Giáo Trình Phương Pháp Tính (chương 5)

xxxP xxxP xP... Sauđây là ch ng trình vi t theo thu t toán trên... Ch ng trình sau mô t thu t toán trên.

CH NG 5: N I SUY VÀ X P X HÀM

§1 N I SUY LAGRANGE

Trong th c t nhi u khi ph i ph c h i m t hàm y = f(x) t i m i giá tr x

lo t các đi m xi ( i= 0, 1, 2 ) và t i các đi m xinày giá tr c a hàm là yi = f(xi)

đã bi t Bây gi ta c n tìm đa th c :

Pn(x) = aoxn+ a1xn 1 + …+an 1x + an

sao cho Pn(xi) = f(xi) = yi Đa th c Pn(x) đ c g i là đa th c n i suy c a hàm

Horner cũng đ n gi n

)xx) (

xx)(

xx) (

xx(

)xx) (

xx)(

xx) (

xx(L

n i 1 i i 1 i i 0 i

n 1

i 1

i 0

ij1)x

i i

n(x) (x )L (x)

P

Ta th y Pn(x) là m t đa th c b c n vì các Li(x) là các đa th c b c n vàtho mãnđi u ki n Pn(xi) = f(xi) = yi Ta g i nó làđa th c n i suy Lagrange

1 0

xx

xxL

−

−

=

0 1

0 1

xx

xxL

0 1

1 0

1 0

1

xx

xxyxx

xxy)

)xx)(

xx(L

2 0 1 0

2 1

xx(

)xx)(

xx(L

2 1 0 1

2 0

xx(

)xx)(

xx(L

1 2 0 2

1 0

printf( So cap (x,y) nhieu nhat la max = 20\n );

printf( So diem da cho truoc n = );

printf( Chi so cua phan tu can sua i = );

if (i!=k)g0=g0*(x0 x[i])/(x[k] x[i]);

Gi s hàm y = y(x) có giá tr cho trong b ng sau :

T hi u c p 1 c a y t i xi, xj là :

j i

j i j i

xx

yy]x,

k i

k j j

i k

j i

xx

]x,x[y]x,x[y]x,x,

0 n

xx

)x(P)x(P]x,

xx

]x,x[P]x,x[P]x,x,

∆yi= yi+1 yi

và sai phân ti n c p hai t i i:

∆2yi= ∆(∆yi) = yi+2 2yi+1 + yi

và sai phân ti n c p n là :

x

1 0

∆

=

2 2 1 0

h2

yx

,x,

x

=

n n 2

1 0

h

!n

yx

, ,x,x,

2 0

0 0

!n

)1nt)1tty

!2

)1ttyty)htx

0 0

!2

)1ttyty)htx

2 n

n 0

!n

)1nt)1tty

!2

)1ttyty)htx

Ta tính giá tr c a hàm t i 0.14 b ng đa th c n i suy Newton vì các m c cách

đ u h = 0.1 Ta có b ng sai phân sau :

i x y ∆y ∆2y ∆3y

0 0.1 0.09983

0.09884

0

!3

)2t)(

1tt00199

0

!2

)1tt099884

0.t09983

0)

for (i=1;i<=n j;i++)

y[i]=(y[i+1] y[i])/(x[i+j] x[i]);

printf( Tri so noi suy tai x0 = %4.2f la : %10.5f\n ,x0,p);

getch();

printf( Ban co muon tinh tiep cac diem khac khong(c/k) );

doscanf( %c ,&ok);

while ((ok!= c )&&(ok!= k ));

1 1

0 0

01

xx

xxy

xxy)

0 1

0 1

1 0

1 0

01

xx

xxyxx

xxy)

−

−

=Khi x = x0thì:

0 0

1

0 1 1

0 0 0

0

xx

xxy

xxy)x

1 0

1

1 1 1

1 0 0

1

xx

xxy

xxy)x

2 12

0 01

012

xx

xx)x(P

xx)x(P)x

xx(

)xx)(

xx(y)xx)(

xx(

)xx)(

xx(y)xx)(

xx(

)xx)(

xx(y)x

(

P

1 2 0 2

1 0

2 2 1 0 1

2 0

1 2 0 1 0

2 1

0

−

−+

−

−

−

−+

0 0

2

0 2 12

0 0 0

0

xx

xx)x(P

xxy

)x

1 0

2

1 2 1

1 0 1

1

xx

xxy

xxy)x

2 0

2

2 2 2

2 0 2 01

2

xx

xxy

xx)x(P)x

n n

12

0 )

1 n (

xx)x(P

xx)x(P

)x(P

10

4.1

6.05.1

24

.0

xx

xxy

xxy)x

(

P

0 1

1 1

0 0

6.08.1

6.05.1

xx

xxy

xxy)x

(

P

1 2

2 2

1 1

6.2

6.065.1

297143

1

xx

xx)x(P

xx)x(P)x

(

P

0 2

2 12

0 01

9.16.2

6.08.1x

x

xxy

xxy)x

(

P

2 3

3 3

2 2

.19.3

9.14308.1

6.065

.1

xx

xx)x(P

xx)x(P)x

(

P

1 3

3 23

1 12

9.3

9.15974.1

27242.1

xx

xx)x(P

xx)x(P)x(

P

0 3

3 123

0 012

Trong th c t , bên c nh bài toán n i suy ta còn g p m t d ng bài toán

=

1 i

2 i n n i

1 1 i 0 0 i n

1 i

2

i y a f (x ) a f (x ) a f (x )e

S

Rõ ràng S là hàm c a các giá tr c n tìm ai.và chúng ta s ch n các ai sao cho S

đ t giá tr min, nghĩa là các đ o hàm

1 0

i a a x a x a xy

⋅⋅

⋅++

⋅⋅

⋅

=+

⋅⋅

⋅++

=+

⋅⋅

⋅++

=+

⋅⋅

⋅++

=+

⋅⋅

⋅++

1 i

m i 0 n

1 i

n

1 i

1 m 2 i 1 m m 2 i m

n

1 i

i

3 i n

1 i

3 i 0 n

1 i

n

1 i

2 m i 1 m 3 m i m

n

1

i i

2 i n

1 i

2 i 0 n

1 i

n

1 i

1 m i 1 m 2 m i m

n

1 i i i n

1 i i 0 n

1 i

n

1 i

m i 1 m 1 m i m

n

1 i i 0

n

1 i

n

1 i

1 m i 1 m

m i m

yxx

ax

axa

yxx

ax

ax

a

yxx

ax

ax

a

yxx

ax

ax

a

yna

xa

xa

Đây là m t h ph ng trình tuy n tính Gi i nó ta nh n đ c các gía tr

ai Sauđây là ch ng trình vi t theo thu t toán trên

Ch ng trình 5 4

//Xap xi da thuc

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

}

}

for (j=1;j<=kp;j++)sx*=x[i];

b[p][k]+=sx;

}}

for (i=0;i<=m 1;i++)

{

c=1.0/b[i][i];

for (k=i+1;k<=m;k++)

{d=b[i][k];

for (j=i+1;j<=m;j++)b[k][j] =b[i][j]*c*d;

y1[k] =y1[i]*c*d;

b[i][k]*=c;

}y1[i]*=c;

V i các giá tr x,yđo đ c theo b ng

lny = lnA + cxlne

=+

i i n

1 i i

2 i

i i

ylnxx

Alnx

c

ylnA

lnnx

printf( So diem da cho n = );

i i n

1 i

i i

ylnxlnx

lnAlnxlnq

ylnA

lnnxlnq

x 1 2 4 5 6

và hàm x p x s là: f(x) = 1285.44x1.9531

4 Hàm l ng giác: Khi quan h y = f(x) có d ng tu n hoàn ta dùng hàm x p

x là t h p tuy n tính c a các hàm sin và cosin d ng:

ω+

ω+

1 i

n

1

i ii

0 a cos(i x) b sin(i x)a

ω+

−

= n

1 i

2 1

1 0

yS

Theo đi u ki n đ o hàm tri t tiêu ta có h ph ng trình đ i v i các h s

ωω

ωω

ωω

ωω

xcosyyb

aa

xsinx

sinxcosx

sin

xsinxcosx

cosx

cos

xsinx

cosn

1 1 0

2 2

Do :

0n

xsinxcos

2

1n

xcos2

1n

xsin

0n

xcos0

n

xsin

2 2

=ωω

=

ω

=ω

=

ω

=ω

xcosyyb

aa

2n00

02n

0

00

n

1 1 0

cosyn

2an

icosyn

2an

y

Ch ng trình tìm các h s aivà biđ c th hi n nh sau:

printf( %4c%8.4f%23c%8.4f\n , ,x[i], ,y[i]);

printf( a[0] = %8.4f\n ,a[0]);

printf( CAC HE SO BAC CAO\n );

axy

1a

n

1

2 i

1x

1Bx

1A

y

1x

1BnA

và t đó tính đ c a và b Ch ng trình sau mô t thu t toán trên