PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 ĐỀ 2 Câu 1(3 điểm) a. Tìm số dư trong phép chia 2,2 198,45,27,12 2345 − −+−+− x xxxxx b. Tính 2,5% của 7 5 2 85 83 : 2 30 18 3 0,04 − ÷ câu2(5 điểm) a.Tính giá trị biểu thức: A = 2 3 3 1 : 1 1 1 a a a + − + ÷ ÷ + − với a = 3 2 3 + (Chính xác đến 0,01). b. Cho biểu thức B = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x . Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x. câu 3 (3 điểm) Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%. a. Viết công thức tính dân số sau n năm. b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm. c. Dân số nước đó sau n năm (n ∈ Z + ) sẽ vượt 100 triệu. Tìm số n bé nhất câu 4 (4 điểm) Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1). Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó: a. Là bình phương của một số tự nhiên. b. Là lập phương của một số tự nhiên. Câu 5 (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm. AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác. a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001) b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001) 1 PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ 2 Bài1 : a. Tìm số dư trong phép chia 2,2 198,45,27,12 2345 − −+−+− x xxxxx b. Tính 2,5% của 7 5 2 85 83 : 2 30 18 3 0,04 − ÷ 3,0đ Ta có P (x) = Q (x) (x-a) + r, với P (x) , Q (x) là các đa thức, r là số dư. Cho x = a ta được r = P (x) , Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia đa thức cho đơn thức trở thành bài toán tìm P (a) của biểu thức P (x) . 0,25 đ Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ 4 2,5 3 4,8 0,5đ 2 9 1 Kq: r = P(2,2) = 85,43712 0,25 đ ấn: 85 7 30 83 5 18 0,75 đ 2 2 3 0,04 2,5 100 Kq: 0,458333333. 0,75 đ Bài 2: a.Tính giá trị biểu thức: A = 2 3 3 1 : 1 1 1 a a a + − + ÷ ÷ + − với a = 3 2 3 + (Chính xác đến 0,01). b. Cho biểu thức B = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x . Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x. 5,0đ Ta có: A = a a a a a a a −= + − = − −+ + −+ 1 1 1 1 13 : 1 13 2 2 22 1đ 2 SHIF T STO ^ - x ALPH ^ + ^ - = a b/c - : x = A A ^ ALPH A ALPH A + ALPH A - a b/c a b/c a b/c = a b/c a b/c = : = : Với a = 3 2 3 + ⇒ A = )32(2 32 2 32 3 1 −= + = + − 1đ ấn: 2 2 3 0,5đ 1 2 Kq: 0,73. 0,5đ B = 3(sin 4 x + cos 4 x)(sin 2 x + cos 2 x)(sin 2 x - cos 2 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x = 3sin 6 x + 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x - 3cos 6 x + 4cos 6 x - 8sin 6 x + 6sin 4 x 0,5đ = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x - 5sin 6 x + 6sin 4 x = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x(1 - sin 2 x) + sin 6 x 0,5đ = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x.cos 2 x + sin 6 x = 3 cos 4 x.sin 2 x + 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + sin 6 x 0,5đ = 3 cos 2 x.sin 2 x(cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 x + sin 2 x) 3 - 3 sin 2 x. cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) = 1 Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x. 0,5đ Bài 3: Bài 3: Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%. a. Viết công thức tính dân số sau n năm. b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm. c. Dân số nước đó sau n năm (n ∈ Z + ) sẽ vượt 100 triệu. Tìm số n bé nhất. 3đ Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%. Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m) 0,25 đ Sau 2 năm tổng số dân sẽ là: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m) 2 . 0,25 đ Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m) 2 + a.(1 + m) 2 .m = a.(1 + m) 3 . 0,25 đ Vậy sau n năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m) n . 0,25 đ b. áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có: 80.000.000 1 0,012 20 Kq: 101 554 749. người. 1đ c. Ta có: a.(1 + m) n = 100 000 000., m = 1,2% Với n = 19 ta tìm được số dân 100 350 542 người. Với n = 18 ta tìm được số dân 99 160 615 người 0,5đ Vậy số n (n ∈ Z + ) nhỏ nhất để dân số vượt quá 100 triệu dân là: n = 19. 0,5đ 3 MOD E MOD E MOD E MOD E MOD E x ( - ) = ( + ) ^ = x Bài 4 Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1). Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó: a. Là bình phương của một số tự nhiên. b. Là lập phương của một số tự nhiên. 4đ Số a = 1.2.3…17 chứa các luỹ thừa của 2: 2 x 2 2 x 2 x 2 3 x 2 x 2 2 x 2 x 2 4 = 2 15 . Vì trong tích a = 1.2.3…17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 3 2 x 3 x 3 = 3 6 (vì a chứa các số: 3, 6, 9, 12, 15). 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 5 3 (vì a chứa các số: 5, 10, 15). 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 7: 7 x 7 = 7 2 (vì a chứa các số: 7, 14). 0,5đ a. ước số lớn nhất của a là bình phương của một số tự nhiên là: 2 14 x 3 6 x 5 2 x 7 2 = (2 7 x 3 3 x 5 x 7) 2 = 120960 2 = 14 631 321 600. (Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa) 1,0đ b. ước số lớn nhất của a là lập phương của một số tự nhiên là: 2 15 x 3 6 x 5 3 = (2 5 x 3 2 x 5) 3 = 1440 3 = 2 985 984 000. Kq: a. 4 631 321 600; b. 2 985 984 000. 1,0đ Bài 5 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm. AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác. a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001) b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001) 5đ a b D M C B A 0,25 đ a. Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = a 2 + b 2 . (Theo Pitago) Theo tính chất đường phân giác ta có: ACAB AB CDBD BD AC AB CD BD + = + ⇒= 0,25 đ 4 ⇔ ba a BC BD + = ⇒ BD = ba baa ba BCa + + = + 22 . 0,5đ Và CD = BC - BD = ba bab ba baa ba + + = + + −+ 2222 22 0,25 đ Tính BD: 14,25 14,25 23,5 0,25 đ 14,25 23,5 1 4 Kq: 10,3744 cm. 0,25 đ Tính CD: 23,5 14,25 23,5 0,25 đ 14,25 23,5 1 4 Kq: 17,1086 cm. 0,25 đ Gọi x là diện tích tam giác ADM, S là diện tích tamgiác AMC (và cũng là diện tích tam giác AMB), ta có: b a AC AB CD BD S S ACD ABD === 0,25 đ S ABD = S ABM - S ADM = S - x; S ACD = S + x ; Vậy b a xS xS = + − 0,5đ Mà S = 2 1 S ABC = 4 .ba b axabxab b a x ab x ab = +− ⇔= + − ⇒ 4 4 : 4 4 4 4 0,5đ ⇒ b a xab xab = + − 4 4 bxaxbaabaxbabxab 4444 2222 +=−⇔+=−⇔ 0,5đ )(4 )( )()(4 ba abab xababbax + − =⇔−=+⇔ 0,5đ ấn: 14,25 23,5 23,5 14,25 0,25 đ 5 x ( - ) : x MOD E x ( x 2 + x 2 ) : ( + = MOD E MOD E MOD E MOD E x ( x 2 + x 2 ) : MOD E ( + = MOD E MOD E MOD E MOD E 4 14,25 23,5 1 4 Kq: 20,5139. 0,25 Bài1 : a. Tìm số d trong phép chia 2,2 198,45,27,12 2345 ++ x xxxxx b. Tính 2,5% của 7 5 2 85 83 : 2 30 18 3 0,04 ữ 3,0đ Ta có P (x) = Q (x) (x-a) + r, với P (x) , Q (x) là các đa thức, r là số d. Cho x = a ta đợc r = P (x) , Do đó bài toán tìm số d trong phép chia đa thức cho đơn thức trở thành bài toán tìm P (a) của biểu thức P (x) . 0,25 đ Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ 4 2,5 3 4,8 0,5đ 2 9 1 Kq: r = P(2,2) = 85,43712 0,25 đ ấn: 85 7 30 83 5 18 0,75 đ 2 2 3 0,04 2,5 100 Kq: 0,458333333. 0,75 đ Bài 2: a.Tính giá trị biểu thức: A = 2 3 3 1 : 1 1 1 a a a + + ữ ữ + với a = 3 2 3 + (Chính xác đến 0,01). b. Cho biểu thức B = 3(sin 8 x cos 8 x) + 4(cos 6 x 2sin 6 x) + 6sin 4 x . Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x. 5,0đ Ta có: A = a a a a a a a = + = + + + 1 1 1 1 13 : 1 13 2 2 22 1đ 6 SHIF T STO ^ - x ALPH ^ + ^ - = a b/c - : x = A A ^ ALPH A ALPH A + ALPH A - a b/c a b/c a b/c = a b/c a b/c = : = : + = ( ( ) MOD E MOD E MOD E MOD E MOD E x Với a = 3 2 3 + A = )32(2 32 2 32 3 1 = + = + 1đ ấn: 2 2 3 0,5đ 1 2 Kq: 0,73. 0,5đ B = 3(sin 4 x + cos 4 x)(sin 2 x + cos 2 x)(sin 2 x - cos 2 x) + 4(cos 6 x 2sin 6 x) + 6sin 4 x = 3sin 6 x + 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x - 3cos 6 x + 4cos 6 x - 8sin 6 x + 6sin 4 x 0,5đ = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x - 5sin 6 x + 6sin 4 x = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x(1 - sin 2 x) + sin 6 x 0,5đ = 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x.cos 2 x + sin 6 x = 3 cos 4 x.sin 2 x + 3 sin 4 x. cos 2 x + cos 6 x + sin 6 x 0,5đ = 3 cos 2 x.sin 2 x(cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 x + sin 2 x) 3 - 3 sin 2 x. cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) = 1 Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x. 0,5đ Bài 3: Bài 3: Dân số một nớc là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%. a. Viết công thức tính dân số sau n năm. b. Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm. c. Dân số nớc đó sau n năm (n Z + ) sẽ vợt 100 triệu. Tìm số n bé nhất. 3đ Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%. Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m) 0,25 đ Sau 2 năm tổng số dân sẽ là: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m) 2 . 0,25 đ Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m) 2 + a.(1 + m) 2 .m = a.(1 + m) 3 . 0,25 Vậy sau n năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m) n . 0,25 đ b. áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có: 80.000.000 1 0,012 20 Kq: 101 554 749. ngời. 1đ c. Ta có: a.(1 + m) n = 100 000 000., m = 1,2% Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời. Với n = 18 ta tìm đợc số dân 99 160 615 ngời 0,5đ Vậy số n (n Z + ) nhỏ nhất để dân số vợt quá 100 triệu dân là: n = 19. 0,5đ 7 MOD E MOD E MOD E MOD E MOD E x ( - ) = ( + ) ^ = x Bài 4 Bài 4: Cho số a = 1.2.3 17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1). Hãy tìm ớc số lớn nhất của a, biết ớc số đó: a. Là bình phơng của một số tự nhiên. b. Là lập phơng của một số tự nhiên. 4đ Số a = 1.2.3 17 chứa các luỹ thừa của 2: 2 x 2 2 x 2 x 2 3 x 2 x 2 2 x 2 x 2 4 = 2 15 . Vì trong tích a = 1.2.3 17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 3 2 x 3 x 3 = 3 6 (vì a chứa các số: 3, 6, 9, 12, 15). 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 5 3 (vì a chứa các số: 5, 10, 15). 0,5đ Số a chứa các luỹ thừa của 7: 7 x 7 = 7 2 (vì a chứa các số: 7, 14). 0,5đ a. ớc số lớn nhất của a là bình phơng của một số tự nhiên là: 2 14 x 3 6 x 5 2 x 7 2 = (2 7 x 3 3 x 5 x 7) 2 = 120960 2 = 14 631 321 600. (Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa) 1,0đ b. ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là: 2 15 x 3 6 x 5 3 = (2 5 x 3 2 x 5) 3 = 1440 3 = 2 985 984 000. Kq: a. 4 631 321 600; b. 2 985 984 000. 1,0đ Bài 5 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm. AM, AD thứ tự là các đờng trung tuyến và phân giác của tam giác. a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001) b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001) 5đ a b D M C B A 0,25 đ a. Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = a 2 + b 2 . (Theo Pitago) Theo tính chất đờng phân giác ta có: ACAB AB CDBD BD AC AB CD BD + = + = 0,25 đ ba a BC BD + = BD = ba baa ba BCa + + = + 22 . 0,5đ 8 Vµ CD = BC - BD = ba bab ba baa ba + + = + + −+ 2222 22 0,25 ® TÝnh BD: 14,25 14,25 23,5 0,25 ® 14,25 23,5 1 4 Kq: 10,3744 cm. 0,25 ® TÝnh CD: 23,5 14,25 23,5 0,25 ® 14,25 23,5 1 4 Kq: 17,1086 cm. 0,25 ® Gäi x lµ diÖn tÝch tam gi¸c ADM, S lµ diÖn tÝch tamgi¸c AMC (vµ còng lµ diÖn tÝch tam gi¸c AMB), ta cã: b a AC AB CD BD S S ACD ABD === 0,25 ® S ABD = S ABM - S ADM = S - x; S ACD = S + x ; VËy b a xS xS = + − 0,5® Mµ S = 2 1 S ABC = 4 .ba b axabxab b a x ab x ab = +− ⇔= + − ⇒ 4 4 : 4 4 4 4 0,5® ⇒ b a xab xab = + − 4 4 bxaxbaabaxbabxab 4444 2222 +=−⇔+=−⇔ 0,5® )(4 )( )()(4 ba abab xababbax + − =⇔−=+⇔ 0,5® Ên: 14,25 23,5 23,5 14,25 0,25 ® 4 14,25 23,5 1 4 Kq: 20,5139. 0,25 ® 9 x ( - ) : + = x ( ( ) MOD E MOD E MOD E MOD E MOD E x MOD E x ( x 2 + x 2 ) : ( + = MOD E MOD E MOD E MOD E x ( x 2 + x 2 ) : MOD E ( + = MOD E MOD E MOD E MOD E 10 . KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 ĐỀ 2 Câu 1(3 điểm) a. Tìm số dư trong phép chia 2,2 198 ,45,27,12 2345 − −+−+− x xxxxx b. Tính. CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ 2 Bài1 : a. Tìm số dư trong phép chia 2,2 198 ,45,27,12 2345 − −+−+− x xxxxx b. Tính 2,5% của. giác. a. Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD. (Chính xác đến 0,0001) b. Tính diện tích tam giác ADM. (Chính xác đến 0,0001) 1 PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH