Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 2)

CHNG 2 NI DUNG PHNG PHP PHN T HU HN - Mễ HèNH CHUYN V ý đồ thay thế môi trờng liên tục -> tập hợp hữu hạn các phần tử đã xuất hiện từ lâu: * Euler (TK 18) kiến nghị thay thế mảng mỏng bằng một hệ dây mềm trực giao. * Bernoulli (1774) thay tấm chữ nhật bằng một hệ dầm trực giao để nghiên cứu dao động. * Đầu thế kỷ XX Timosenko tính đập chắn bằng mô hình tính có dạng vòm côn xôn. *Hrennikoff (1941) xem vật thể đàn hồi nh một hệ thanh khớp không gian. *Rzanhitxn (1956) mô hình hoá môi trờng liên tục bằng hệ thanh ,lập điều kiện t- ơng đơng giữa vật thể và mô hình thay thế (áp dụng cho trờng hợp hệ số Poisson 4/1= à ). *Absi (1970) đã lập điều kiện tơng đơng trên cơ sở tơng đơng năng lợng. *Từ đầu của thập kỷ 60, nhiều tác giả đã công bố tài liệu về phơng pháp này nh J.H.Argyris, R.C.Clough, H.C.Martin, R.J.Melosh, M.JTurner vv. Đặc biệt, O.C.Zienkiewic(1970), đã dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn để đặt tên phơng pháp. 1. Sự rời rạc hoá kết cấu liên tục Mô hình RRH đợc chọn thờng phải thoả mãn hai yêu cầu: + Xấp xỉ càng chính xác càng tốt các tính chất hình học và vật liệu của kết cấu thực. + Tránh đợc càng nhiều càng tốt những phức tạp về mặt toán học. Rời rạc hoá: chia kết cấu liên tục thành một số hữu hạn các miền (hoặc các kết cấu con ) gọi là các PTHH có kích thớc hữu hạn càng nhỏ càng tốt. Các PTHH có thể : + Có tính chất vật liệu không đổi hoặc thay đổi từ PT này sang PT khác. + Có dạng hình học và kích thớc khác nhau Kích thớc và số lợng các PT phụ thuộc : + Dạng hình học và tính chất chịu lực của hệ. + Yêu cầu về độ chính xác của bài toán. Dạng hình học của PTHH : + Thanh khi tính hệ thanh + Tấm tam giác, chữ nhật khi tính kết cấu tấm + Hình hộp, hình trụ, hình chóp khi tính vật thể đàn hồi Biên hay mặt biên của PTHH: thẳng hoặc cong. Sau khi RRH kết cấu, các PTHH đợc giả thiết nối với nhau tại một số điểm quy định (thờng ở đỉnh của mỗi PT) gọi là các nút ,tập hợp các PT đợc rời rạc goi là lới PTHH. Lới PTHH càng mau -> số lợng pT càng lớn ->độ chính xác càng tăng -> số lợng ẩn lớn (cần chú ý vấn đề ổn định nghiệm) m 45 45 10 20 20 60 100 Các loại phần tử hữu hạn Cùng một dạng hình học, tuỳ theo số lợng và cách đặt nút trên biên -> phân loại PTHH. PTHH bậc một (PTHH tuyến tính ): nút đặt ở các đỉnh của PT (a, c) PTHH bậc hai , ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm một nút trên mỗi cạnh (b,d) PTHH bậc ba ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm hai nút trên mỗi cạnh PTHH tam giác tuyến tính : phổ biến nhất, đợc dùng từ khi PPPTHH ra đời (năm1956), cho kết quả tốt khi phân tích bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi - PTHH chữ nhật tuyến tính : giảm nhẹ khối lợng tính nhờ lới chia có quy luật rõ ràng hơn, cho kết quả khả quan khi tính các tấm un có dạng chữ nhật. - PTHH tam giác bậc hai :đợc sử dụng từ năm 1965; cho kết quả chính xác hơn vì đã tăng số nút trong mỗi phần tử ; CV trên biên sát với CV thực hơn. Về trực quan, một PTHH bậc hai có thể xem tơng đơng với bốn PTHH tuyến tính có kích thớc nhỏ hơn. Trong bài giảng chỉ xét các loại PTHH tuyến tính 2. Hàm chuyển vị Việc chọn hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH nhằm xác định sự liên hệ giữa CV nút với CV của mọi điểm trong phạm vi của PTHH. Trờng chuyển vị - véctơ các hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH. a c b d + PTHH không gian : [ ] U = {u x (x,y,z) u y (x,y,z) u z (x,y,z)} (1) + PTHH phẳng : [ ] U = {u x (x,y,z) u y (x,y,z)} (2) Các hàm CV thờng đợc chọn dới dạng hàm đa thức ),( 321 +++= yxyxu x * Các hệ số j giữ vai trò thông số, sẽ đợc biểu thị theo các chuyển vị nút của các PTHH. Số số hạng hay số hệ số j của các hàm phải bằng số CV nút của PTHH. ẩn số của bài toán là chuyển vị tại các nút của lới PTHH => mô hình chuyển vị * Bậc của hàm phụ thuộc bậc của PTHH tơng ứng .Với PTHH tuyến tính, mỗi hàm CV biểu thị một đờng thẳng . Các đờng thẳng này phải nghiệm đúng tại các tọa độ của từng đôi nút một, tất cả các điểm trên biên nối giữa hai nút sẽ nằm trọn trên đờng thẳng đó. Kết quả : các biên của PTHH là thẳng trớc khi BD sẽ vẫn là thẳng sau khi BD . Hai biên chung của hai PTHH kề nhau có cùng một kiểu chuyển vị => tơng thích * PTHH tuyến tính Điều kiện cần và đủ để một PTHH tuyến tính tơng thích : Các hàm CV là các đa thức bậc một, trong mỗi hàm có số số hạng bằng đúng số nút của PTHH + PTHH tam giác: yxyxu x 321 ),( ++= u y (x,y)= yx 654 ++ (3) + PTHH chữ nhật: xyyxyxu x 4321 ),( +++= ; u y (x,y)= xyyx 8765 +++ (4) + PTHH hình chóp : zyxzyxu x 4321 ),,( +++= ; u y (x,y,z)= zyx 8765 +++ (5) u z (x,y,z)= zyx 1211109 +++ +PTHH hình hộp : zyxzyxu x 4321 ),,( +++= + xyzzxyzxy 8765 +++ u y (x,y,z)= zxyzxyzyx 1514131211109 +++++ + xyz 16 (6) u z (x,y,z)= xyzzxyzxyzyx 2423222120191817 +++++++ * PTHH bậc hai Điều kiện cần và đủ để một PTHH bậc hai tơng thích :hàm CV là đa thức bậc hai có số số hạng chứa trong mỗi hàm bằng đúng số nút của PTHH tơng ứng. Các hàm chuyển vị là các đa thức bậc hai. Mỗi hàm biểu thị một đờng cong parabol thoả mãn các toạ độ của ba điểm nút trên mỗi cạnh, nh vậy trớc và sau khi biến dạng, các điểm thuộc một cạnh sẽ nằm trên đờng cong parabol đó. Mặt khác, ba nút nói trên cũng thuộc về một phần tử kề bên, nên cả hai PTHH kề nhau có biến dạng giống nhau theo cạnh chung. +PTHH tam giác : 2 65 2 4321 ),( yxyxyxyxu x +++++= (7) u y (x,y)= 2 1211 2 10987 yxyxyx +++++ +PTHH chữ nhật : u x (x,y) 2 65 2 4321 yxyxyx +++++= + 2 8 2 7 xyyx + (8) u y (x,y) = 15 2 1413 2 1211109 ++++++ yxyxyx yx 2 + 16 2 xy Trong các liên hệ trên x,y,z là toạ độ của điểm bất kì của PTHH trong hệ toạ độ riêng. Nên chọn hệ toạ độ riêng sao cho có nhiều toạ độ của đỉnh PTHH bằng không càng tốt. 3. Quy đổi lực phân bố thành lực tập trung ở nút PTHH Với mỗi PTHH, ngoài lực tập trung sẵn có ở nút (nếu có), còn có : * Lực phân bố thể tích [ ] [ ] T zyx gggg = *Lực phân bố theo bề mặt [ ] [ ] zyx pppp = T Dới tác dụng của [ ] g và [ ] p => [ ] [ ] T zyx uuuU = tại điểm bất kỳ bên trong PTHH. Cho PTHH chịu chuyển vị KD [ ] u thì [ ] g và [ ] p sẽ phải sinh công khả dĩ: [ ] [ ] T V UW = [ ] g dV + [ ] T S U [ ] p dS (9) V, S -thể tích và diện tích phân bố tải trọng. Giữa [ ] U và [ ] q có sự liên hệ : [ ] U = [ ] B [ ] q [ ] B -Ma trận chữ nhật, thực hiện phép biến đổi TT từ [ ] q sang [ ] U => [ ] U = [ ] B [ ] q => [ ] U T = [ ] q T [ ] B T [ ] [ ] [ ] T V T BW = q [ ] g dV + [ ] T q [ ] S B T [ ] p dS = [ ] T q [ ] + g R [ ] T q [ ] p R (10) Với [ ] g R = [ ] T V B [ ] g dV ; [ ] p R = [ ] S B T [ ] p dS (11) Gọi [ ] R -lực tập trung quy đổi về nút ; CKD của [ ] R : [ ] W = [ ] T q [ ] R (12) Điều kiện tơng đơng : Công KD của các lực phân bố = Công KD của [ ] R . Đối chiếu (10) và (12): [ ] R = [ ] g R + [ ] p R (13) 4. Các phơng trình cơ bản của PPPTHH-mô hình chuyển vị Có thể lập theo nhiều hớng, chẳng hạn :NLý CKD, ĐL Castigliano Sử dụng NLý CKD 4.1. Phơng trình cân bằng của PTHH thứ i * Trong hệ toạ độ địa phơng 0xyz Với hệ đàn hồi tuyến tính : [ ] [ ] [ ] i ii qD= ; [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] i ii i i qDEE 00 == TheoNLCKD: : [ ] [ ] [ ] i V T ii DR = dV = [ ] [ ] [ ] [ ] i V i i T i qdVDED 0 Hay [ ] i R = [ ] [ ] i i qK (14) [ ] = i K [ ] [ ] [ ] V i i T i dVDED 0 (15) [ ] i q - véc tơ chuyển vị nút ; [ ] i R - véc tơ các lực nút [ ] i K - ma trận độ cứng của PTHH thứ i biểu thị phép biến đổi TT từ [ ] i q sang [ ] i R [ ] i K - vuông, đối xứng, kích thớc bằng tổng các thành phần CV nút của PTHH. - Chứa các đặc trng cơ học và hình học của PTHH. - Suy biến ( 0=K ) vì cha thể hiện điều kiện biên. * Trong hệ toạ độ chung O'x'y'z' chọn dùng cho toàn hệ Oxyz => O'x'y'z' [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i i i i i q q q T q = (16) Tìm [ ] i T ; xét một nút có 3 CV, từ hình giải tích: x' q 2 q q 1 q' 3 q' 2 q' 1 Hệ tọa độ chung Hệ tọa độ địa phuơng z' y' z y x PTH H i 3 cosin của các Đối với x y z x l xx l xy l xz y l yx l yy l yz z l zx l zy l zz 1 1 ' 2 ' 3 2 1 ' 2 ' 3 3 1 ' 2 ' 3 xx xy xz yx yy yz zx zy zz q l q l q l q q l q l q l q q l q l q l q = + + = + + = + + với (17) + Trờng hợp PTHH là một điểm nút: [ ] [ ] i T l = + Trờng hợp tổng quát: [ ] i T - MT khối chéo. Kích thớc phụ thuộc kích thớc của [ ] i q ; số khối chéo bằng số tập hợp CV nút [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i T l l l l = (18) + Trờng hợp thanh không gian: 2nút, mỗi nút có tập hợp 3 CV thẳng và 3 CV xoay: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i T l l l l = + Trờng hợp thanh thanh thẳng trong mặt phẳng x, y: phơng z không đổi; 2 nút, mỗi nút có 3 CV [ ] [ ] [ ] i T l l = [ ] 1 1 2 2 3 3 q q q l q q q = [ ] ' ' ' ' ' ' xx xy xz yx yy yz zx zy zz l l l l l l l l l l = [...]... ] i [ K ] i [T ] i [ q'] i [ R'] = [ K '] [ q'] Hay i i ( 22) i [ R'] = [T ] [ R] ; [ q'] = [T ] [ q] T => [ K '] i = [T ] i [ K ] i [T ] i ; T i T i i i i i (23) 4.2 Phơng trình cân bằng của toàn bộ kết cấu * Ghép các phần tử - Giả sử hệ đợc rời rạc hoá thành m PTHH Viết ( 22) cho tất cả các PT rồi gộp lại sẽ đợc : [ R'] = [ K ' ] [ q'] (24) g Trong đó : [ R '] = { [ R '] 1 [ R'] 2 [ R '] i [ R'] m }... đó : [ R '] = { [ R '] 1 [ R'] 2 [ R '] i [ R'] m } [ q'] = {[ q'] [ q'] .[ q'] .[ q'] } [ K ' ] = [ K '] [ K '] [ K '] [ K '] 1 g 2 1 i 2 m i m (25) * Khử trùng lặp - Trong (24), một số phần tử của [ R '] và [ q'] đợc lặp lại một số lần Ví dụ : tại nút k có r PTHH quy tụ => có r PT thể hiện ĐKCB tại nút k => lặp lại r lần Cần gộp r PT đó thành một PT chung Biến đổi [ ] [ ][ ] [ q'] = [ H ] [q ] [... trung đặt ở nút) [R ] = g [ R ] i cho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng (cha kể TT tập [ ] + Xác định Rg [ D]T [ E0 ] i [ D] i dV [ K ] i = V i i [ ] và R p T [ B] [ g ] dV V i theo (11): ; [ B]T [ p ] dS [ Rp ] = S + Xác định [ R]i : [ R]i = [ R ] + [ R ] g i p i [ R] i = [ K ]i [ q] i 6 PTCB của các PTHH trong hệ TĐ địa phơng : 7 PTCB của các PTHH trong hệ TĐ chung: * Lập [T ] i => [T ] iT * Tìm... -> tồn tại [ K ] * * 1 [q ] = [ K ] [ R ] Từ (31) -> * * Biết [q ] 5 1 ( 32) * Thứ tự giải bài toán * -> Trạng thái ứng suất và biến dạng cần tìm 1 Chọn loại và dạng PTHH 2 Rời rạc hoá kết cấu thành lới PTHH theo loại và dạng đã chọn 3 Chọn hàm chuyển vị xấp xỉ [U ] i cho PTHH đã chọn 4 Lập ma trận độ cứng [ K ] i cho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng + [U ] i = [ B ] i [ q ] i => [ B ] i + Căn cứ... [ H ] T [ R '] = [ q ] T [ R ] T g (28) (29) Nếu tại các nút của hệ có ngoại lực tập trung mô tả bởi [ RP ] thì trong (28) cần thay [ R] bằng [ R'] = [ R] + [ R ] = [ K ] [q] P [ R'] = [ R] + [ R ] = [ K ] [q] (30) P * Khử suy biến - PTCB (28) và (30) biểu thị sự cân bằng của hệ còn tự do trong không gian nên [ K ] suy biến Sau khi bổ sung ĐK biên : [ R ] = [ K ][q ] * * * (31) [ R ] và [q ] - suy từ... l xx l xy ' [ l ] = l yx l yy ' 0 0 sin 0 0 1 cos 0 (19) Vì lực và CV tại nút cùng đợc mô tả theo cùng hệ toạ độ địa phơng và chung nên : [ R] = [T ] [ R'] i i i [ R'] = [T ] [ R ] i T => PTCB trong hệ TĐ địa phơng i [ R] = [ K ] [ q] i i [ R'] = [T ] [ K ] [T ] [ q'] (20) i i => [T ] i [ R'] = [ K ] [T ] [ q'] i 1 i i i i i i i (21) i Khi đổi hệ TĐ ,công của lực trên các chuyển vị tơng ứng... các PTHH trong hệ TĐ chung: * Lập [T ] i => [T ] iT * Tìm [ R'] i = [T ] T [ R ] i i * Tìm [ K '] i = [T ] T [ K ] i [T ] i i * Tìm [ q'] i = [T ] T [ q] i i [ R'] i = [ K '] i [ q']i 8 PTCB của toàn hệ trong hệ TĐ chung: * Gộp các PTHH [ R'] = [ K g' ][ q'] 9 PTCB của toàn hệ sau khi khử trùng lặp * Lập [ H ] -> [ H ]T * Tìm [ R ] = [ H ] T [ R '] * Tìm [ R'] = [ R ] + [ RP ] * Tìm [ K ] = [ H ] T [ . : 2 65 2 4 321 ),( yxyxyxyxu x +++++= (7) u y (x,y)= 2 121 1 2 10987 yxyxyx +++++ +PTHH chữ nhật : u x (x,y) 2 65 2 4 321 yxyxyx +++++= + 2 8 2 7 xyyx + (8) u y (x,y) = 15 2 1413 2 121 1109 ++++++. zyx 121 1109 +++ +PTHH hình hộp : zyxzyxu x 4 321 ),,( +++= + xyzzxyzxy 8765 +++ u y (x,y,z)= zxyzxyzyx 151413 121 1109 +++++ + xyz 16 (6) u z (x,y,z)= xyzzxyzxyzyx 24 2 322 2 120 191817 +++++++ *. theo (24 ), (26 ) [ ] 'R = [ ] g K ' [ ] 'q = [ ] g K ' [ ] H [ ] q Thay vào (27 ): (28 ) Với (29 ) Nếu tại các nút của hệ có ngoại lực tập trung mô tả bởi [ ] P R thì trong (28 )