CÁC DẠNG TOÁN về xác SUẤT PHỔ THÔNG

1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.. 2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra

CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG.

I/ Kiến thức cơ bản.

1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử Kí hiệu là .Ta chỉ xét các phép thử với là tập hữu hạn

3/ Biến cố A là tập con của không gian mẫu Tập Ø gọi là biến cố không thể, Tập gọi là biến cố chắc chắn

4/Nếu khi phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra,hay phép thử là thuận lợi cho A

5/Biến cố \ A được gọi là biến cố đối của A

6/ A và B đối nhau

7/A xảy ra không xảy ra

VD: Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” thì là biến cố :”Lấy hai quả khác màu”

VD: Gọi biến cố A :” Lấy được ít nhất một quả cầu màu trắng ”

nên là biến cố :”Không lấy được quả cầu màu trắng nào ”

8/ Biến cố xảy ra A hoặc B xảy ra

9/ Biến cố xảy ra A và B cùng xảy ra

10/ Nếu Ø thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc

11/ Định nghĩa xác suất

Kí hiệu n(A) là số phần tử của biến cố A liên quan đến phép thử với không gian mẫu còn n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử ,thì tỉ số gọi là xác suất của biến cố A, Kí hiệu là P(A)

12/Tính chất của xác suất

+ P(Ø) = 0; P( ) = 1; với mọi biến cố A

+ Nếu A và B xung khắc thì

+ Với mọi biến cố A thì ta có

+ Mở rộng : Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì :

13/Biến cố độc lập

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia

14/ Tính chất của biến cố độc lập

+ A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

+ A và B độc lập và B độc lập và A độc lập và độc lập

II/ Các dạng bài tập.

DẠNG 1/ XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI.

Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để

a/ A và B ngồi đầu bàn.

b/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn dài

c/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn

Giải 1

a/ A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.

Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120

Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn:

+ Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách

Nên n (M) = 2.3!

Vậy P (M) =

b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn + Buộc A vào B có hai cách là AB;BA

+ Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách

Nên n (M) = 2.4! cách

Vậy P (M) =

c/ Cách 1: Bàn tròn có dánh số chỗ ngồi

Xếp 5 người vào 5 chỗ nên 5!

Gọi biến cố M là: ”Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có ba giai đoạn + Xếp A vào bàn trước có 5 cách

+ Xếp B cạnh A có 2 cách

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! Cách

Nên n (M) = 5.2.3! cách

Vậy P (M) =

Cách 2: Bàn tròn không đánh số chỗ ngồi

Xếp 5 người vào bàn tròn không đánh số chỗ ngồi để A,B ngồi cạnh nhau có 2 giai đoạn

+ Xếp A vào bàn có 1 cách

+ Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách

Nên 1.4! = 24

Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có 3 giai đoạn

+ Xếp A vào 1 chỗ có 1 cách

+ xếp B cạnh A có 2 cách

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! cách

Nên n (M) = 1.2.3! = 12

Vậy P (M) =

Bài 2/

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang.Tìm xác suất sao cho : a/Namnữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1)

b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2)

Bài 3/

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho:

a/Nam,nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3)

b/Nữ ngồi dối diện nhau.(ĐS: 1/3)

Bài 4/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15)

b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15)

c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15)

d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15)

Bài 5/ Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn Tính xác suất sao cho nam,

nữ ngồi xen kẽ nhau (ĐS: 0,008)

Bài 6/ Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành

hang ngang Tính xác suất sao cho

a/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà

b/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông

Giải 6/

Xếp 6 người vào 6 cái ghế nên số cách xếp là một hoán vị của 6.Do đó

a/ Gọi biến cố A:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà” Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên

+ Còn ba chỗ còn lại xếp ba người đàn ông thì có 3! Cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 4.2.3! = 48

Vậy

b/ Gọi biến cố B:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp

+ Chọn 2 trong số 3 người đàn ông.Có cách

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn ông ngồi hai bên

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại Có 3! Cách

Theo quy tắc nhân ta có n(B) = 4.3.2.3!= 144

D ng I: Tính xác su t c a m t bi n c theo nh ngh a ạ ấ ủ ộ ế ố đị ĩ

c i n ổđ ể

Cách gi i: ả Để tính xác su t P(A) c a m t bi n c A ta th c hi n các b ấ ủ ộ ế ố ự ệ ướ c

+ Xác nh không gian m u , r i tính s ph n t n( ) c a đị ẫ Ω ồ ố ầ ử Ω ủ Ω

+ Xác nh t p con mô t bi n c A, r i tính s ph n t n(A) c a t p h p A đị ậ ả ế ố ồ ố ầ ử ủ ậ ợ

+ Tính P(A) theo công th c ứ

Ví d ụ M t t h c sinh g m 9 em, trong ó có 3 n ộ ổ ọ ồ đ ữ đượ c chia thành 3 nhóm đề u nhau Tính xác su t ấ để ỗ m i nhóm có 1 n ữ

Gi i ả

G i A là bi n c : “ 3 nhóm h c sinh m i nhóm có 1 n ” ọ ế ố ở ọ ỗ ữ

+ Để tìm n( ) ta th c hi n: Ω ự ệ

Ch n ng u nhiên 3 trong 9 em ọ ẫ đư a vào nhóm th nh t, s kh n ng là ứ ấ ố ả ă

Ch n 3 trong s 6 em còn l i ọ ố ạ đư a vào nhóm th hai, s kh n ng là ứ ố ả ă

Ch n 3 em ọ đư a vào nhóm th 3, s kh n ng là ứ ố ả ă

Vì phân ng u nhiên nên các bi n s s c p trong không gian bi n c s c p này có ẫ ế ố ơ ấ ế ố ơ ấ cùng kh n ng xu t hi n ả ă ấ ệ

tìm n(A) ta th c hi n

Phân 3 n vào 3 nhóm nên có 3! Cách khác nhau ữ

Phân 6 nam vào 3 nhóm theo cách nh trên, ta có ư cách khác nhau

+ Do ó đ

D NG II Tính xác su t b ng quy t c c ng Ạ ấ ằ ắ ộ

Cách gi i ả S d ng k thu t ử ụ ỹ ậ đế m và các công th c sau ứ để tính xác su t c a bi n c ấ ủ ế ố

i, bi n c h p,

, n u ế

Ví d : ụ M t h p ộ ộ đự ng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ ấ L y ng u nhiên 3 viên bi Tính xác ẫ

su t ấ để

a) L y ấ đượ c 3 viên bi cùng màu.

b) L y ấ đượ c 3 viên bi khác màu.

c) L y ấ đượ c ít nh t 2 viên bi xanh ấ

Gi i ả

a) g i A là bi n c “ L y ọ ế ố ấ đượ c 3 viên bi xanh”, B là bi n c “ l y ế ố ấ đượ c 3 viên bi đỏ ” và H

là bi n c “ l y ế ố ấ đượ c 3 viên bi cùng màu” Ta có , vì A và B xung kh c ắ nên:

Ta có

b) Bi n c “ l y ế ố ấ đượ c 3 viên bi khác màu” là bi n c ế ố , V y: ậ

c) G i C là bi n c l y ọ ế ố ấ đượ c 2 viên bi xanh và m t viên bi ộ đỏ ” , K là bi n c “ l y ế ố ấ đượ c ít

nh t 2 viên bi xanh” Ta có ấ , vì A và C xung kh c, nên P(K)=P(A)+P(C) ắ

Ta có

Suy ra

D NG III Tính xác su t b ng quy t c nhân Ạ ấ ằ ắ

Cách gi i ả Để tính xác su t c a bi n c giao c a hai bi n c ấ ủ ế ố ủ ế ố độ ậ c l p A và B ta dùng công th c ứ

Ví d ụ Có hai h p ch a các qu c u H p th th t ch a 3 qu c u tr ng, 7 qu c u ộ ứ ả ầ ộ ứ ấ ứ ả ầ ắ ả ầ đỏ

và 15 qu c u xanh H p th hai ch a 10 qu c u tr ng, 6 qu c u ả ầ ộ ứ ứ ả ầ ắ ả ầ đỏ và 9 qu c u ả ầ xanh T m i h p l y ng u nhiên ra m t qu c u Tính xác su t ừ ỗ ộ ấ ẫ ộ ả ầ ấ để hai qu c u l y ra ả ầ ấ

có màu gi ng nhau ố

Gi i : ả

G i A là bi n c “Qu c u ọ ế ố ả ầ đượ c l y ra t h p th nh t là màu tr ng”, B là bi n c “Qu ấ ừ ộ ứ ấ ắ ế ố ả

c u ầ đượ c l y ra t h p th hai là màu tr ng” ấ ừ ộ ứ ắ

Ta có V y xác su t ậ ấ để hai qu c u ả ầ đượ ấ c l y ra đề u màu

tr ng là: ắ

( do A,B độ ậ c l p)

T ươ ng t , xác su t ự ấ để hai qu c u ả ầ đượ ấ c l y ra đề u màu xanh là , và xác

su t ấ để ấ l y ra hai qu c u ả ầ đề u màu đỏ là

Theo quy t c c ng, xác su t ắ ộ ấ để ấ l y ra hai qu c u cùng màu là ả ầ

.

D ng IV ạ L p b ng phân b xác su t c a bi n ng u ậ ả ố ấ ủ ế ẫ

nhiên r i r c ờ ạ

Cách gi i : ả Để ậ l p b ng phân b xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c X ta th c hi n ả ố ấ ủ ế ẫ ờ ạ ự ệ các b ướ c :

+ Xác nh t p các giá tr có th đị ậ ị ể c a X ủ

+ Tính các xác su t ấ , trong ó đ là bi n c “X nh n giá tr ế ố ậ ị “ + Trình bày b ng phân b xác su t theo d ng sau ả ố ấ ạ

Ví d ụ M t lô hàng g m 10 s n ph m trong ó có 3 s n ph m x u Ch n ng u nhiên ộ ồ ả ẩ đ ả ẩ ấ ọ ẫ cùng lúc 4 s n ph n ả ẩ để ể ki m tra G i X là s s n ph m x u g p ph i khi ki m tra L p ọ ố ả ẩ ấ ặ ả ể ậ

b ng phân b xác su t c a X ả ố ấ ủ

Gi i : ả

D th y X nh n các giá tr thu c t p {0,1,2,3} Ta có : ễ ấ ậ ị ộ ậ

V y b ng phân b xác su t c a X là ậ ả ố ấ ủ

D ng V ạ Tính k v ng, ph ỳ ọ ươ ng sai, độ ệ l ch chu n c a ẩ ủ

bi n ng u nhiên r i r c ế ẫ ờ ạ

Cách gi i ả : Để tính k v ng, ph ỳ ọ ươ ng sai và độ ệ l ch chu n c a bi n ng u nhiên r i r c ẩ ủ ế ẫ ờ ạ

X ta dùng các công th c : ứ

ho c ặ

, trong ó đ

Ví d ụ M t chi c h p ộ ế ộ đự ng 10 t m th , trong ó có b n th ghi s 1, ba th ghi s 2, hai ấ ẻ đ ố ẻ ố ẻ ố

th ghi s 3 và m t th ghi s 4 Ch n ng u nhiên hai t m th r i c ng hai s trên hai ẻ ố ộ ẻ ố ọ ẫ ấ ẻ ồ ộ ố

t m th v i nhau G i X là s thu ấ ẻ ớ ọ ố đượ c.

a) L p b ng phân b xác su t c a X ậ ả ố ấ ủ

b) Tính kì v ng, ph ọ ươ ng sai và độ ệ l ch chu n c a X ẩ ủ

Gi i : ả

a) G i ọ là bi n c “Ch n ế ố ọ đượ ấ c t m th ghi s i và t m th ghi s j.” ẻ ố ấ ẻ ố

D th y X nh n các giá tr thu c t p {2,3,4,5,6,7} Ta có : ễ ấ ậ ị ộ ậ

V y b ng phân b xác su t c a X là ậ ả ố ấ ủ

b) Ta có :