Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 3)

CHNG 3 p dng PPPTHH (MH CV) tớnh h thanh Khi áp dụng để tính hệ thanh, cần : * Chọn PTHH : thanh lăng trụ có EJ, EF không đổi trong phạm vi từng thanh * Lập ma trận độ cứng của các PTHH trong hệ toạ độ địa phơng và HTĐ chung * Thực hiện các khâu tính toán nh đã nêu ở chơng 2 1. Ma trận độ cứng của PTHH thanh phẳng trong hệ toạ độ địa phơng A- Thanh chịu kéo (nén) + uốn ngang phẳng 1.Thanh có hai nút ở hai đầu [ ] [ ] [ ] i ii qKR = (1) [ ] i q = i qqqqqq 654321 [ ] i R = i RRRRRR 654321 [ ] i K = [ ] [ ] [ ] dvDED i i T i V 0 (2) z l y x x y z 5 6 2 1 3 EJ=co nstt EF=c onst 4 18 * [ ] i E 0 = E- môđun ĐH (kéo ,nén) * [ ] i D =? [ ] i = [ ] [ ] i i qD để xây dựng quan hệ này cần giả thiết hàm chuyển vị Hàm chuyển vị : ( ) xu x = x 21 + ( ) 3 6 2 543 xxxxu y +++= (đúng khi lực đặt ở nút) Tìm i qua chuyển vị nút tại x=0 và x=l ( ) 0 x u = 11 q= : ( ) =lu x 1 q + 42 ql = => ( ) lqq / 142 = ( ) 0 y u = 3 = 2 q : 5 3 6 2 542 )( qlllqlu y =+++= ( ) 34 ' 0 qu y == : ' y u ( ) l = q 3 +2 6 2 65 3 qll =+ => 5 =(-3 6532 32 lqqlqq + )/ 2 l ; 3 65326 /)22( llqqlqq ++= Thay các vào hàm chuyển vị, sắp xếp lại theo q ( ) ( ) ( ) 4411 qxHqxHxu x += ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66553322 qxHqxHqxHqxHxu y +++= ; ( ) xH i - các hàm Hermite,có tính chất trực giao ( ) l x xH =1 1 ; ( ) 3 3 2 2 2 231 l x l x xH += ; ( ) 2 32 3 2 l x l x xxH += ( ) l x xH = 4 ; ( ) 3 3 2 2 5 23 l x l x xH = ; ( ) 2 32 6 l x l x xH += Dạng ma trận : [ ] [ ] [ ] i ii qBU = [ ] i U = ( ) ( ) xu xu y x ; [ ] i B = 6532 41 00 0000 HHHH HH (3) 19 Biến dạng tỷ đối : Trạng thái căng theo một trục (kéo nén +uốn); { } 6 '' 65 " 53 " 32 " 24 ' 41 ' 1 ", qHqHqHqHyqHqHyuu y u yx x x x ++++==+ = Dạng ma trận : [ ] i = [ ] [ ] i i qD [ ] i = x ; [ ] i D = [ ] i yHyHHyHyHH '' 6 " 5 ' 4 " 3 " 2 ' 1 = == = == l x l H l x l H l H l x l H l x l H l H 31 2 21 61 32 2 21 61 " 6 2 " 5 ' 4 " 3 2 " 2 ' 1 *Ma trận độ cứng [ ] [ ] [ ][ ] [ ] dVyHyHHyHyHH yH yH H yH yH H EdVDEDK V T V i '' 6 " 5 ' 4 " 3 " 2 ' 1 " 6 " 5 ' 4 " 3 " 2 ' 1 0 == Thực hiện phép nhân với chú ý : E l EF dxHHEFdxHHdFEdVHH i l ii V F l iii === '''''' E l EF dxHHEFdxHHdFEdVHH j l ij V F l iji === '''''' E ( ) 0 "'"' == dxHHYdFEdVYHH j F l ij V i E ( ) 3 " 2 " 2 2" 5 " 5 " 2 " 2 12 l EJ dxHHdFYEdVHHEdVHH lFVV === 20 E 3 " 5 " 2 2" 2 " 5 " 5 " 2 12 l EJ dxHHdFYEdVHHEdVHH F lVV −=−== ∫ ∫∫∫ E ( ) 3 " 3 " 2 2" 6 " 2 " 3 " 2 6 l EJ dxHHdFYEdVHHEdVHH lFVV =−== ∫∫∫∫ E 3 " 5 " 3 2" 6 " 5 " 5 " 3 6 l EJ dxHHdFYEdVHHEdVHH lFVV −=−== ∫∫∫∫ ( ) '' '' '' '' 2 '' '' 3 3 6 6 3 3 3 4 V V F l EJ E H H dV E H H dV E Y dF H H dx l = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) '' '' '' '' 2 '' '' 3 6 6 3 3 6 3 2 V V F l EJ E H H dV E H H dV E Y dF H H dx l = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ KÕt qu¶: [ ]                               − −−− − − − − = L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EF L EF L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EF L EF K i 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 (4) 2. Thanh cã nót ë ®Çu tr¸i ,khíp ë ®Çu ph¶i 21 • Hµm chuyÓn vÞ: 1 2 2 3 3 4 5 6 ( ) ( ) x y u x x u x x x x α α α α α α = + = + + + T×m i α qua chuyÓn vÞ t¹i x =0 vµ x = l 1 1 (0) x u q α = = ( ) 1 2 4 2 4 1 ( ) / x u l q l q q q l α α = + = → = − 4 3 (0) y u q α ′ = = 2 3 2 4 5 6 5 ( ) y u l q l l l q α α α = + + + = 4 3 (0) y u q α ′ = = 2 5 6 ( ) 2 6 0 y u l l l α α ′ = + = Thay c¸c α vµo hµm chuyÓn vÞ, x¾p xÕp l¹i theo q 1 1 4 4 ( ) ( ) ( ) x u x H x q H x q= + * * * * 2 2 3 3 5 5 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) y u x H x q H x q H x q H q= + + + 2 3 * 2 2 3 3 ( ) 1 2 2 x x H x l l = − + ; 2 3 * 3 2 3 ( ) 2 2 x x H x x l l = − + ; 2 3 * * 5 6 2 3 3 ( ) ; ( ) 0 2 2 x x H x H x l l = − = D¹ng ma trËn: [ ] [ ] [ ] i i i U B q= ( ) [ ] ( ) x i y u x U u x   =     ; 1 4 * * * * 2 3 5 6 0 0 0 0 [ ] 0 0 i H H B H H H H   =     (5) Thùc hiÖn t¬ng tù nh trªn : 3 1 2 4 x 5 22 [ ] = 000000 0 3 0 33 0 0000 0 3 0 33 0 0 3 0 33 0 0000 323 22 323 l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF K i (6) 3.Thanh có nút ở đầu phải, khớp ở đầu trái [ ] = l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EF l EF K i 33 00 3 0 33 00 3 0 0000 000000 33 00 3 0 0000 22 233 233 (7) B- Thanh chịu uốn ngang phẳng (bài toán dầm) 4 x 5 2 1 6 23 1.Thanh có 2 nút ở hai đầu [ ] [ ] [ ] i ii qKR = [ ] i q = { } 4321 qqqq ; [ ] { } 4321 RRRRR i = ; Hàm chuyển vị : u ( ) 3 6 2 543 xxxx y +++= Ma trận [ ] [ ] 6532 HHHHB = [ ] = i K l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ 4626 612612 2646 612612 22 2323 22 2323 = 3 2 l EJ 22 22 233 3636 323 3636 llll ll llll ll ( ) 8 x y 2 1 3 y x l 4 z z EJ=const 24 2. Thanh có nút ở đầu trái khớp ở đầu phải [ ] = = 0000 011 0 011 3 0000 0 333 0 333 0 333 2 3 323 22 323 l lll l l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ K i ( ) 9 3. Thanh có nút ở đầu phải ,khớp ở đầu trái [ ] i K = l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ 33 0 3 33 0 3 0000 33 0 3 22 233 233 = 3 3 l EJ 2 0 101 0000 101 lll l l ( ) 10 C- Thanh chịu kéo nén (bài toán dàn) [ ] [ ] [ ] i ii qKR = [ ] i q = { } 4321 qqqq i ; [ ] i R = { } 4321 RRRR i 2 3 1 l x 4 3 1 l x 25 Hàm chuyển vị : ( ) xxu x 21 += ; ( ) xxu y 43 += [ ] = 21 21 00 00 HH HH B i => [ ] = 0000 0101 0000 0101 l EF K i ( ) 11 2. Ma trận độ cứng của PTHH thanh phẳng trong hệ toạ độ chung [ ] [ ] [ ] [ ] ii T ii TKTK =' Cần tìm [ ] i T A- Thanh chịu kéo (nén) +uốn ngang phẳng [ ] i T = 100000 0000 0000 000100 0000 0000 xy yx xy yx cc cc cc cc ( ) 12 x c = cos ; y c = sin [ ] i K' = ( ) ( ) ( ) + + + + A CcScDc CcCcScDc BCcCcA CcScDcccSDCcScDc CcccSDScDcCcccDSScDc xyx yyxy xy xyxyxxyx yyxxyyyxxy 22 22 2222 2222 DX ( ) 13 A = 4EJ/l ; B = 2EJ/l ; C = 6 EJ/l 2 ; D = 12EJ/l 3 ;S = EF/l B- Thanh chịu uốn ngang phẳng(bài toán dầm) 26 x' y' 0 ' x y 0 i Nếu chọn hệ toạ độ chung có trục x trùng với trục dầm [ ] [ ] ii KK =' C- Thanh chịu kéo nén (bài toán dàn) [ ] = xy yx xy yx i cc cc cc cc T 00 00 00 00 -> [ ] i K ' = 22 22 22 22 yyxyyx yxxyxx yyxyyx yxxyxx cccccc cccccc cccccc cccccc l EF (14) 3. Quy đổi lực đặt ở bên trong PTHH về lực tơng đơng đặt ở nút Trong hệ toạ độ địa phơng : [ ] i R Trong hệ toạ độ chung : [ ] [ ] [ ] i T ii RTR =' ; [ ] i T đã biết ;cần tìm [ ] i R A- Thanh chịu kéo (nén) + uốn ngang phẳng 1. Thanh có 2 nút ở hai đầu Tải trọng phân bố theo chiều dài trục thanh áp dụng : [ ] [ ] [ ] dSpBR T S p = l R 1 x y R 2 R 3 R 5 R 6 R 4 P y (x) x p x (x) 27 [...]... Bổ sung trờng hợp uốn ngang phẳng trong mặt xoz (q 3 , q6 , q9 ,q 12 )-tơng tự nh trờng hợp uốn ngang phẳng trong mặt xoy ,thay J y bằng J z Bổ sung trờng hợp xoắn thuần tuý quanh trục x A PTHH thanh lăng trụ chịu xoắn thuần tuý * Phơng trình cơ bản : [ R ] i = [ K ] xoắn,i [ q ] i y m(x) x l z qj j k qk 43 [ q] = [ q i j qk ] ; [ R ] i = [ R j Rk ] *Ma trận độ cứng trong hệ TĐ địa phơng Hàm chuyển... biết 31 E.kN/cm 2 l.cm J.cm 4 1000 100 10 4 Số liệu của các phần tử Phần tử F.cm 2 10 P.kN M=Pl.kNcm 10 1000 Nút i Nút j F J l (đầu) (cuối) cm 2 cm 4 cm cx cy 1 2 1 10 1000 100 1.0 0.0 2 1 3 10 1000 125 0.8 -0.6 p q=2 4p/l U5 = 0 J;F U2 U4 = 0 M=pl 2 Cosin chỉ phơng U1 2 1 1 1 2p U6 =0 2 J ;F 3l/4 U3 U8 = 0 3 l/2 l l 3 U7 =0 U9 = 0 1.Ma trận độ cứng của các PTHH trong hệ toạ độ chung [ K '] = [ K ] 1 1... chuyển vị bằng không) [ R ] = {0 * 32 1050} 11.Xác định các chuyển vị nút Giải phơng trình [ K * ][ q* ] = [ R* ] 35 798.0 632.5 0.019 0 0.02026 [ q* ] = [ K * ] 1 [ R* ] = 632.5 2798.0 9.355 ì10 6 32 = 0.09936 0.019 9.355 14.26 1050 0.00180 12.Xác định véctơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ toạ độ địa phơng 0.0 4 0.0 5 0.0 6 [ q ]1 = ; 0.02026 1 0.09936 2... 0.00179 0.0017 3 = 0 0 7 8 0 0 0 0 9 Ví dụ 2 Tìm nội lực ,chuyển vị trong hệ dàn 36 PT Nút j Nút k Fi li cos sin 1 1 2 0.6F 0.6l 1 0 2 3 4 0.6F 0.6l 1 0 3 3 1 0.8F 0.8l 0 1 4 4 2 0.8F 0.8l 0 1 5 1 4 F l 0.6 -0.8 6 3 2 F l 0.6 0.8 p y M=1,2pl 2p l,F F,l 2,5p 0 45 8l p= l 2p 2p x 1.Ma trận độ cứng [ K ' ] i ,trong HTĐ chung 37 1 0,6 EF 0 ' = K ' 2 = [ K ]1 = [ K ] 2 = K 1 0,6l 1 0 [... 10.611 4.020} EF Pl { 0 0 10.611 4.020} EF 41 14.Từ [ q ' ] => chuyển vị của các PTHH trong hệ toạ độ địa phơng: [ q ] i = [T ] i [ q ' ] i [ q] Ví dụ ,tìm 1 = Pl {10.001 4.147 10.611 4.020} ; EF [ q] 4 = [T ] 4 [ q ' ] 4 = Pl { 0 0 4.020 10.611} ; EF [ q] 5 = [T ] 5 [ q ' ] 5 = Pl { 2.683 10.489 0 0} ; EF 15.ứng suất trong các thanh 1,4,5, [ ] i = E [ ] i = E [ D ] i [ q ] i = E [ H 1' 0] 0 H 4' [... const ; p y ( x ) = p y =const [ R] = 1 p l i 2 x 3 1 pyl 0 pxl 8 2 1 p yl 2 8 5 pyl 8 ( 23) * Tải trọng tập trung Khi = = = 1 / 2 [ R] = 1 T i 1 11P 9M 3Pl M 5P 9M + ( 24 ) 0 T 8l 2 16 8l 16 8 16 2 B- Thanh chịu uốn ngang phẳng (bài toán dầm) Loại bỏ các hàng thứ nhất và thứ t trong các ma trận (15) ( 24 ) C- Thanh chịu kéo nén (bài toán dàn) * Tải trọng phân bố theo chiều... đổi đặt ở nút (trong hệ TĐ địa phơng) + Trờng hợp PTHH chịu tác dụng mômen xoắn m(x) phân bố theo trục thanh 1 H 1 ( x ) m( x ) dx R [ R] i = j = 10 ;khi m= const R k H 4 ( x ) m( x ) dx 0 [ R] = ml i 1 2 1 + Trờng hợp PTHH chịu mô men xoắn tập trung M R j M H 1 ( l ) 1 = M H ( l ) = M Rk 4 [ R] = i 44 B Ma trận độ cứng của PTHH thanh không gian trong hệ toạ độ... / l ) M H 3' ( l ) M z H 6' ( l ) M x i z (1 )( 6 / l ) M 0 z (1 ) M y ( 1 + )( 6 / l ) M y M x H 3' ( l ) M z H 6' ( l ) M z } Hay: (1 4 + 3) M (1 4 + 3 ) M ( 3 2 ) M z ( 3 2) M y } 2 x z y D Ma trận [ K ' ] i và [ R ' ] i của thanh không gian trong hệ toạ độ chung [ K ] = [T ] [ K ] [T ] ; [ R ] = [T ] [ R ] T ' i i T ' i [ l ] [T ] i = i [l] i [l] i i l xx ' với [ l ] = llx '... theo (4) 32 0 0 1000 0 0 1000 0 120 6000 0 120 6000 0 6000 400000 0 6000 200000 [ K ] 1 = 0 0 0 1000 0 0 1000 0 120 6000 0 120 6000 0 6000 200000 0 6000 400000 [K ] ' 2 lập theo ( 13) hoặc [ K '] 2 = [T ] T [ K ] 2 [T ] 2 với [ K ] 2 lập theo (4): [T ] 2 -lập theo (12) 2 0 0 800 0 0 800 0.8 0.6 0 0 6 0 8 61 3840 0 61 3840 0 3840 320000 0 3840 160000 0 0 ; [T ] 2 =... 3072.0 3072.0 320000 2304.0 3072.0 160000.0 354.5 2304.0 534.1 354.5 2304.0 327.3 3072.0 354.5 327.3 3072.0 3072.0 160000 2304.0 3072.0 320000.0 2.Véctơ lực nút tơng đơng của từng PTHH trong hệ toạ độ chung [ R'] = [ R] = { R 1 {0 1 ( ql / 2) ' 4 R5' R6' R1' R2' R3' } ( ql 2 / 12) 0 ( ql / 2) ( ql = 2 / 12)} = { 0 12 200 0 12 200} 33 [ R'] = { R ' 1 2 R2' { 2 P.0.6 / 2 R3' R7' . ] 2 'K =                   −− −−−− −−−− −− −− −− 0 .32 00000 .30 720. 230 41600000 .30 720. 230 4 0 .30 7 23. 3275 .35 40 .30 7 23. 3275 .35 4 0. 230 45 .35 41. 534 0. 230 45 .35 41. 534 0.1600000 .30 720. 230 432 00000 .30 720. 230 4 0 .30 7 23. 3275 .35 40 .30 7 23. 3275 .35 4 0. 230 45 .35 41. 534 0. 230 45 .35 41. 534 2.VÐct¬. HKHK g T ' 34 000 .32 030 72 230 416000 030 72 230 4000 30 7 23. 3275 .35 430 7 23. 3275 .35 4000 230 45 .35 41. 534 230 45 .35 41. 534 000 000.16 030 72 230 4000.7202928 230 4000.20060000 30 7 23. 3275 .35 4292 83. 4475 .35 460001200 230 45 .35 41. 534 230 45 .35 41.1 534 001000 000000.20060000000.40060000 0006000120060001200 000001000001000 9 8 7 3 2 1 6 5 4 98 732 1654 6.Ma. ] = = 0000 011 0 011 3 0000 0 33 3 0 33 3 0 33 3 2 3 3 23 22 32 3 l lll l l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ K i ( ) 9 3. Thanh có nút ở đầu phải ,khớp ở đầu trái