Giáo Trình Phương Pháp Tính (chương 2a)

printf Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen ;printf \nbang cach chia doi cung\n ; printf Cho cac gia tri x0,x1,maxlap\n ; printf Cho gia tri x0 = ;... aya aa printf Tim nghiem cua phuon

CH NG 2: GI I G N ĐÚNG PH NG TRÌNH

Đ I S VÀ SIÊU VI T

§1 KHÁI NI M CHUNG

Ta có đ nh lí: Xét ph ng pháp l p (3), gi s :

[a,b] là kho ng phân li nghi m α c a ph ng trình (1) t c là c a (2)

m i xntính theo (3) đ u thu c [a, b]

bxa,1q)x(

x = 1000 x3= g(x)thì d th y | g (x) | > 1 trong kho ng ( 9, 10 ) nên không tho mãn đi u ki n(4)

Cho giá tr đ u xo = 1.K t qu tính toán x = 9.966555

§3.PH NG PHÁP CHIA ĐÔI CUNG

Gi s cho ph ng trình f(x) = 0 v i

f(x) liên t c trên đo n [a, b] và f(a).f(b) <

0 Chia đo n [a, b] thành 2 ph n b i

chính đi m chia (a + b)/2

b 1

ξ

b a

printf( Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen );

printf( \nbang cach chia doi cung\n );

printf( Cho cac gia tri x0,x1,maxlap\n );

printf( Cho gia tri x0 = );

printf( Phep lap khong hoi tu sau %d lan lap ,maxlap);

Gi s f(x) liên t c trên trên đo n [a, b] và f(a).f(b) < 0 C n tìm nghi m

c a f(x) = 0 Đ xác đ nh ta xem f(a) < 0 và f(b) > 0 Khi đó thay vì chia đôi

đo n [a, b] ta chia [a, b] theo t l f(a)/f(b) Đi u đó cho ta nghi m g n đúng:

x1= a + h1

Trongđó

) a b ( ) b ( ) a (

) a (

h 1 =− − + −

Ti p theo dùng cách đó v i đo n [ a, x1] hay [x1, b] mà hai đ u hàm

nh n giá tr trái d u ta đ c nghi m g n đúng x2v.v

V m t hình h c, ph ng pháp này có nghĩa là k dây cung c a đ ng congf(x) qua hai đi m A[a, f(a)] và B[b, f(b)] Th t v y ph ng trình dây cung AB

có d ng:

)a(ya

)a(a

printf( Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n );

printf( bang phuong phap day cung\n );

printf( Cho cac gia tri a,b\n );

printf( Cho gia tri cua a = );

elseb=x;

b(f)x(

y = 0, nghĩa là:

)xx)(

b(f)x

−

hay :

)x(f

)x(x

x

0

0 0

T x1 ta l i ti p t c v ti p tuy n v i đ ng cong thì giao đi m xis ti n t i

Vi c ch n đi m ban đ u xo r t quan tr ng Trên hình v trên ta th y

đ nh lí:

N u f(a).f(b) < 0 ; f(x) và f (x) khác không và gi nguyên d u xác đ nh khi x

∈ [a, b] thì xu t phát t xo∈ [a, b] tho mãn đi u ki n f(x o ).f″(x o ) > 0 có th tính theo ph ng pháp Newton nghi mξ duy nh t v i đ chính xác tu ý.

đ t i đó f(xo).f (xo) > 0 Áp d ng lí thuy t trên chúng ta xây d ng ch ngtrình tính sau:

printf( Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n );

printf( bang phuong phap lap Newton\n );

printf( Cho gia tri cua x0 = );

t = fabs(x[i+1] x[i]);

x[i]=x[i+1];

i=i+1;

if (i>100){

printf( Bai toan khong hoi tu\n );

getch();

exit(1);

}else

có hoành đ l n l t là a = x2, b = x1 và ta ch n thêm m t đi m x0 n m trong

2 2 2

2

1 1

2 1 1 1

0

2 0

fcbhah

)xx(h

v

fcbhah

)xx(h

v

fc)0(b)0(a)xx(0

v

=++

=

=

=++

=

=

=++

1

2 1

2 0

b

)1(h

f)1(ffa

+γ+

−γ

=

Sau đó ta tìm nghi m c a ph ng trình av2 + bv + c = 0 và có :

ac4bb

c2x

n

2 0

Ti p đó ta ch n nghi m g n x0 nh t làm m t trong 3 đi m đ tính x p x

m i Các đi m này đ c ch n g n nhau nh t Ti p t c quá trình tính đ nkhi đ t đ chính xác yêu c u thì d ng l i

Ví d : Tìm nghi m c a hàm f(x) = sin(x) x/2 trong đo n [1.8, 2.2] Ta ch n

0)

11(2.01

07385

0)11()0907.0()2915.0(1

02

.0

2.0)45312

0()097.0(2915.0b

Ta có nghi m g n x0nh t là :

89526

1)0907.0()45312

0(4)91338

0(91338

0

)0907.0(20

.2

2 4

109184

1

c

81826

010474

.0

10474

0)4728.0(109184.10907.0b

4728.09095

.110474

09095.0

07385

09095.1)109184.1()0907.0(9095.0

110

9184.1)4728.0(4)81826

0(81826

0

109184.1289526

1

n

4 2

Ta có th l y n1 = 1.895494 làm nghi m c a bài toán

printf( Cho khoang can tim nghiem [a,b]\n );

printf( Cho gia tri duoi a = );

b=(f(x1) f(x0) a*(h1*h1))/h1;

c=f(x0);

if ((a==0)&&(b!=0)){

n1= c/b;

n2=n1;

}

if ((a!=0)&&(b==0)){

n1=( sqrt( c/a));

n2=(sqrt( c/a));

}

if ((a!=0)&&(b!=0)){

n1=x0 2*c/(b+(sqrt(b*b 4*a*c)));

n2=x0 2*c/(b (sqrt(b*b 4*a*c)));

}

if (fabs(n1 x0)>fabs(n2 x0))

if (xr>x0){

x2=x0;

x0=xr;

}else{x1=x0;

x0=xr;

}}

Nghi m c a ph ng trình trên tho mãnđ nh lí: N u max{| a 1 |, | a 2 |, , |a n

|} = A thì các nghi m c a ph ng trình tho mãn đi u ki n | x | < 1 + A/ | a 0 |

α ta chia đa th c Pn(x) cho (x α) và nh n đ c đa th c m i Qn 1(x) Ti p t c

Sauđó l i ti p t c các b c trên cho đ n khi tìm h t các nghi m c a Pn(x)

Đây là m t ph ng trình sai phân tuy n tính h s h ng Khi cho tr c cácgiá tr đ u yo, y1, yn 1 ta tìm đ c các giá tr yn, yn+1, Chúng đ c g i là

k 2 2

k 1 1

=

k

1

2 2

1 k

1 1 k

x

xc

c1xcy

=

+ +

+

1 k

1

2 2

1 1

k 1 1 1

k

x

xc

c1xcy

1 k

1

2 2 1

1 k

1

k

x

xc

c1

x

xc

c1xy

1 2 k

1 k

đ c xác đ nh t n giá tr yk 1, yk 2, ,yn 1.Đi u cho phép tính toán b ng cách

Đ tính nghi m l n nh t c a đa th c, ta xu t phát t các nghi m riêng

y1 = 0, y1 = 0, , yn =1 đ tính yn+1 Cách tính này đ c ti p t c đ tính yn+2

xu t phát t y1 = 0, y2 = 0, ,yn+1và ti p t c cho đ n khi yk+1/yk không bi nđ i

n a Tr s c a yk+n đ c tính theo công th c truy h i :

0 n

yk+3 10yk+2+ 31yk+1 30yk= 0

Ta cho tr c các giá tr y1 = 0; y2 = 0 và y3= 1 Theo (4) ta tính đ c :

y4 = ( 10y3 + 31y2 30y1) = 10

y5 = ( 10y4 + 31y3 30y2) = 69

y6 = ( 10y5 + 31y5 30y3) = 410

y7 = ( 10y6 + 31y5 30y4) = 2261

y8 = ( 10y7 + 31y6 30y5) = 11970

y9 = ( 10y8 + 31y7 30y6) = 61909

y10= ( 10y9+ 31y8 30y8) = 315850

y11= ( 10y10+ 31y9 30y8) = 1598421

y12= ( 10y11+ 31y10 30y9) = 8050130

y13= ( 10y12+ 31y11 30y10) = 40425749

y14= ( 10y13+ 31y12 30y11) = 202656090

y15= ( 10y14+ 31y13 30y12) = 1014866581

y16= ( 10y15+ 31y14 30y13) = 5079099490

y17= ( 10y16+ 31y15 30y14) = 24409813589

y18= ( 10y17+ 31y16 30y15) = 127092049130

y19= ( 10y18+ 31y17 30y16) = 635589254740

T s các s yk+1/ykl p thành dãy :

10 ; 6.9 ; 5.942 ; 5.5146 ; 5.2941 ; 5.172 ; 5.1018 ; 5.0607 ; 5.0363 ; 5.0218 ;5.013 ; 5.0078 ; 5.0047 ; 5.0028 ; 5.0017 ; 5.001

nghĩa là chúng s h i t t i nghi m l n nh t là 5 c a đa th c

while((l<=50)||(e2>=e1));

if(e2>=e1)

{

i n

i n i 1

ch n m t giá tr xonàođó, ví d :

1 n

n 0

a

ax

)x(Px

x

0 n

0 n 0

)x(P

)x(Px

x

1 n

1 n 1

M t khác khi chiađa th c Pn(x) cho m t nh th c (x xi) tađ c :

v i bn = Pn(xi) Đa th c Pn 1(x) có d ng:

Pn 1(x) = boxn 1 + b1xn 2+ p3xn 3+ + bn 2x + bn 1 (4)

Đ xác đ nh các h s c a đa th c (4) ta thay (4) vào (3) và cân b ng

x

(

Pn′ = − i n′−1 + n−1

Nh v y v i m t giá tr xi nào đó theo (2) ta tính đ c Pn(xi) và k t

h p (6) v i (7) tính đ c P′n(xi) Thay các k t qu này vào (1) ta tính đ cgiá tr xi+1 Quá trình đ c ti p t c cho đ n khi | xi+1 xi | < ε hay Pn(xi+1) ≈ 0nên α1≈ xi+1là m t nghi m c a đa th c

Phép chia Pn(x) cho (x α1) cho ta Pn 1(x) và m t nghi m m i khác

đ c tìm theo cách trên khi ch n m t giá tr xo m i hay ch n chính xo=α1

375.15.3)x(P

)x(Px

x

0 n

0 n 0

096.06.3)x(P

)x(Px

x

1 n

1 n 1

′

−

=

p[k]=p[k 1]*x0+a[k];

d[k]=d[k 1]*x0+p[k 1];

}x1=x0 p[n]/d[n];

e2=fabs(x1 x0);

if (e2>e1)x0=x1;

ph i tìm các giá tr đ c bi t s*và p* đ cho bn 1và bn tri t tiêu Khi đó r1(x)= 0

và nghi m c a tam th c x2 s*x + p*x s là nghi m c a đa th c Pn(x) Ta bi t

s

(

g

0)p