 0.25 3) 1điểm 3 3 3 6 1 2 0 6 1 2 6 3 0x x x x x x+ + − = ⇔ + + = ⇔ + − = Đặt 3 ( ) 6 3f x x x= + − , ( )f x liên tục trên [ ] 0;1 (0) 3 (0). (1) 0 (1) 4 f f f f = − ⇒ < = Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong (0;1) hay nghiệm dương. 0.25 0.25 0.25 0.25 4) 1điểm / 4 4 4 3 3 3 3 2 4 3 3 2 4 '( ) 2 2 . 2 2 2 6 3 3 3 3 ( 1) 4( 1) 140 '( 1) 2 2( 1) 6( 1) 3 3 9 x x x x f x x x x x f = + + = + + ÷ ÷ ÷ ÷ − − − ⇒ − = − + − + = ÷ ÷ 0.25 0.25 0.25 0.25 5) 1điểm Ta có: (2 1)' 1 '( ) 2 2 1 2 1 x f x x x + = = + + 0.25 0 0 1 6 2 1 0 3 3 1 '( ).( 3) 1 '( ) 3 x y y x Suy ra f x f x + − = ⇔ = − + − = − ⇔ = Từ đó ta được: 0 0 0 0 1 1 2 1 3 4 3 2 1 2.4 1 3 x x x Suy ra y = ⇒ + = ⇔ = + = + = Phương trình tiếp tuyến: 0 0 0 1 5 '( ).( ) 3 3 y y f x x x y x− = − ⇒ = + 0.25 0.25 0.25 6) (1điểm) 2 '( ) 3 2( 1) (1 )f x x a x a= + − + − Để thỏa yêu cầu bài toán thì 2 2 3 0 0 0 ( 1) 3(1 ) 0 2 0hay a a a a > ⇔ ∆ < ∆ < − − − < ⇔ + − < ( ) 2;1Suy ra a ∈ − thì thỏa yêu cầu bài toán. 0.25 0.25 0.25 0.25 7) 0.5điểm 0.5 7a) 1.5điểm Ta có: ( ) ( ( )) ( ) BD AC gt BD SA SA ABCD BD SAC ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: ( ) ( ( )) ( ) (1) ( ) (2) AB AD gt AB SA SA ABC D AB SAD AB SAB ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( )SAB SAD⊥ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 7b) 0.5điểm Ta có: BD AC⊥ và BD AC O∩ = nên O là hình chiếu của B lên (SAC) Suy ra: · BOS là góc cần tìm Mặt khác: 6SB SD BD a= = = nên tam giác SBD là tam giác đều. Suy ra · 0 30BOS = 0.25 0.25 0.25 0.25 7c) 1điểm Ta có: ( ( ))AD SA SA ABCD⊥ ⊥ AD CD ⊥ (ABCD là hình vuông) Suy ra: AD là đoạn vuông góc chung. Vậy khoảng cách giữa SA và CD là 3AD a= 0.25 0.25 0.25 0.25 7d) 1điểm ( )EF BD EF SAC⇒ ⊥P Mặt khác: ( )AI SAC⊂ Suy ra: EF AI⊥ 0.25 0.25 . →− →− + + + + + = = = = + + − + − + Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 0 0 1 ( ) lim ( ) 2 x x f x f x a → = ⇔ = 0.25 0.5 0.25 3) 1điểm 3 3 3 6 1 2 0 6 1 2 6 3 0x x x x x x+ + − = ⇔ + + = ⇔ + −. 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + − − − + + − − − = + + − − − = + + − − − = + = − 0.25 0.25 0.25 0.25 2) 1điểm 0 1 ( ) ( 1) 2 f x f a= − = + 0 2 3 2 2 1 1 1 5 4 ( 1)( 4) ( 4) lim (. (AEF) với SC. Chứng minh AI EF⊥ (0.5 điểm) (Hình vẽ 0.5 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – KHỐI 11 – NĂM HỌC 2010-2 011 Câu Đáp án Điểm 1) 1điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 lim 3 1