Phương pháp tọa độ cho các bài toán về đường và mặt trong hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ HỒNG SƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 1: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Phản biện 2: GS.TS.LÊ VĂN THUYẾT Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sỹ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp toạ độ Descartes phát minh làm nên cách mạng toán học kỷ XVII Phương pháp cho phép nghiên cứu hình học ngôn ngữ đại số giải tích, mở đường cho đời môn toán học với tên gọi Hình học giải tích Trong Hình học giải tích, ta đạt tới đỉnh cao khái quát trừu tượng, bỏ xa ta đạt dựa thói quen tư cụ thể, tư trực quan hình học túy Giải toán hình học phương pháp tọa độ, học sinh thấy lúng túng việc tìm lối đi, mà dung hình học túy học sinh lại thường tỏ lúng túng Riêng bậc trung học phổ thông, công cụ tọa độ thuộc nhóm kiến thức cần thiết Chủ đề “Phương pháp tọa độ” xuất hàng năm kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng kỳ thi chọn học sinh giỏi nước ta Nếu học sinh chưa sử dụng thục phương pháp tọa độ lời giải tìm thường dài nặng tính toán.Việc hệ thống hóa tình sử dụng phương pháp giúp học sinh nhạy bén việc giải toán hình học phương pháp tọa độ Với lý nói trên, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, định chọn “Phương pháp tọa độ cho toán đường mặt hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức đồng thời đưa số tình huống, có tính định hướng chung, qua toán mà phương pháp tọa độ tỏ hiệu quả; đặc biệt là, toán xuất kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng kỳ thi chọn học sinh giỏi Hệ thống lại kiến thức liên quan đến phương pháp tọa độ hình học Tìm hiểu tình sử dụng phương pháp tọa độ qua toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Các đường mặt mặt phẳng không gian Phạm vi nghiên cứu Tổng hợp phân loại phương pháp; toán giải phương pháp tọa độ, thường xuất chương trình học kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức Thu thập đề thi đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Giả thuyết khoa học Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy với thời lượng chấp nhận cho học sinh toán bậc trung học phổ thông cho sinh viên toán trường đại học Xây dựng hệ thống toán (cũ mới) với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Cụ thể, cấu trúc luận văn trình bày sau: CHƯƠNG 1: HỆ TỌA ĐỘ Trình bày kiến thức sở vectơ hệ tọa độ (trên trục, mặt phẳng không gian) tình sử dụng phương pháp tọa độ giải toán liên quan CHƯƠNG 2: CÁC ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG Trình bày kiến thức sở đường thẳng, đường tròn, ba đường conic mặt phẳng tình sử dụng phương pháp tọa độ giải toán liên quan CHƯƠNG 3: ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN Trình bày kiến thức sở đường thẳng, đường tròn, ba đường conic mặt phẳng tình sử dụng phương pháp tọa độ giải toán liên quan Đà Nẵng, năm 2015 Tác giả Lê Thị Hồng Sương CHƯƠNG HỆ TỌA ĐỘ 1.1 TỌA ĐỘ TRÊN MỘT TRỤC Định nghĩa 1.1 Trục tọa độ (còn gọi trục, hay trục số) đường thẳng mà xác định điểm O vectơ i có độ dài • Điểm O gọi gốc tọa độ, igọi vectơ đơn vị trục tọa độ • Trục tọa độ kí hiệu (O, i) Ta lấy điểm I −→ cho OI = i tia OI kí hiệu tia Ox, tia đối Ox Ox Khi trục (O, i) gọi truc x Ox hay trục Ox 1.1.1 Tọa độ vectơ điểm trục • Cho vectơ u nằm trục (O, i ) Khi có số a xác định để u = Số a gọi tọa độ vectơ u trục (O, i ) • Cho điểm M nằm trục (O, i) Khi có −−→ số m xác định để OM = mi Số m tọa độ điểm M trục tọa độ (O, i ) −−→ Nếu điểm A, B nằm trục Ox tọa độ AB kí hiệu AB gọi độ dài đại số vectơ −−→ AB trục Ox Như −−→ AB = AB.i 1.1.3 Bài toán ví dụ 1.2 TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG 1.2.1 Hệ trục tọa độ Descartes mặt phẳng Gồm hai trục Ox Oy vuông góc với nhau.Trong * Điểm O gốc tọa độ * Trục Ox trục hoành có vectơ đơn vị i * Trục Oy trục tung có vectơ đơn vị j Hình 1.1: Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gọi hệ trục tọa độ kí hiệu Oxy hay (O, i, j) 1.2.2 Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ Định nghĩa 1.2 Đối với hệ trục tọa độ (O, i, j), a = xi + y j cặp số (x, y) gọi tọa độ vectơ a, kí hiệu a = (x, y) hay a(x, y) Trong x gọi hoành độ y gọi tung độ vectơ a 1.2.3 Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M xác −−→ định hoàn toàn vectơ OM Do vậy, biết tọa độ −−→ vectơ OM điểm M xác định Từ ta có định nghĩa Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ −−→ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Như vậy, cặp số (x, y) tọa độ điểm M −−→ OM = (x, y) Khi ta viết M (x, y) hay M = (x, y) Trong x hoành độ y tung độ điểm M 1.2.4 Các công thức định lý tọa độ điểm tọa độ vectơ Định lý 1.1 Nếu A(xA , yA ) B(xB , yB ) −−→ AB = (xB − xA , yB − yA ) Định lý 1.2 Nếu a = (a1 , a2 ) b = (b1 , b2 ) a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ) a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) ka = (k.a1 ; k.a2 ) Định lý 1.3 Cho hai vectơ a b với b = a phương b ⇔ ∃!k ∈ R cho a = k b Nếu a = |k| = |a| |b| • k > a hướng b • k < a ngược hướng b −−→ Định lý 1.4 A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương −→ AC Định lý 1.5 Nếu P trung điểm đoạn thẳng M N   xP = xM + xN  y = yM + yN P Định lý 1.6 Nếu G trọng tâm tam giác ABC   xP = xA + xB + xC  y = yA + yB + yC P 10 1.3.3 Tọa độ điểm Trong không gian tọa độ Oxyz điểm M hoàn −−→ −−→ toàn xác định vectơ OM Do vậy, biết tọa độ OM xác định tọa độ điểm M Định nghĩa 1.6 Trong không gian tọa độ Oxyz, tọa độ −−→ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Như −−→ M = (x, y, z) ⇔ OM = xi + y j + z k 1.3.4 Các công thức định lý liên quan đên tọa độ điểm tọa độ vectơ Định lý 1.7 Nếu a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) a) a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) b) a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) c) a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 d) cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 với a = 0; b = e) ka = (k.a1 ; k.a2 ; k.a3 ) Định lý 1.8 Nếu A(xA , yA , zA ) B(xB , yB , zB ) −−→ a) AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) b) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 11 Định lý 1.9 Nếu P trung điểm đoạn thẳng M N  xM + xN   x = P    yM + yN yP =      yP = zM + zN Định lý 1.10 Nếu G trọng tâm tam giác ABC  xA + xB + xC   xP =    yA + yB + yC yP =      yP = zA + zB + zC Định lý 1.11 Tích có hướng hai vectơ a b vectơ, kí hiệu a, b (hoặc a ∧ b ) xác định sau  a, b =  b c b c ; c a c a ; a b a b   = (bc −b c ; ca −c a; ab −a b) Định lý 1.12 Tính chất tích có hướng a) Vectơ [u, v] vuông góc với hai vectơ u v, tức [u, v] u = [u, v] v = b) |[u, v]| = |u|.|v|.sin(u, v) Định lý 1.13 Tính chất tích có hướng tích vô hướng a) u⊥v ⇔ u.v = 12 b) u v phương ⇔ [u, v] = c) u, v, w đồng phẳng ⇔ [u, v] w = 1.3.5 Một số dạng toán Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ yếu tố liên quan Dạng Ứng dụng phương pháp tọa độ toán hình học không gian 13 CHƯƠNG CÁC ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG Ở chương đầu tiên, làm quen với việc giải toán hệ trục tọa độ Trong chương này, phần kiến thức sở đương thẳng, đường tròn cách sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán liên quan 2.1 ĐƯỜNG THẲNG 2.1.1 Vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng Định nghĩa 2.7 Vectơ n = nằm đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng ∆ Định nghĩa 2.8 Vectơ u = nằm đường thẳng song song trùng với đường thẳng ∆ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng ∆ 2.1.2 Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát 14 Định nghĩa 2.9 Mọi đường thẳng (d) hệ trục tọa độ Oxy có dạng Ax + By + C = với A2 + B = (2.1) Phương trình (2.1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng.Khi đó, đường thẳng (d) có VTPT n (A; B) VTCP u (−B; A) Phương trình tham số Định nghĩa 2.10 Đường thẳng qua M0 (x0 ; y0 ) nhận vectơ u(a; b) VTCP, điểm M (x; y) ∈ ∆   x = x0 + at (t) ∈ R  y = y + bt (2.2) Phương trình (2.2) gọi phương trình tham số đường thẳng ∆ Nếu a = 0; b = từ hệ (2.2) suy y − y0 x − x0 = a b (2.3) Phương trình (2.3) gọi phương trình tắc đường thẳng ∆ 2.1.3 Các trường hợp đặc biệt Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Khi đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ điểm A(a; 0) điểm 15 B(0; b) đường thẳng ∆ có phương trình x y + = a b Phương trình đường thẳng theo hệ số góc Khi đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0 ) có hệ số góc k đường thẳng có phương trình y − y0 = k(x − x0 ) 2.1.4 Các dạng toán Dạng Lập phương trình đường thẳng Dạng Khoảng cách góc • Góc hai đường thẳng Tính chất Nếu gọi ϕ góc hai đường thẳng : a1 x + b1 y + c1 = : a2 x + b2 y + c2 = 16 Khi cos ϕ = Nếu 1⊥ Nếu |a1 a2 + b1 b2 | a21 + b21 a22 + b22 = | cos(n1 , n2 | a1 a2 + b1 b2 = có hệ số góc k1 , có hệ số góc k2 1⊥ k1 k2 = −1 2.2 ĐƯỜNG TRÒN 2.2.1 Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(x0 ; y0 ) bán kính R Điểm M (x; y) thuộc đường tròn IM = R, hay (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 (2.4) Ta gọi (2.4) phương trình đường tròn (C) 2.2.2 Nhận dạng phương trình đường tròn Từ biểu thức (2.4) ta có x2 + y − 2x0 x − 2y0 y + x20 + y02 − R2 = (2.5) 17 Đặt a = −x0 ; b = −y0 ; c = x20 + y02 − R2 Khi đó, biểu thức (2.5) trở thành x2 + y + 2ax + 2by + c = (2.6) Ta thấy phương trình đường tròn có dạng (2.6) Ngược lại, biểu thức (2.6) lại tương ứng với (x + a)2 + (y + b)2 − a2 − b2 + c = ⇔ (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 − c Với I(−a; −b) M (x; y) vế trái đẳng thức IM Vậy phương trình x2 + y + 2ax + 2by + c = với a2 + b2 > phương trình đường tròn tâm I(−a; −b), bán kính R = √ a2 + b2 − c 2.2.3 Phương trình tiếp tuyến đường tròn Cho điểm M0 (x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) tâm I(a; b) Gọi ∆ đường tiếp tuyến đường tròn (C) điểm M0 Vì ∆ tiếp tuyến (C)nên ∆ vuông góc với IM0 Hơn −−→ nữa, M0 ∈ ∆ IM0 = (x0 − a; y0 − b) VTPT đường ∆ Do đó, ∆ có phương trình (x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) = (2.7) Phương trình (2.7) phương trình tiếp tuyến đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 M0 thuộc đường tròn 18 2.3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG Trong phần này, luận văn đưa số tập ví dụ liên quan đến vị trí tương đối đường mặt phẳng 2.4 TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA BA ĐƯỜNG CONIC Trong mục ta giải toán sử sụng đến tính chất hình học ba đường Conic 2.5 TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA BA ĐƯỜNG CONIC Trong mục này, ta xét toán sử dụng nhiều đến tính giải tích ba đường Conic phương trình tắc, dạng giải tích tiếp tuyến Ngược lại với mục (), tập mục mang nặng màu sắc hình học giải tích 19 CHƯƠNG ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN Trong chương trước, làm việc đường mặt phẳng ứng dụng chúng, chương phần kiến thức liên quan đến đường mặt không gian 3.1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.1.1 Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa 3.11 (vectơ pháp tuyến mặt phẳng) Cho mặt phẳng (α) Nếu vectơ n khác có giá vuông góc với mặt phẳng (α) n gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (α).0 Định nghĩa 3.12 Phương trình có dạng Ax + By + Cz = 0, A2 + B + C > gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Ngoài dạng tổng quát phương trình mặt phẳng nêu trên, ta xét số trường hợp riêng phương trình mặt phẳng, trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm 20 3.1.2 Các trường hợp riêng mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = (3.8) a) Nếu D = 0, phương trình (3.8) trở thành Ax+By+Cz = Lúc này, điểm O(0, 0, 0) thuộc mặt phẳng (α) hay (α) qua gốc tọa độ b) Nếu ba A, B, C • A = (α) song song (hoặc chứa) Ox • B = (α) song song (hoặc chứa) Oy • C = (α) song song (hoặc chứa) Oz b) Nếu hai ba A, B, C • A = B = (α) song song (hoặc trùng) Oxy • B = C = (α) song song (hoặc trùng) Oyz • C = A = (α) song song (hoặc trùng) Ozx 3.1.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α1 ) (α2 ) có phương trình (α1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 21 a) Hai mặt phẳng cắt A1 : B1 : C1 = A2 : B2 : C2 b) Hai mặt phẳng song song A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 b) Hai mặt phẳng trùng A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 3.1.4 Phương trình đường thẳng Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) nhận u(a, b, c) làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để M (x, y, z) nằm d tồn số thực t cho     x = x0 + at    y = y0 + bt      z = z0 + ct (3.9) Phương trình (3.9) gọi phương trình tham số đường thẳng (d) 3.1.5 Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1 qua điểm M1 có vectơ phương u1 d2 qua M2 , có vectơ phương u2 22 −−−−→ Dựa vào ba vectơ u1 , u2 M1 M2 ta biết vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2 Thật vậy, −−−−→ 1) d1 d2 trùng u1 , u2 M1 M2 đôi phương −−−−→ ⇔ [u1 , u2 ] = [u1 , M1 M2 ] = 2) d1 d2 song song với     → − → phương →, − → − [− u u u =0 u2 ] ⇔ −−−→ −−−→   → − →, − − [− u M1 M2 không phương u 1 M1 M2 ] = 3) d1 d2 cắt   → − → không phương − u u −−−−→  →, − → − u u2 M1 M2 đồng phẳng ⇔   →, − → [− u u2 ] =0  →, − → −−−−→ [− u u2 ] M1 M2 = 23 −−−−→ →, − → 4) d1 d2 chéo − u u2 M1 M2 không đồng phẳng Tức →, − → −−−−→ [− u u2 ] M1 M2 = 3.2 MẶT CẦU Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có tâm I(x0 , y0 , z0 ) bán kính R Điểm M (x, y, z) thuộc mặt cầu IM = R hay IM = R2 , nghĩa (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 (3.10) Phương trình gọi phương trình mặt cầu S(I; R) 3.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 24 KẾT LUẬN Luận văn đề cập giải vấn đề sau: • Khái quát lại khái niệm liên quan đến hệ tọa độ trục, mặt phẳng không gian • Trình bày giải số tập liên quan đến đường mặt mặt phẳng không gian Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tòi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ phía thầy cô giáo bạn học viên để đề tài hoàn thiện Và em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Thái Sơn, người tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn ... toán hình học phương pháp tọa độ 2 Với lý nói trên, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, định chọn Phương pháp tọa độ cho toán đường mặt hình học làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học. .. tài Phương pháp toạ độ Descartes phát minh làm nên cách mạng toán học kỷ XVII Phương pháp cho phép nghiên cứu hình học ngôn ngữ đại số giải tích, mở đường cho đời môn toán học với tên gọi Hình học. .. phương pháp tọa độ qua toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Các đường mặt mặt phẳng không gian Phạm vi nghiên cứu Tổng hợp phân loại phương pháp; toán giải phương pháp tọa độ,