Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật NỘI SUY Chương (INTERPOLATION) Trong nhiều toán kỷ thuật, ta phải tìm trị yi điểm xi bên đoạn [a,b], quan hệ giải tích y = f(x) có sẳn phức tạp, cần tìm đạo hàm, tích phân hàm số,.…Khi ta dùng phép nội suy để dễ dàng tính toán mà đảm bảo độ xác theo yêu cầu thực tế 2.1 Đa thức nội suy Lagrange Cho bảng giá trị x y x1 x2 x3 xn y1 y2 y3 yn Cần lập đa thức: y = f(x) có bậc m ≤ n - 1, nhận giá trị yi cho trước ứng với xi : yi = f(xi), với i = 1, 2, 3,… .,n Ký hiệu: ϕ(x) = (x - x1)(x - x2) (x - xn) Ta có đẳng thức: f (x) = + Hay: y1ϕ (x) y ϕ (x) + + (x - x1 )(x1 − x )(x1 − x ) (x1 − x n ) (x − x )(x − x1 )(x − x ) (x − x n ) y n ϕ(x) (x − x n )(x n − x1 )(x n − x ) .(x n − x n −1 ) f(x)= n ∑ k =1 y k ϕ( x ) ϕ ( x k ).( x − x k ) ' Đây đa thức nội suy Lagrange 2.2 Nội suy Newton Giả sử y0 , y1 , y2 , giá trị hàm y = f(x) tương ứng với giá trị cách đối số x0 , x1 , x2 tức là: xK + - xK = ∆xK = const Ký hiệu: y1 - y0 = ∆y0 ; y2 - y1 = ∆y1 ; ; yn - yn - = ∆yn - sai phân cấp sai phân cấp ∆y1 - ∆y0 = ∆2y0 ; ∆y2 - ∆y1 = ∆2y1 ; n n n+1 n n n+1 y1 ; sai phân cấp n + ∆ y1 - ∆ y0 = ∆ y0 ; ∆ y2 - ∆ y1 = ∆ Tiến hành phép liên tiếp, ta nhận được: , ∆2y0 = y2 - 2y1 + y0 ; ∆3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0 ,… ∆ y0 = n n ∑ (−1) K =0 K CnK yn− K Tương tự ta nhận được: y1 = y0 + ∆y0 , y2 = y1 + 2∆y0 + ∆2y0 , y3 = y0 + 3∆y0 + 3∆2y0 + ∆3y0 ,… yn = y0 + n∆y0 + n (n − 1) ∆ y0 + + ∆ny0 2! Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính (1) Trang 10 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Nếu (1) ta xem n là số nguyên dương mà số n = t bất kỳ, ta nhận công thức nội suy Newton: t t ( t − 1) t ( t − 1)( t − 2) ∆ y + + ∆t y ∆ y0 + yt = y0 + ∆y + (2) 1! 2! 3! x n − x0 Do bước tăng ∆x = const, ta xn = x0 + nh, suy n = h x − x0 , vào (2), ta có dạng khác (1) Đặt x = x0 + t.h , suy t = h yn = y0 + x − x0 ( x − x )( x − x − h ) ∆y + ∆ y + h 2!h (3) 2.3 Nội suy SPLINE Phương pháp Spline nội suy cách gắn số đa thức bậc thấp với nhau; nghiên cứu nội suy Spline bậc 3, thường đáp ứng yêu cầu nhiều toán thực tế Hình vẽ bên nội suy điểm cách dùng hàm bậc 3(cubic) f1(x), f2(x), f3(x) Tổng quát có (n + 1) điểm, ta cần n hàm Spline bậc dạng: fi(x) = A1i + A2i x + A3i x2 + A4i x3 , i = 1,2,3, , n Có 4n hệ số Aji xác định theo điều kiện sau: (i) Hàm Cubics phải gặp tất điểm bên trong: có 2n phương trình fi(xi) = yi , i = 1, n ; fi + 1(xi) = yi , i = 0,1, n - (ii) Đạo hàm bậc phải liên tục điểm bên trong, dẫn đến (n – 1) phương trình: f’i(xi) = f’i + 1(xi), i = 1, 2, ,n - (iii) Đạo hàm bậc phải liên tục điểm bên trong, thêm (n – 1) phương trình nữa: f”i(xi) = f”i + 1(xi), i = 1,2, , n-1 (iv) Hai điều kiện cuối dựa vào điểm cuối đường Spline, thường đặt f”1(x0) = f”n(xn) = Sắp xếp lại hàm fi(x), ta cần (n-1) phương trình cần thiết để giải, có dạng: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 11 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật y = fi(x) = = f " ( x i −1 )(x i − x ) f " ( x i )(x − x i −1 ) y i −1 f " ( x i −1 )∆x i + + − ∆ 6∆x i 6∆x i x i y f " ( x i )∆x i (x i − x ) + i − ∆x i (x − x i −1 ) Với ∆xi = xi - xi – 1, với i = 1,2,….,n (dạng sai phân lùi) Đạo hàm phương trình áp dụng điều kiện liên tục đạo hàm bậc ta được: ∆y ∆y ∆xif”(xi - 1) + 2(∆xi + ∆xi + 1).f”(xi) + ∆xi + f”(xi + 1) = − i + i +1 ∆x i ∆x i +1 Với ∆yi = yi – yi-1, với i = 1,2, n - Điều tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ẩn đạo hàm bậc điểm bên đường cong nội suy: " K0 ∆x f ( x ) ( ∆x + ∆x ) " K0 ( ∆x + ∆x ) ∆x ∆x f ( x ) . = K x ( x x ) ∆ ∆ + ∆ M 3 " K 0 2(∆x n −1 + ∆x n ) f ( x n −1 ) ∆y ∆y − ∆x + ∆x ∆y ∆y + − ∆x ∆x M ∆y n −1 ∆y n − ∆x + ∆x n −1 n Giải hệ đại tuyến nầy ta tìm f”(xi), với i = 1,2, , n-1 cộng với hai điều kiện biên đầu: f”(x0) = f”(xn) = 0, đường cong nội suy hoàn toàn xác định 2.4 Phương pháp bình phương cực tiểu (least squares method) Gỉa sử có hai đại lượng x y có liên hệ phụ thuộc nhau, theo dạng biết: y = a+b.x, hay y = a+b.x+c.x2, hay y = a.ebx, Nhưng chưa biết giá trị tham số a,b,c Muốn xác định chúng, người ta tìm cách có thí nghiệm, đo đạc, số cặp (xi,yi) áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu (a) Trường hợp y = a + bx Ta có: yi- a- bxi = ε i , với i =1,2, ,n ε i sai số xi Do S = Σ( y i − a − bx i ) tổng bình phương sai số S phụ thuộc a b, xi, yi ta biết Mục đích phương pháp bình phương cực tiểu xác định a b cho Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 12 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Sai số nhỏ nhất: S → Smin Như vậy: ∂S ∂S = =0 ∂a ∂b Ta có hệ phương trình: na + b ∑ x i = ∑ y i a ∑ x i + b ∑ x i = ∑ x i y i Giải hệ tìm a,b Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 13