Viết công thức tính dân số sau n năm.. Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó: a.. Là bình phương của một số tự nhiên.. Là lập phương của một số tự nhiên.. Cho x = a ta được r =
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011
ĐỀ 2
Câu 1(3 điểm)
a Tìm số dư trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
30 18 3 0,04
câu2(5 điểm)
2 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
câu 3 (3 điểm)
Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%.
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nước đó sau n năm (nZ+) sẽ vượt 100 triệu Tìm số n bé nhất
câu 4 (4 điểm)
Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1)
Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a Là bình phương của một số tự nhiên
b Là lập phương của một số tự nhiên
Câu 5 (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ 2
Bài1
:
a Tìm số dư trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
30 18 3 0,04
3,0đ
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) là các đa thức, r là số dư Cho x = a
ta được
r = P(x), Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P(a) của biểu thức P(x)
0,25 đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ
4 2,5 3 4,8 0,5đ
2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25 đ
đ
Kq: 0,458333333.
0,75 đ
Bài
2:
2 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng
minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
5,0đ
SHIF
^ +
^
-=
ab/c
A
Trang 3Với a = 3
2 3
3 2
2 3
2
3
ấn:
1 2
Kq: 0,73
0,5đ
B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) +
6sin4x
= 3sin6x + 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x - 3cos6x + 4cos6x - 8sin6x + 6sin4x
0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x - 5sin6x + 6sin4x
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x(1 - sin2x) + sin6x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x.cos2x + sin6x
= 3 cos2x.sin2x(cos2x + sin2x) + (cos2x + sin2x)3 - 3 sin2x cos2x(sin2x +
cos2x) = 1
Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x
0,5đ
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình
quân là 1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nước đó sau n năm (nZ+) sẽ vượt 100 triệu Tìm số n bé
nhất
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%
Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m)
0,25 đ
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)2 + a.(1 + m)2.m = a.(1 + m)3 0,25
đ
đ
b áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749 người.
1đ
c Ta có: a.(1 + m)n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm được số dân 100 350 542 người
Với n = 18 ta tìm được số dân 99 160 615 người
0,5đ
Vậy số n (nZ+) nhỏ nhất để dân số vượt quá 100 triệu dân là: n = 19 0,5đ
MOD
(
x
Trang 4Bài 4
Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số
1)
Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a Là bình phương của một số tự nhiên
b Là lập phương của một số tự nhiên
4đ
Số a = 1.2.3…17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 22 x 2 x 23 x 2 x 22 x 2 x 24 = 215
Vì trong tích a = 1.2.3…17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 32 x 3 x 3 = 36 (vì a chứa các số: 3, 6,
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 53 (vì a chứa các số: 5, 10, 15) 0,5đ
a ước số lớn nhất của a là bình phương của một số tự nhiên là:
214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x 5 x 7)2 = 1209602 = 14 631 321 600
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa)
1,0đ
b ước số lớn nhất của a là lập phương của một số tự nhiên là:
215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 2 985 984 000
Kq: a 4 631 321 600; b 2 985 984 000.
1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam
giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
5đ
B
A
0,25 đ
a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
AC AB
AB CD
BD
BD AC
AB CD
BD
0,25 đ
Trang 5b a
a BC
BD
b a
b a a b a
BC a
2 2
Và CD = BC - BD =
b a
b a b b
a
b a a b a
2 2 2
2 2
đ
Tính BD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25 đ
Tính CD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25 đ
Gọi x là diện tích tam giác ADM, S là diện tích tamgiác AMC (và cũng là
diện tích tam giác AMB), ta có:
b
a AC
AB CD
BD
S
S
ACD
0,25 đ
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; Vậy
b
a x S
x S
0,5đ
Mà S =
2
1
SABC =
4
.b a
b
a x ab x ab b
a x ab
x ab
4
4 : 4 4 4
b
a x
ab
x
ab
4
4
bx ax b a ab ax b a bx
ab2 4 2 4 2 2 4 4
) ( 4
) ( )
( )
(
4
b a
a b ab x a b ab b
a
x
đ
MOD E
MOD E
MOD E
MOD E
Trang 64 14,25 23,5
1 4
Kq: 20,5139.
0,25 đ
Bài1
:
a Tìm số d trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
30 18 3 0,04
3,0đ
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) là các đa thức, r là số d Cho x = a ta
đợc
r = P(x), Do đó bài toán tìm số d trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P(a) của biểu thức P(x)
0,25
đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ
4 2,5 3 4,8 0,5đ
2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25
đ
đ
Kq: 0,458333333.
0,75
đ
Bài
2:
a.Tính giá trị biểu thức: A =
2
2 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x
Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
5,0đ
a
a a
a a
a
1 1
1 1
1 3 : 1
1
2
2 2
1đ
2 3
3 2
2 3
2
3
ấn:
1 2 0,5đ
SHIF
^ +
^
-=
ab/c
MOD
MOD E
MOD E
MOD E
A
A
MOD
x
Trang 7B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) +
6sin4x
= 3sin6x + 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x - 3cos6x + 4cos6x - 8sin6x + 6sin4x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x - 5sin6x + 6sin4x
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x(1 - sin2x) + sin6x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x.cos2x + sin6x
= 3 cos2x.sin2x(cos2x + sin2x) + (cos2x + sin2x)3 - 3 sin2x cos2x(sin2x +
cos2x) = 1
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nớc là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình
quân là 1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nớc đó sau n năm (nZ+) sẽ vợt 100 triệu Tìm số n bé nhất
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)2 + a.(1 + m)2.m = a.(1 + m)3 0,25
đ
đ
b áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749 ngời.
1đ
c Ta có: a.(1 + m)n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời
Vậy số n (nZ+) nhỏ nhất để dân số vợt quá 100 triệu dân là: n = 19 0,5đ
Bài 4 Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số
1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a, biết ớc số đó:
a Là bình phơng của một số tự nhiên
b Là lập phơng của một số tự nhiên
4đ
Số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 22 x 2 x 23 x 2 x 22 x 2 x 24 = 215
Vì trong tích a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 32 x 3 x 3 = 36 (vì a chứa các số: 3, 6,
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 53 (vì a chứa các số: 5, 10, 15) 0,5đ
a ớc số lớn nhất của a là bình phơng của một số tự nhiên là:
214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x 5 x 7)2 = 1209602 = 14 631 321 600
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa)
1,0đ
(
x
Trang 8b ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là:
215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 2 985 984 000
Kq: a 4 631 321 600; b 2 985 984 000.
1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm AM, AD thứ tự là các đờng trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
B
A
0,25
đ
a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago)
Theo tính chất đờng phân giác ta có:
AC AB
AB CD
BD
BD AC
AB CD
BD
0,25
đ
b a
a BC
BD
b a
b a a b a
BC a
2 2
Và CD = BC - BD =
b a
b a b b a
b a a b a
2 2 2
2 2
đ
Tính BD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25
đ
Tính CD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25
đ
MOD E
MOD E
MOD E
Trang 9Gäi x lµ diÖn tÝch tam gi¸c ADM, S lµ diÖn tÝch tamgi¸c AMC (vµ còng lµ
diÖn tÝch tam gi¸c AMB), ta cã:
b
a AC
AB CD
BD
S
S
ACD
ABD
0,25
®
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; VËy
b
a x S
x S
0,5®
Mµ S =
2
1
SABC =
4
.b a
b
a x ab x ab b
a x ab
x ab
4
4 : 4 4 4
b
a x
ab
x
ab
4
4
bx ax b a ab ax b a bx
ab2 4 2 4 2 2 4 4
) ( 4
) ( )
( )
(
4
b a
a b ab x a b ab b
a
x
®
1 4
Kq: 20,5139.
0,25
®
x
MOD
x