Giáo trình phương pháp tính chương 3

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chương 3.1 Tính gần đạo hàm + Ta biểu diễn hàm f(x) đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x) đa thức nội suy (đa thức nội suy tiện lợi spline bậc 3); Tiếp theo ta tính gần đạo hàm f ’(x) đa thức nầy: f’(x) = P’(x) + Ta áp dụng khai triển Taylor: f(x + h) = f(x) + h f’(x) + h2 f”(c), với c = x + θh, < θ < 2! f (x + h) − f (x ) h 3.2 Tính gần tích phân xác định 3.2.1 Công thức hình thang: f’(x) ≈ Từ ta tính được: Trong khoảng chia (i,i+1), đường cong Mi, Mi+1 xấp xỉ thành đường thẳng Đối với tích phân thứ (i + 1), ta có: x i +1 ∫ f ( x )dx = h xi yi + yi +1 Với xi = a + ih, h = b−a , n i = 1, 2, , n; a = x0 , b = xn b x1 x2 xn a x0 x1 x n −1 I= ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx h [(y + y1 ) + (y1 + y ) + + (y n−1 + y n )]  y + yn  + y1 + y + + y n −1  IT ≅ h    IT ≅ Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 14 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Sai số: I - IT  ≤ Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật M h ( b − a ) , với M = max f”(x), a ≤ x ≤ b 12 3.2.2 Công thức Simson Bây mổi đoạn cong Mi, Mi+1 xấp xỉ đường cong bậc hai, qua ba giá trị yi, yi+1 giá trị y x = (xi + xi+1)/2, có nghĩa chia [a,b] thành 2n đoạn nhau,bởi điểm chia xi: a = x0 < x1 < x2 < < x2n =b, nghĩa là: xi = a +ih Với h = (b – a)/2n, với: i = 0, 1,2,….,2n Dùng đa thức nội suy bậc xấp xỉ theo Newton, ta có công thức tính gần tích phân theo Simson: x2 ∫ x2 ∫ f ( x ) dx ≈ x0 p ( x ) dx = + t∆ y + x0 x2 ∫ h( y h ∫ f ( x)dx ≅ ( y t ( t + 1) ∆ y ) dt + y1 + y ) x0 Tổng quát : x2i+ ∫ f ( x ) dx ≅ x2i h (y 2i + y i+1 + y 2i+ ) Vậy: b ∫ f ( x ) dx ≅ a I ≅ h [( y + y + y ) + ( y + y + y ) + + ( y n − + y n −1 + y n )] h [( y + y n ) + ( y + y + + y n −1 ) + ( y + y + + y n − )] Sai số: I − I S ≤ M h (b − a ) 180 Với: M = max | fiv(x) |, a ≤ x ≤b Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 15 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 3.2.3 Công thức Gauss 3.2.3.1Liên hệ hệ toạ độ tổng thể hệ toạ độ địa phương Trong nhiều trường hợp ta cần tính tích phân số với độ xác cao, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), miền tính toán Ω chia nhỏ thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng miền Do dẫn đến tích phân hàm dạng miền Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể (x,y,z, global coordinate) thông thường xuất biểu thức đại số phức tạp phần tử hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980) Thay vào thực chúng hệ toạ độ địa phương (ξ,η,ζ, local coordinate) hay gọi toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên (normal coordinate hay natural coordinate) đơn giản nhiều [Taig, 1961]; lẽ thuận lợi việc xây dựng hàm nội suy, tích phân số dùng cách thiết lập Gauss-Legendre (phổ biến nhất) Phần tử chiếu η 1→ xi 2→xj 3→ xk vr 0,0 Phần tử thực y Xk 0,1 τ e xi ξ ve Xj 1,0 x Hình 3.3: Biểu thị phần tử chiếu Vr vào phần tử thực Ve Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta viết công thức biến đổi toạ độ cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút sau: x = ∑ N i xi = N1 x1 + N x + N x3 + N x i =1 y = ∑ N j x j = N x1 + N x + N x3 + N x (3.10) j =1 Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút: Bài Giảng Chuyên x =Đề N i xi = N1Pháp x1 + N Tính ∑ Phương x + N x3 i =1 Trang 16 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Ni, Nj hàm dạng hay gọi hàm nội suy (shape function hay interpolation function) y = ∑ N j y j = N y1 + N y + N y (3.11) j =1 Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:  ∂   ∂x ∂y   ∂   ∂ξ   ∂ξ ∂ξ   ∂x        =  =  ∂   ∂x ∂y   ∂   ∂η   ∂η ∂η   ∂y  ∂  ∂    ∂x  −1  ∂ξ  J = ∂     ∂   ∂y   ∂η  Hay: ∂  ∂x  J  ∂  ∂y  (3.12) (3.13) J ma trận Jacobian biến đổi toạ độ Định thức ma trận nầy, det J , phải ước lượng lẽ dùng tích phân biến đổi sau: + Cho phần tử tứ giác tuyến tính: 1 ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dξ dη (3.14) −1 −1 ωe + Cho phần tử tam giác tuyến tính: 1−ξ ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dη dξ ω e (3.15) 0 2 3 4 1 Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 17 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Trong số trường hợp, ví dụ Hình 3.4, phần tử tứ giác có điểm nút, dạng hình học vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định; để có giá trị tốt, hình dạng phần tử cạnh góc cần phải đặn (ví dụ tam giác đều, tứ giác ≡ hình vuông, dạng phần tử lý tưởng) 3.2.3.2 Tích phân số Một số tích phân loại toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo phương pháp PTHH ước lượng giải tích, không thực dụng cho hàm số phức tạp , đặc biệt trường hợp tổng quát (ξ ,η ) toạ độ cong Trong thực hành (3.14), (3.15) ước lượng số, gọi tích phân số (numerical integration hay gọi numerical quadrature) Dùng tích phân số Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai chiều ta có: 1 ∫∫ f (ξ ,η )dξdη ≅ ∑∑ wi w j f (ξ i ,η j ) n −1 −1 n (3.16) i =1 j =1 Với phần tử tam giác: 1−ξ ∫∫ 0 f (ξ ,η )dηdξ ≅ ( n wi f ξ i ,η i ∑ i =1 ) (3.17) Với phần tử tứ giác wi, wj hệ số trọng số ξ i ,η j vị trí toạ độ bên phần tử, cho Bảng (Xem Kopal 1961); với phần tử tam giác, tương tự phần tử tứ giác, điểm tích phân điểm mẫu ( sampling Points), Bảng Thông thường người ta muốn tích phân số đạt độ xác cao, có trường hợp đặc biệt lại không cần thiết tích phân Gauss (3.16), với n = 2, xác hàm f cubic (bậc ), tích phân (3.17), n = 1, xác đa thức f bậc nhất, n = 3, xác đa thức f bậc hai Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác theo công thức (3.17) n ξi 1/ ηi 1/ wi 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 18 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bảng 2: Trọng số điểm tích phân Gauss – Legendre theo công thức (3.16) Điểm tích phân ξ i 0.0000000000 ± 0.5773502692 0.0000000000 ± 0.7745966692 ± 0.3399810 435 ± 0.8611363116 0.0000000000 ± 0.5384693101 ± 0.9061798459 ± 0.2386191861 ± 0.6612093865 ± 0.9324695142 Số điểm tích phân r Một điểm Hai điểm Ba điểm Bốn điểm Năm điểm Sáu điểm Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trọng số wi 2.0000000000 1.0000000000 0.8888888889 0.5555555555 0.6521451548 0.3478548451 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850 0.4679139346 0.3607615730 0.1713244924 Trang 19