Những bài toán tổng hợp về các đường conic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2015 Lời nói đầu Những bài toán về các đường conic là một phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng, các đề thi olympic quốc gia và quốc tế. Hiện nay cũng đã có khá nhiều tài liệu tham khảo viết về các bài toán liên quan đến đường conic. Tuy nhiên, các tài liệu đó đa phần mới chỉ nêu ra các dạng bài tập rời rạc hoặc với các trường hợp áp dụng cho số cụ thể mà chưa nêu ra các bài toán mang tính tổng quát, tổng hợp. Chính vì điều đó đã thôi thúc tác giả nghiên cứu đề tài "Những bài toán tổng hợp về các đường conic". Hy vọng luận văn sẽ góp phần giúp cho các học sinh và các thầy cô giáo trung học phổ thông có cái nhìn tổng quát, cô đọng về các vấn đề liên quan đến đường conic thông qua các bài toán tổng hợp. Ngoài phần lời nói đầu, luận văn gồm hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày kiến thức về các đường bậc hai, làm cơ sở để sử dụng trong chương sau. Chương 2 dành để trình bày các bài toán tổng hợp về các đường conic, đây là những bài toán tổng quát làm nền tảng ứng dụng tốt cho những bài toán với số cụ thể, cho cách nhìn bao quát, tổng hợp về các đường conic. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Minh Khoa. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học Thái Nguyên), các thầy giáo, cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ i ii tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp ở trường THCS và THPT Chu Văn An, thành phố Móng Cái, Quảng Ninh đã động viên, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả Hoàng Văn Trọng Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 Các đường bậc hai 1 1.1. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip . . . . . . 3 1.2.3. Dạng đồ thị của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4. Tâm sai của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của hypebol . . . 7 1.3.3. Dạng đồ thị của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4. Tâm sai của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 iii iv 1.4.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của parabol . . . . 11 1.4.3. Dạng đồ thị của parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Khảo sát phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1. Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2. Phép quay hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.3. Phép biến hình tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4. Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . 18 2 Bài toán tổng hợp về các đường conic 19 2.1. Bài toán tổng hợp về đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Bài toán tổng hợp về đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Bài toán tổng hợp về đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 1 Các đường bậc hai Trong chương này, tác giả trình bày một số khái niệm và kết quả về các đường bậc hai. 1.1. Đường tròn 1.1.1. Định nghĩa Đường tròn là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng không đổi. Điểm cố định gọi là tâm của đường tròn, khoảng không đổi gọi là bán kính của đường tròn. 1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn Ta lập phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R: Điểm M(x; y) thuộc đường tròn khi và chỉ khi: IM = R ⇔  (x −a) 2 + (y −b) 2 = R ⇔ (x −a) 2 + (y −b) 2 = R 2 . (1.1) Ta có (1.1) là phương trình chính tắc của đường tròn. Ví dụ 1.1. Phương trình đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 2 là: (x −2) 2 + (y + 3) 2 = 4. 1 2 x y b a I M O Hình 1.1: Nhận xét 1.2. - Nếu a = 0, b = 0 ta có: x 2 + y 2 = R 2 là phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R. - Khai triển (1.1) ta được phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − R 2 = 0. (1.2) Ta thấy (1.2) là phương trình bậc hai đối với x, y, trong đó các hệ số của x 2 , y 2 bằng nhau, không có số hạng chéo xy. Ngược lại phương trình bậc hai dạng (1.2) biểu diễn một quỹ tích nào đó thì đó là đường tròn. Ví dụ 1.3. Phương trình x 2 − 4x + y 2 + 6y + 12 = 0, có đặc điểm như đã nhận xét. Bởi vì phương trình đã cho tương đương với phương trình: (x −2) 2 + (y + 3) 2 = 1. Đây là phương trình của đường tròn tâm I(2; −3), bán kính R = 1. 3 1.2. Đường elip 1.2.1. Định nghĩa Elip là tập hợp những điểm mà tổng khoảng cách tới hai điểm cố định F 1 , F 2 bằng một hằng số 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F 1 , F 2 . Hai điểm F 1 , F 2 được gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. 1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip Nhận xét 1.4. 1) Điểm M trong mặt phẳng thuộc elip thì: MF 1 + MF 2 = 2a, (1.3) trong đó a > c > 0. 2) Từ định nghĩa ta thấy elip nhận các đường thẳng đi qua F 1 F 2 và đường trung trực của đoạn thẳng F 1 F 2 làm trục đối xứng. x y F 2 F 1 O M Hình 1.2 Để cho phương trình của elip được đơn giản, ta chọn hệ tọa độ Đề các Oxy với: Ox là trục đi qua F 1 , F 2 hướng từ F 2 đến F 1 , Oy là đường trung trực của F 1 F 2 , gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn F 1 F 2 . 4 Khi đó các điểm có tọa độ là: O(0; 0), F 2 (−c; 0), F 1 (c; 0). Điểm M(x; y) trong mặt phẳng Oxy suy ra MF 1 =  (x −c) 2 + y 2 , MF 2 =  (x + c) 2 + y 2 . Vậy đẳng thức (1.3) trở thành  (x −c) 2 + y 2 +  (x + c) 2 + y 2 = 2a ⇔  (x −c) 2 + y 2 = 2a −  (x + c) 2 + y 2 . Bình phương hai vế, ta có x 2 − 2xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2xc + c 2 + y 2 − 4a  (x + c) 2 + y 2 ⇔ a  (x + c) 2 + y 2 = cx + a 2 . Tiếp tục bình phương hai vế ta được a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) = c 2 x 2 + 2a 2 cx + a 4 ⇔ (a 2 − c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ). Vì a > c =⇒ a 2 − c 2 > 0. Đặt a 2 − c 2 = b 2 , ta có: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇔ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. (1.2.2) Ta có (1.2.2) là phương trình chính tắc của elip. 1.2.3. Dạng đồ thị của elip Từ phương trình (1.2.2) của elip ta thấy nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các điểm M 1 (x; −y), M 2 (−x; y), M 3 (−x; −y) cũng thuộc elip. Điều này có nghĩa là đường elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tương giao của elip với các trục tọa độ: Cho y = 0, từ (1.2.2) =⇒ x = ±a. Vậy elip cắt trục Ox tại hai điểm A 2 (−a; 0), A 1 (a; 0). Cho x = 0, từ (1.2.2) =⇒ y = ±b. Vậy elip cắt trục Oy tại hai điểm B 1 (0; b), B 2 (0; −b). Bốn điểm A 1 , A 2 , B 1 , B 2 gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A 1 A 2 với độ dài 2a được gọi là trục lớn của elip. Đoạn thẳng B 1 B 2 với độ dài 2b gọi là trục nhỏ. Ta gọi a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ. Gốc tọa độ O(0; 0) gọi là tâm của elip. [...]... một parabol hoặc một parabol suy biến thành một cặp đường thẳng song song hoặc trùng nhau, hoặc một đường ảo Chương 2 Bài toán tổng hợp về các đường conic 2.1 Bài toán tổng hợp về đường elip Cho Elip x2 y 2 + = 1, a2 b2 0 < b ≤ a (E) Bài toán 2.1.1 Với mọi điểm M ∈ (E), chứng minh b ≤ OM ≤ a Lời giải Cách 1: Giả sử M (x0 ; y0 ) ∈ (E), ta có 1= 2 2 x2 y0 x2 y0 0 0 + 2 ≤ 2 + 2 ⇒b≤ a2 b b b 2 x2 + y0... điều phải chứng minh Cách 2: Yêu cầu bài toán ⇔ Hệ tương giao tồn tại duy nhất nghiệm Từ đây đi đến hệ thức cần chứng minh Bài toán 2.1.7 Chứng minh rằng nếu đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E) thì đường thẳng ∆ : Ax + By − C = 0 cũng tiếp xúc (E) Lời giải ∆ tiếp xúc (E)⇒ a2 A2 + b2 B 2 = C 2 ⇒ a2 A2 + b2 B 2 = (−C)2 ⇒ ∆ tiếp xúc (E) Bài toán 2.1.8 Chứng minh rằng nếu đường thẳng ∆ : Ax +... 2 + 1) + b2 (k 2 + 1) = y0 (k 2 + 1) + x2 (k 2 + 1) 0 2 ⇔ x2 + y0 = a2 + b2 0 Vậy tập hợp các điểm I thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm O(0; 0), bán √ kính R = a2 + b2 Bài toán 2.1.10 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm đến một tiếp tuyến bất kì của (E) là không đổi Chứng minh ⊕ Trường hợp tiếp tuyến xiên góc với Ox: Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = kx + m ⇔ kx... áp dụng (2) trong Bài toán 2.1.17, suy ra b2 b2 = F2 N = a + c cos(α + π) a − c cos α Do đó 1 a + c cos α a − c cos α 2a 1 + = + = 2 F2 M F2 N b2 b2 b Bài toán 2.1.19 Với giả thiết Bài toán 2.1.17, tìm α để M N nhỏ nhất Lời giải Sử dụng kết quả Bài toán 2.1.17 ta có π 2ab2 ) min ⇔ cos α = 0 ⇔ α = M N = F2 M + F2 N = ( 2 a − c2 cos α 2 Khi đó MN vuông góc với trục lớn của (E) Bài toán 2.1.20 Tiếp tuyến... thì b càng gần về a a, elip tiến đến đường tròn Do đó tâm sai đặc trưng cho dáng điệu của elip Vậy nếu e càng gần 1 thì 1.3 Đường hypebol 1.3.1 Định nghĩa Hypebol là tập hợp những điểm mà hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định F1 , F2 bằng một hằng số dương 2a bé hơn khoảng cách giữa hai điểm F1 , F2 Hai điểm F1 , F2 gọi là tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 = 2c được gọi là tiêu cự 1.3.2 Thuật toán xây dựng... 2 + 2, a b là đại lượng không đổi Bài toán 2.1.13 Với giả thiết Bài toán 2.1.12, chứng minh rằng P Q luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Lời giải 27 Dựng OH⊥P Q, trong tam giác vuông P OQ ta có 1 1 1 1 1 ab = + = 2 + 2 ⇒ OH = √ OH 2 OP 2 OQ2 a b a2 + b2 ab Từ đây suy ra P Q luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O, bán kính R = √ a2 + b2 Bài toán 2.1.14 Một đường thẳng (g) qua F2 (c; 0) vuông... của hypebol Tâm sai e càng gần 1, tỷ số 1.4 Đường parabol 1.4.1 Định nghĩa Parabol là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định F và một đường thẳng cố định ∆ không đi qua F Điểm cố định F được gọi là tiêu điểm của parabol, ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol Khoảng cách p = F I từ tiêu điểm F tới đường chuẩn ∆ được gọi là tham số của parabol 1.4.2 Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của... (1)) 2 2 Bài toán 2.1.4 Tìm tâm sai của (E) biết khoảng cách giữa hai đỉnh trên trục nhỏ Vậy e = và trục lớn bằng tiêu cự Lời giải Vì khoảng cách giữa hai đỉnh trên trục lớn và trục nhỏ bằng tiêu cự nên: a2 + b2 = 2c ⇔ a2 + b2 = 4c2 (1) Mặt khác ta có a2 − b2 = c2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 2a2 = 5c2 ⇒ a2 = c2 (3) 2 22 Do đó c2 2 c2 = e = 2 = 5 2 a 5 c 2 2 (Do (3)) 2 5 Bài toán 2.1.5 Một đường thẳng... b về 0 Do đó kết hợp với tính đối xứng ta có đường elip có dạng như hình vẽ sau y b -a F1 F2 O -c a x c -b Hình 1.3 Nhận xét 1.5 1) Khi a = b (tức là c = 0), phương trình (1.2.2) ⇔ x2 + y 2 = a2 , đây là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính bằng a Vậy đường tròn là dạng đặc biệt của elip, là elip có các bán trục bằng nhau 2) Phương trình: x2 y 2 + = 1, a2 b2 trong đó b > a > 0 là elip nhận các. .. (5) theo vế ta được M F2 = a − c.xM a x 30 Bài toán 2.1.17 Khi F2 M hợp với trục Ox một góc α Tính F2 M theo a, b, c, α Lời giải Ta có v = F2 M = a − c.xM (1) a Mặt khác xM = OH = OF2 + F2 H = c + F2 M cos α = c + v cos α Vậy từ (1) ta có a2 − c2 b2 c = (2) v = a − (c + v cos α) ⇒ v = a a + c cos α a + c cos α 1 1 2a Bài toán 2.1.18 Với giả thiết Bài toán 2.1.17, chứng minh + = 2 F2 M F2 N b Lời . trình bày các bài toán tổng hợp về các đường conic, đây là những bài toán tổng quát làm nền tảng ứng dụng tốt cho những bài toán với số cụ thể, cho cách nhìn bao quát, tổng hợp về các đường conic. Luận. TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên. toán tổng hợp về đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Bài toán tổng hợp về đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Bài toán tổng hợp về đường parabol