CÁC DẠNG TOÁN về xác SUẤT PHỔ THÔNG

CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG. I/ Kiến thức cơ bản. 1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử .Kí hiệu là .Ta chỉ xét các phép thử với là tập hữu hạn. 3/ Biến cố A là tập con của không gian mẫu .Tập Ø gọi là biến cố không thể, Tập gọi là biến cố chắc chắn. 4/Nếu khi phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra,hay phép thử là thuận lợi cho A. 5/Biến cố \ A được gọi là biến cố đối của A. 6/ A và B đối nhau 7/A xảy ra không xảy ra. VD: Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” thì là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” VD: Gọi biến cố A :” Lấy được ít nhất một quả cầu màu trắng ” nên là biến cố :”Không lấy được quả cầu màu trắng nào ”. 8/ Biến cố xảy ra A hoặc B xảy ra. 9/ Biến cố xảy ra A và B cùng xảy ra. 10/ Nếu Ø thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc. 11/ Định nghĩa xác suất. Kí hiệu n(A) là số phần tử của biến cố A liên quan đến phép thử với không gian mẫu còn n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử ,thì tỉ số gọi là xác suất của biến cố A, Kí hiệu là P(A). 12/Tính chất của xác suất. + P(Ø) = 0; P( ) = 1; với mọi biến cố A. + Nếu A và B xung khắc thì . + Với mọi biến cố A thì ta có . + Mở rộng : Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì : 13/Biến cố độc lập. Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. 14/ Tính chất của biến cố độc lập. + A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi + A và B độc lập và B độc lập và A độc lập và độc lập. II/ Các dạng bài tập. DẠNG 1/ XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI. Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để a/ A và B ngồi đầu bàn. b/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn dài. c/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn. Giải 1. a/ A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài. Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120 Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn: + Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách. + Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách Nên n (M) = 2.3! Vậy P (M) = b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn. + Buộc A vào B có hai cách là AB;BA + Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách Nên n (M) = 2.4! cách. Vậy P (M) = c/ Cách 1: Bàn tròn có dánh số chỗ ngồi. Xếp 5 người vào 5 chỗ nên 5! Gọi biến cố M là: ”Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có ba giai đoạn. + Xếp A vào bàn trước có 5 cách. + Xếp B cạnh A có 2 cách. + Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! Cách. Nên n (M) = 5.2.3! cách. Vậy P (M) = Cách 2: Bàn tròn không đánh số chỗ ngồi. Xếp 5 người vào bàn tròn không đánh số chỗ ngồi để A,B ngồi cạnh nhau có 2 giai đoạn. + Xếp A vào bàn có 1 cách. + Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách. Nên 1.4! = 24. Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có 3 giai đoạn. + Xếp A vào 1 chỗ có 1 cách. + xếp B cạnh A có 2 cách. + Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! cách. Nên n (M) = 1.2.3! = 12 Vậy P (M) = Bài 2/ Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang.Tìm xác suất sao cho : a/Namnữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1) b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2) Bài 3/ Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho: a/Nam,nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3) b/Nữ ngồi dối diện nhau.(ĐS: 1/3) Bài 4/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người .Tìm xác suất sao cho trong hai người đó: a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15) b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15) c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15) d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15) Bài 5/ Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn . Tính xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. (ĐS: 0,008) Bài 6/ Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hang ngang. Tính xác suất sao cho. a/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà. b/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông. Giải 6/ Xếp 6 người vào 6 cái ghế nên số cách xếp là một hoán vị của 6.Do đó a/ Gọi biến cố A:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà” Ta xếp như sau: + Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp. + Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên. + Còn ba chỗ còn lại xếp ba người đàn ông thì có 3! Cách xếp Theo quy tắc nhân ta có 4.2.3! = 48 Vậy b/ Gọi biến cố B:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.Ta xếp như sau: + Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp. + Chọn 2 trong số 3 người đàn ông.Có cách. + Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn ông ngồi hai bên. + Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại. Có 3! Cách. Theo quy tắc nhân ta có n(B) = 4.3.2.3!= 144 D ng I: Tính xác su t c a m t bi n c theo nh ngh a ạ ấ ủ ộ ế ố đị ĩ c i nổđ ể Cách gi i:ả tính xác su t P(A) c a m t bi n c A ta th c hi n các b cĐể ấ ủ ộ ế ố ự ệ ướ + Xác nh không gian m u , r i tính s ph n t n( ) c a .Ω Ω Ωđị ẫ ồ ố ầ ử ủ + Xác nh t p con mô t bi n c A, r i tính s ph n t n(A) c a t p h p A.đị ậ ả ế ố ồ ố ầ ử ủ ậ ợ + Tính P(A) theo công th cứ . Ví d .ụ M t t h c sinh g m 9 em, trong ó có 3 n c chia thành 3 nhóm u nhau. ộ ổ ọ ồ đ ữ đượ đề Tính xác su t m i nhóm có 1 n .ấ để ỗ ữ Gi i.ả G i A là bi n c : “ 3 nhóm h c sinh m i nhóm có 1 n ”.ọ ế ố ở ọ ỗ ữ + tìm n( ) ta th c hi n:ΩĐể ự ệ Ch n ng u nhiên 3 trong 9 em a vào nhóm th nh t, s kh n ng làọ ẫ đư ứ ấ ố ả ă . Ch n 3 trong s 6 em còn l i a vào nhóm th hai, s kh n ng làọ ố ạ đư ứ ố ả ă . Ch n 3 em a vào nhóm th 3, s kh n ng làọ đư ứ ố ả ă . V yậ . Vì phân ng u nhiên nên các bi n s s c p trong không gian bi n c s c p này có ẫ ế ố ơ ấ ế ố ơ ấ cùng kh n ng xu t hi n.ả ă ấ ệ tìm n(A) ta th c hi nĐể ự ệ Phân 3 n vào 3 nhóm nên có 3! Cách khác nhau.ữ Phân 6 nam vào 3 nhóm theo cách nh trên, ta cóư cách khác nhau Suy ra . + Do óđ D NG II. Tính xác su t b ng quy t c c ngẠ ấ ằ ắ ộ Cách gi i.ả S d ng k thu t m và các công th c sau tính xác su t c a bi n c ử ụ ỹ ậ đế ứ để ấ ủ ế ố i, bi n c h p,đố ế ố ợ , n uế . Ví d :ụ M t h p ng 8 viên bi xanh và 4 viên bi . L yộ ộ đự đỏ ấ ng u nhiên 3 viên bi. Tính xác ẫ su t ấ để a) L y c 3 viên bi cùng màu.ấ đượ b) L y c 3 viên bi khác màu.ấ đượ c) L y c ít nh t 2 viên bi xanh.ấ đượ ấ Gi iả a) g i A là bi n c “ L y c 3 viên bi xanh”, B là bi n c “ l y c 3 viên bi ” và H ọ ế ố ấ đượ ế ố ấ đượ đỏ là bi n c “ l y c 3 viên bi cùng màu”. Ta cóế ố ấ đượ , vì A và B xung kh c ắ nên: Ta có . T óừ đ . b) Bi n c “ l y c 3 viên bi khác màu” là bi n cế ố ấ đượ ế ố , V y:ậ c) G i C là bi n c l y c 2 viên bi xanh và m t viên bi ” , K là bi n c “ l y c ítọ ế ố ấ đượ ộ đỏ ế ố ấ đượ nh t 2 viên bi xanh”. Ta cóấ , vì A và C xung kh c, nên P(K)=P(A)+P(C)ắ Ta có Suy ra D NG III. Tính xác su t b ng quy t c nhânẠ ấ ằ ắ Cách gi i.ả tính xác su t c a bi n c giao c a hai bi n c c l p A và B ta dùng Để ấ ủ ế ố ủ ế ố độ ậ công th cứ Ví d .ụ Có hai h p ch a các qu c u. H p th th t ch a 3 qu c u tr ng, 7 qu c u ộ ứ ả ầ ộ ứ ấ ứ ả ầ ắ ả ầ đỏ và 15 qu c u xanh. H p th hai ch a 10 qu c u tr ng, 6 qu c u và 9 qu c u ả ầ ộ ứ ứ ả ầ ắ ả ầ đỏ ả ầ xanh. T m i h p l y ng u nhiên ra m t qu c u . Tính xác su t hai qu c u l y ra ừ ỗ ộ ấ ẫ ộ ả ầ ấ để ả ầ ấ có màu gi ng nhau.ố Gi i :ả G i A là bi n c “Qu c u c l y ra t h p th nh t là màu tr ng”, B là bi n c “Qu ọ ế ố ả ầ đượ ấ ừ ộ ứ ấ ắ ế ố ả c u c l y ra t h p th hai là màu tr ng”.ầ đượ ấ ừ ộ ứ ắ Ta có . V y xác su t hai qu c u c l y ra u màu ậ ấ để ả ầ đượ ấ đề tr ng là:ắ ( do A,B c l p)độ ậ T ng t , xác su t hai qu c u c l y ra u màu xanh làươ ự ấ để ả ầ đượ ấ đề , và xác su t l y ra hai qu c u u màu làấ để ấ ả ầ đề đỏ . Theo quy t c c ng, xác su t l y ra hai qu c u cùng màu làắ ộ ấ để ấ ả ầ . D ng IV.ạ L p b ng phân b xác su t c a bi n ng u ậ ả ố ấ ủ ế ẫ nhiên r i r c.ờ ạ Cách gi i :ả l p b ng phân b xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c X ta th c hi n Để ậ ả ố ấ ủ ế ẫ ờ ạ ự ệ các b c :ướ + Xác nh t p các giá tr có thđị ậ ị ể c a X.ủ + Tính các xác su tấ , trong óđ là bi n c “X nh n giá trế ố ậ ị “. + Trình bày b ng phân b xác su t theo d ng sauả ố ấ ạ Ví d .ụ M t lô hàng g m 10 s n ph m trong ó có 3 s n ph m x u. Ch n ng u nhiên ộ ồ ả ẩ đ ả ẩ ấ ọ ẫ cùng lúc 4 s n ph n ki m tra. G i X là s s n ph m x u g p ph i khi ki m tra. L p ả ẩ để ể ọ ố ả ẩ ấ ặ ả ể ậ b ng phân b xác su t c a X.ả ố ấ ủ Gi i :ả D th y X nh n các giá tr thu c t p {0,1,2,3}. Ta có :ễ ấ ậ ị ộ ậ V y b ng phân b xác su t c a X làậ ả ố ấ ủ D ng V.ạ Tính k v ng, ph ng sai, l ch chu n c a ỳ ọ ươ độ ệ ẩ ủ bi n ng u nhiên r i r c.ế ẫ ờ ạ Cách gi iả : tính k v ng, ph ng sai và l ch chu n c a bi n ng u nhiên r i r c Để ỳ ọ ươ độ ệ ẩ ủ ế ẫ ờ ạ X ta dùng các công th c :ứ ho cặ , trong óđ . Ví d .ụ M t chi c h p ng 10 t m th , trong ó có b n th ghi s 1, ba th ghi s 2, haiộ ế ộ đự ấ ẻ đ ố ẻ ố ẻ ố th ghi s 3 và m t th ghi s 4. Ch n ng u nhiên hai t m th r i c ng hai s trên hai ẻ ố ộ ẻ ố ọ ẫ ấ ẻ ồ ộ ố t m th v i nhau. G i X là s thu c.ấ ẻ ớ ọ ố đượ a) L p b ng phân b xác su t c a X.ậ ả ố ấ ủ b) Tính kì v ng, ph ng sai và l ch chu n c a X.ọ ươ độ ệ ẩ ủ Gi i :ả a) G iọ là bi n c “Ch n c t m th ghi s i và t m th ghi s j.”ế ố ọ đượ ấ ẻ ố ấ ẻ ố D th y X nh n các giá tr thu c t p {2,3,4,5,6,7}. Ta có :ễ ấ ậ ị ộ ậ V y b ng phân b xác su t c a X làậ ả ố ấ ủ b) Ta có : . CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG. I/ Kiến thức cơ bản. 1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả. vào 3 nhóm theo cách nh trên, ta cóư cách khác nhau Suy ra . + Do óđ D NG II. Tính xác su t b ng quy t c c ngẠ ấ ằ ắ ộ Cách gi i.ả S d ng k thu t m và các công th c sau tính xác su t c a bi. ậ ả ố ấ ủ ế ẫ ờ ạ ự ệ các b c :ướ + Xác nh t p các giá tr có thđị ậ ị ể c a X.ủ + Tính các xác su tấ , trong óđ là bi n c “X nh n giá trế ố ậ ị “. + Trình bày b ng phân b xác su t theo d ng sauả