Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Chương Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 6.1 Mở đầu Nhiều toán khoa học kỹ thuật có phương trình đạo (hệ) phương trình vi phân thường với điều kiện biên điều kiện ban đầu Nghiệm chúng thường áp dụng cho số lớp toán hạn chế; đa số toán phải tìm nghiệm gần Có hai loại toán là: (i) Bài toán Cauchy hay gọi toán giá trị ban đầu, bao gồm (hệ) phương trình vi phân điền kiện ban đầu toán (ii) Bài toán biên, bao gồm (hệ) phương trình vi phân điều kiện biên Để giải gần toán nầy có hai phương pháp là: (a) Phương pháp giải tích: tìm nghiệm gần dạng biểu thức phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp chuổi nguyên, phương pháp tham số bé,… (b) Phương pháp số: tìm nghiệm gần số điểm rời rạc; chia phương pháp bước (như phương pháp Euler, Runghe-Kutta,…) phương pháp đa bước (Adams,…); Với phương pháp bước tính nghiệm gần yi thông qua yi-1 với phương pháp đa bước yi tính thông qua nhiều bước trước đó: yi-1, yi-2, yi-3,… 6.2 Nghiệm gần toán Cauchy phương trình vi phân thường Giả sử ta cần giải toán Cauchy: y' = f ( x , y ) y( x ) = y (6.2.1) Giả sử miền ta xét, hàm f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n, nghiệm cần tìm có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1, ta viết : ∆y = y ( x0 ) − y = ( x − x0 ) y , o + ( x − x0 ) ( x − x0 ) n +1 ( n +1) y"0 + + y + θ ( x − x0 2! (n + 1)! n +1 ) (6.2.2) Ký hiệu x - x0 = h, với h đủ bé ta bỏ qua 0(|x – x0|n+1) θ ( x − x ) n+1 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 33 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Từ (6.2.2) ta có: ∆y0 = y(x0+h) - y0 + hy’0 + h n +1 h2 ( n +1) y0 y"0 + + (6.2.3) (n + 1)! 2! Để tính (6.2.3) ta tính từ (6.2.1): ∂f ∂f + f0 , y’0 = f(x0,y0) = f0 , y”0 = ∂y ∂x m n ∂ ∂mu ∂ K K + f u = ∑ C m f Nói chung ta có: x ∂x m −K ∂y K ∂ ∂y K =0 n hK (K) Vậy ta tính được: y(x) ≅ ∑ y (x ) K! K =0 Trong thực tế cách tính nầy dùng cồng kềnh; ta xét phương pháp giải khác đơn giản 6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica Một phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân (6.2.1) phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica Mục đích phương pháp xây dựng nghiệm cần tìm y= y(x) Từ (6.2.1) ta có: x x x0 x0 x ∫ dy = ∫ f ( t, y )dt ⇒ y(x ) − y(x ) = ∫ f ( t , y )dt x0 x y( x ) = y + ∫ f ( t , y)dt Hay: (6.2.4) x0 ∂f < K ∂y Để tìm xấp xỉ liên tiếp, (6.2.4) thay y y0, ta có xấp xỉ thứ Giả sử f(x,y) hàm liên tục theo x,y nhất: x y1 = y + ∫ f ( t , y )dt , x0 x Tương tự có xấp xỉ thứ hai: y = y + ∫ f ( t , y1 )dt x0 x Tổng quát, ta có: y n = y + ∫ f ( t , y n −1 )dt , với n = 1,2,3,… x0 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 34 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật x Như ta có: y( x ) ≈ y n ( x ) = y + ∫ f ( t , y n −1 )dt x0 lim y n ( x ) = y( x ) n →∞ M (KC) n , f (x, y ) = M Sai số: y n (x ) − y(x ) ≤ K.n! Với: x − x < a ≤ ∞, Ta có: b y − y < b ≤ ∞ , C = a , M ∂f (i) > f(x,y0) > thì: y0 < y1 < y2 < < yn < y(x) ∂y ∂f (ii) > f(x,y0) < thì: y0 > y1 > y2 > > yn > y(x) ∂y Trong hai trường hợp nầy ta có dãy xấp xỉ phía ∂f < xấp xỉ Pica lập thành xấp xỉ phía (iii) ∂y 6.2.2 Phương pháp Euler y y=f(x) A3 A2 ` A1 Ao xo O x1 x2 x x3 Trước hết chia đọan [xo, X] thành n đọan nhỏ: xi=xo+ih, với i = 0,1,2, ,n h= (X − x o ) n Đi xây dựng công thức, dùng khai triển Taylor hàm y=f(x) xi ta có: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 35 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện y(x) = y(x i ) + y′(x i ).(x - x i ) + Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật y′′(ci ) ( x − xi ) 2! Với: ci = xi + θ(x - xi), < θ < Thay x = xi+1 = xi + h, y’(xi) = f(xi,y(xi)) Ta có: y(x i +1 ) = y(x i ) + h.f(xi , y(x i )) + h y′′(c i ) 2! Khi bước chia h bé, số hạng cuối ≅ 0, thay y(xi) ui ta được: ui+1 = ui + hi.f(xi,ui) Biểu thức nầy cho phép tính ui+1 biết ui, với điều kiện ban đầu cho là: uo = η Đánh giá sai số: Định lý: Gỉa sử ∂f ≤ L y '' ≤ K , L, K số, ∂y phương pháp Euler hội tụ sai số ei = ui - y(xi) có đánh giá: e i = u i − y ( x i ) ≤ M ( e + αh ) M = e L ( x −x ) , α = i K 6.2.3 Phương pháp Runghe - Kutta bậc Xét phương trình vi phân: u’ = f(x , u) k = h.f (x i , u i ) k = h.f (x + 0.5h , u + 0.5k ) i i ⇒ ui +1 = ui + (k + 2k + 2k + k ) k = h.f (x i + 0.5h , u i + 0.5k ) k = h.f (x i + h , u i + k ) u i − Y ( x i ) = 0( h ) Với sai số: 6.2.4 Phương pháp Adam Giả sử cần giải phương trình vi phân: Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x0) = y0 Cho biến số thay đổi bước h đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x0) = Y0 phương pháp (ví dụ: phương pháp RungheKutta bậc 4), ta tìm giá trị hàm cần tìm y(x): Y1 = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 36 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện q2, q3 Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Nhờ giá trị x0 , x1 , x2 , x3 Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính q0, q1, Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2), q3 = h.f(x3 , y3), sau ta lập bảng sai phân hữu hạn đại lượng y q x xo y yo x1 y1 ∆y ∆yo q qo ∆q0 q1 ∆y1 x2 ∆q y2 ∆q1 q2 ∆y2 x3 y3 - - - ∆q2 q3 - ∆2q ∆3q ∆2q0 - ∆3q0 ∆2q1 - - - - Biết số đường chéo dưới, ta tìm ∆y3 theo công thức Adam sau: ∆y = q + ∆q + ∆2 q + ∆3 q 12 Tiếp ta có: Y4 = Y3 + ∆Y3 → q4 = h.f(x4, Y4) Sau viết đường chéo sau: ∆q3 = q4 - q3 , ∆2q2= ∆q3 - ∆q2 , ∆3q1 = ∆2.q2 - ∆2.q Đường chéo cho phép ta tính ∆Y4 : ∆Y4 = q4 + 1/2∆q3 + 5/12∆2q2 + 3/8∆3q1 Vì ta có: Y5 = Y4 + ∆Y4 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 37