Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 1 Bài giảng số 8: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Trường hợp Định lý Kí hiệu Hình minh họa Cạnh – cạnh – cạnh Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau ΔABC vàΔDEFcó: AB = DE AC = DF BC = EF ΔABC = ΔDEF (c - c - c) Cạnh – góc – cạnh Nếu 2 cạnh và góc xengiữa của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau ΔABC và DEFcó: AB = DE ˆˆ B = E BC = EF ΔABC = DEF (c - g - c) Hệ quả: Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau Góc – cạnh – góc Nếu 1 cạnh và 2 góc kề cạnh ấy của tam giác này bằng 1 cạnh và 2 góc kề cạnh ấy của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau ΔABC và DEFcó: ˆˆ B = E BC = EF ˆ ˆ C = F ΔABC= DEF (g - c - g) Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau Hệ quả 2:Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh *Phương pháp chứng minh - Xét hai tam giác cần chứng minh - Chỉ ra lần lượt ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau - Kết luận tam giác bằng nhau a) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A,B sao cho OA = OB. Lấy C nằm trong góc xOy sao cho CA = CB. Chứng minh: a) OAC = OBC b) OC là tia phân giác của góc xOy Giải: GT o xOy 180 ; A Ox; B Oy; OA = OB C xOy; CA= CB KL a) OAC = OBC b) OC là tia phân giác của góc xOy Chứng minh: a) Xét OAC và OBC có: - OA = OB (gt) - CA=CB (gt) - OC chung Vậy OAC = OBC (c-g-c) b) Ta có OAC = OBC (chứng minh câu a) AOC = BOC (góc tương ứng) OC là tia phân giác của góc xOy Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) ABM = ACM b) AM là tia phân giác của góc A và ˆ ˆ B = C c) Tính số đo AMB d) Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA. Chứng minh CK // AB Giải: Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 3 GT ΔABC, AB = AC M BC; MB MC; KL a) ABM = ACM b) AM là phân giác của góc A và ˆ ˆ B = C c) Tính số đo góc AMB Chứng minh a) Xét ΔABM và ΔACM có: - AB = AC (gt) - MB = MC (gt) - AM chung ΔABM = ΔACM (c-c-c) b) Theo chứng minh câu a) ta có: ΔABM = ΔACM ABM = ΔACM (Góc tương ứng) hay B = C c) ΔABM = ΔACM (chứng minh câu a.) AMB = AMC mặt khác AMB AMC 180 o (Hai góc kề bù) AMB 90 o Ví dụ 3: Cho ABC= A'B'C' . Gọi M là trung điểm của BC, M’ là trung điểm của B'C' biết AM= A'M' . Chứng minh a) AMB= A'M'B' b) AMC = A'M'C' Giải GT ABC= A'B'C' M BC; MB MC; M' B'C'; M'B' = M'C' ; AM = A'M' KL a) AMB= A'M'B' b) AMC = A'M'C' Chứng minh a) Vì ABC= A'B'C' nên ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 4 - AB= A'B' (1) - BC= B'C' (2) Vì M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B'C' nên MB = MC (3); M'B'= M'C' (4) Từ (2) ; (3) ; (4) suy ra MB=M'B' (5) Xét AMB và A'M'B có - AB= A'B' (theo (1).) - AM= A'M' (theo giả thiết) - MB=M'B' (theo (5).) AMB= A'M'B' (c-c-c) b) AMB= A'M'B' (cmt) AMB A'M'B' (góc tương ứng) (6) mặt khác AMC 180 AMB o (t/c hai góc kề bù) (7) A'M'C' 180 A'M'B' o (t/c hai góc kề bù) (8) Từ (6) ; (7) ; (8) suy ra AMC = A'M'C' Bài tập áp dụng Bài 1: Trên hình vẽ có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao? Bài 2: Dựng tam giác ABC biết AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm HD: Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, Vẽ đường tròn (A; 4cm) và đường tròn (B; 5cm). Giao điểm của hai đường tròn là đỉnh C Bài 3: Cho hình vẽ Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 5 Chứng minh rằng : a) ΔADE = ΔBDE b) Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D và E la điểm trên cạnh BC sao cho BD = DE = EC , biết AD = AE. a) Chứng minh EAB = DAC b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE c) Giả sử DAE 60 o , có nhận xét gì về các góc của tam giác AED? HD: a) Chứng minh ΔEAB = ΔDAC EAB = DAC b) Chứng minh 2) Trường hợp bằng nhau thứ 3: Cạnh – Góc – Cạnh *Phương pháp chứn minh - Xét hai tam giác cần chứng minh - Chỉ ra 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau và các góc xen giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau - Kết luận hai tam giác bằng nhau a) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Trên tia đối của tia MB lấy D sao cho MB = MD; trên tia đối của tia NC lấy E sao cho NE = NC. Chứng minh: a) ΔNEA = ΔNCB; ΔMBC = ΔMDA b) A là trung điểm của ED Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi C là một điểm bất kì trên tia Oz. Chứng minh a) AC = BC và xAC yBC Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 6 b) AB Oz b) Bài tập áp dụng Bài 1: Tính số đo góc x trên hình vẽ Bài 2: Cho ABC có ˆ A = 90 o và AB< AC . Gọi M là trung điểm của AC, trên tia BM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn BN. Chứng minh a) CN AC và CN = AB b) AN = BC và AN // BC Bài 3: Cho góc xAy khác góc bẹt, trên tia Ax lấy 2 điểm B, D; trên tia Ay lấy 2 điểm C, E sao cho AB=AC, AD=AE a) Chứng minh tam giác ACD và tam giác ABE bằng nhau b) Chứng minh = BOD COE . Với O là giao điểm của DC và BE c) Chứng minh AO vuông góc với DE Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M. a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC. b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC. c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh góc BAC = 2BIH Bài 5: Cho tam giác ABC có o A < 90 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ Ax vuông góc với AB, lấy D thuộc Ax sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ay vuông góc với AC, lấy E thuộc Ay sao cho AE = AC a) Chứng minh ADC ABE b) Chứng minh BE CD 3. Trường hợp Góc – Cạnh – Góc *Phương pháp chứng minh - Xét hai tam giác cần chứng minh - Chỉ ra 2 cặp góc tương ứng bằng nhau và 1 cặp cạnh kề 2 góc đó bằng nhau - Kết luận tam giác bằng nhau A H B K I 40 1 2 x Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 7 a) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm AC. Từ A vẽ đường thẳng song song BC cắt BD tại E. trên cạnh BC lấy M, đường thẳng DM cắt AE tại N Chứng minh : a) ΔADE = ΔCDBđể suy ra AE = BC. b) ΔNDE = ΔMDBđể suy ra D là trung điểm MN. c) AB // EC GT ABC,DA = DC AE//BC; AE BD E M BC; DM AE N KL a) ΔADE = ΔCDB để suy ra AE = BC. b) ΔNDE = ΔMDB để suy ra D là trung điểm MN. c) AB // EC Chứng minh a)Xét ΔADE và ΔCDB, ta có : - (so le trong). - DA = DC (D là trung điểm AC) - (đối đỉnh). ΔADE = ΔCDB (g – c – g) AE = BC. b) Xét ΔNDE và ΔMDB, ta có : - (so le trong). - DE = DB (ΔADE = ΔCDB) - (đối đỉnh). ΔADE = ΔCDB (g – c – g) DM = DN Hay D là trung điểm MN. c) Xét ΔADB và ΔCDE, ta có : - DA = DC (D là trung điểm AC) - (đối đỉnh). - DE = DB (ΔADE = ΔCDB) ΔADE = ΔCDB (c – g – c) Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 8 Mà: ở vị trí so le trong nên AB // EC. Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc B. Từ I hạ ID AB, IE AC, IF BC. Chứng minh: a) IDA= IEA b) ID = IE = IF c) CI là tia phân giác của góc C từ đó rút ra nhận xét về tính chất các tia phân giác của các góc trong một tam giác. GT ΔABC, I là giao điểm của phân giác góc A và phân giác góc B ID AB; IE AC; IF AC KL a) IDA= IEA . b) ID=IE=IF c) CI là phân giác góc C. Nhận xét? Chứng minh a) Xét hai tam giác vuông IDA và IEA có: - IA chung - IAD IAE (gt) IDA = IEA (hệ quả cạnh huyền – góc nhọn) b) IDA= IEA (cmt) ID= IE (cạnh tương ứng) (1) Xét hai tam giác vuông IDB và IFB có - IB chung - IDB IFB (gt) IDB= IFB (hệ quả cạnh huyền – góc nhọn) ID= IF (2) Từ (1) và (2) ID= IE = IF (3) c) Xét hai tam giác vuông IFC và IEC có - IC chung Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 9 - IF = IE (theo (3).) IFC = IEC (hệ quả cạnh huyền – góc nhọn) ICE ICF (góc tương ứng) Hay CI là tia phân giác của góc C *Nhận xét: Ba tia phân giác của ba góc trong một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác đó b) Bài tập áp dụng Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC. trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA. Chứng minh rằng : a) ΔACD = ΔEBD. b) AC // BE. c) AB = CE. Bài 2. Vẽ tam giác ABC biết o B= 60 ; BC = 4cm ; C 40 o Bài3. Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy M là trung điểm của BC. Trên tia DA lấy điểm D sao cho AM = MD. Chứng minh : a) ΔAMB = ΔDMC. b) AB // CD. c) góc CDA vuông. d) AM = BM. Bài 4: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của canh AB, đường thẳng kẻ qua D song song với cạnh BC cắt AC ở E, đường thẳng kẻ qua E song song với cạnh AB cắt BC ở F Chứng minh rằng: a) ΔBFD = ΔEFD b) AD = EF c) AE = EC và BF = FC d) BC = 2DE và AB = 2EF . vuông của tam giác vuông này bằng 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau Góc – cạnh – góc Nếu 1 cạnh và 2 góc kề cạnh ấy của tam giác này bằng 1 cạnh. EDUFLY-09 877 08400 Page 1 Bài giảng số 8: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Trường hợp Định lý Kí hiệu Hình minh họa Cạnh – cạnh – cạnh Nếu 3 cạnh của tam. tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau Hệ quả 2:Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng