Giáo trình phương pháp tính chương 8

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Chương Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Như phân tích chương hai, toán có miền hình học phức tạp, xem tập hợp nhiều dạng hình học đơn giản (gọi miền hay phần tử –element); để việc xây dựng hàm xấp xỉ (hay gọi hàm nội suy- interpolation function) miền nầy dễ dàng, hàm xấp xỉ xây dựng cách hệ thống cho hầu hết dạng hình học, hàm xấp xỉ nầy phụ thuộc vào phương trình vi phân, từ hình thành phương pháp phần tử hữu hạn Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán xem tập hợp nhiều miền hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản (simple shape-element) Trên miền nầy, phương trình đạo (governing equation) thiết lập với sử dụng phương pháp biến phân Các phần tử liên kết với phải thoả mãn điều kiện cân liên tục biến phụ thuộc qua biên phần tử 8.1 Các loại phần tử Miền tính toán chia thành nhiều miền (còn gọi phần tử); miền tính toán chiều, ta có phần tử chiều, miền tính toán hai chiều ta có phần tử hai chiều, miền tính toán ba chiều ta có phần tử ba chiều Các loại phần tử chiều Các loại phần tử hai chiều Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 53 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Các loại phần tử ba chiều 8.2 Hàm nội suy Lời giải xấp xỉ ẩn số toán cho bởi: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 54 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện h = n ∑ h j j = N Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật (3.1) j Ở Νj hàm nội suy (interpolation functions) hj ẩn toán nút phần tử Ta mô tả hình dạng phần tử cách dùng toạ độ nút phần tử (xem Hình 3.1): x( p) = n ∑ S j ( p ) x j (3.2a) S j ( p ) y j (3.2b) S j ( p ) z j j=1 y( p) = n ∑ j =1 z( p) = n ∑ j=1 (3.2c) Vì hàm nội suy Sj dùng xác định hình dạng phần tử, nên thường gọi hàm dạng (shape functions) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 55 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Hình 3.1: Hàm nội suy hàm dạng phần tử chiều Bậc đa thức dùng để nội suy hàm dạng bên phần tử khác nhau; người ta phân ba loại sau: Phần tử tham số (subparametric elements) bậc đa thức hàm dạng nhỏ bậc đa thức nội suy Phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) bậc đa thức hàm dạng bậc đa thức nội suy Phần tử tham số (superparametric elements) bậc đa thức hàm dạng lớn bậc đa thức nội suy (xem Hình 3.2) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 56 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Đa số toán thực tế dùng phần tử đẳng tham số hàm dạng đồng với hàm nội suy.Hình 3.2: Minh hoạ định nghĩa loại phần tử chiều tham số, đẳng tham số, tham số Khi nút chứa ẩn số h toán, thường xử dụng hàm nội suy Lagrange (phần lớn hàm nội suy toán chất lỏng xử dụng nội suy Lagrange, giới thiệu nội suy Lagrange ); nút có ẩn số đạo hàm ∂h / ∂xi thường xử dụng hàm nội suy Hermite Hàm nội suy Lagrange xây dựng từ đa thức sau: N k ( x) = ∏ m =0 k ≠m x − xm xk − xm (3.3) Với m số nút xm toạ độ nút thứ m Tính chất hàm nội suy Hàm nội suy có tính chất sau: - Tính chất 1: Hàm nội suy có giá trị nút nút khác - Tính chất 2: Các hàm nội suy thoả biểu thức sau: n ∑ N (ξ ).P (ξ ) = P (ξ ), j = 1,2, n i =1 i j i j (3.4) Với Pj(ξi) đa thức sở hàm nội suy Hàm nội suy xây dựng hệ toạ độ tổng thể (global coordinates) hệ toạ độ địa phương (local coordinates), thông thường với toán phức tạp (nội suy bậc cao toán hai ba chiều) phải sử dụng hàm nội suy toạ độ địa phương 8.2.1 Hàm nội suy cho toán chiều (i) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ tổng thể: N = [N Với N2 ] x −x N1 = B x B− x A (3.5) , N2 = x − xA xB − x A (ii) Nội suy dạng Lagrange bậc hai hệ toạ độ tổng thể: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 57 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật N ≡ [N N N ] N i ( x ) = e α ie + β ie x + γ ie x D 2 α ie = xie x ke − x ke x ej ( Trong : β ie γ ie (3.6) ) ( ) ( ) = (x ) − (x ) = −(x − x ) , D = ∑α e j với i = , , e k e j e k e i =1 e i (iii) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương N ≡ [N N2 ] (3.7a) với: Ni N1   N = (1 − ξ ) (3.7b)   N = (1 + ξ )  2 N2 1.0 -1 ξ (iv) Nội suy bậc hai dạng Lagrange hệ toạ độ địa phương: N ≡ [N N3 ] N2 u1 u2 u3 u1 u2 u3 3 -1 ξ −1 ≤ ξ ≤ vr x1 x2 = x x3 x1 ≤ x ≤ x3 nd = n=3 x1 + x3 v er 1 N = − ξ (1 − ξ ), N = (1 + ξ )(1 − ξ ), N = ξ (1 + ξ ) 2 (3.7c) (v) Nội suy bậc ba dạng Lagrange hệ toạ độ địa phương: N ≡ [N N2 N3 N4 ] u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 4 -1 −1/ / −1 ≤ ξ ≤ vr n=4 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính x1 x2 = nd = x1 + x x3 = x1 + x x2 x1 ≤ x ≤ x v er Trang 58 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật   1   N = − 16 (1 − ξ ) + ξ  − ξ       27 (1 + ξ )(1 − ξ ) − ξ  N = 16 3     N = 27 (1 + ξ )(1 − ξ ) + ξ   16 3    N = −  + ξ  − ξ (1 + ξ )     16    (3.7d ) 8.2.2 Hàm nội suy cho toán hai chiều (i) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ tổng thể cho phần tử tam giác: N ≡ [N N N ] (3.8) đây: với: N1 = ( α ie + β ie x + γ ie y 2A ) (3.8a) i = , 2, hoán vị vòng tròn α i = x j y k − xk y j β i = y j − yk γ i = −(x j − x k ) (ii) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: N = [N N N ] (3.8b) η y u3 u3 3 t u2 n 1 u1 u1 vr ξ u2 n =3 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính x ve n=3 nd = Trang 59 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện với: Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật N1 = − ξ − η, N = ξ , N = η Nếu điểm gốc toạ độ địa phương chọn khác hình sau, hàm nội suy cho phần tử tam giác thay đổi theo: η N = − (ξ + η ) N = (1 + ξ ) N = (1 + η ) ξ -1 - (iii) Nội suy bậc hai hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: η y u5 u5 u6 u6 u4 6 n u4 u3 N = λ (1 − λ ), N = 4ξλ , N = −ξ (1 − 2ξ ), u3 u2 u1 u2 (3.8c) Với: t 5 u1 (iv) (3.8b' ) n=6 ξ x nd = N = 4ξλ N = −η (1 − 2η ) N = 4ηλ λ = 1−ξ −η Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: Hàm dạng: N = [N1 N N N ] Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính (3.8d) Trang 60 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật (1 − ξ )(1 − η ), N = (1 + ξ )(1 − η ), (1 + ξ )(1 + η ) N = (1 − ξ )(1 + η ) N1 = N3 = y η u3 u4 u3 3 u4 ξ u1 u2 v (v) u1 n=4 r n=4 u2 ve x nd = Nội suy bậc hai hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: y η -1 x1 + x etc -1 v ξ x2 = ve nd = r x n =9 4 4 ψ = ξη (ξ − 1)(η − 1), ψ = ξη (ξ + 1)(η − 1) ψ = ξη (ξ + 1)(η + 1) , ψ = ξη (ξ − 1)(ξ + 1) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 61 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ψ = η (1 − ξ )(η − 1) , ψ = ξ (ξ + 1)(1 − η ) 1 2 1 ψ = η − ξ (η + 1) , ψ = ξ (ξ − 1) − η 2 2 ψ = 1− ξ 1−η ( ) ( ( )( ) ) (3.8e) 8.2.3 Hàm nội suy cho toán ba chiều (i) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: z u4 ζ u4 u1 u1 u3 u2 3 η u3 y x u2 ξ vr (ii) n=4 n=4 N1 = − ξ − η − ζ , N3 = η N2 = ξ, N4 = ζ nd = ve (3.9a) Nội suy bậc hai hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: ζ N = −λ (1 − 2λ ) N = 4ξλ N = −ξ (1 − 2ξ ) N = 4ξη η (3.9b) N = −η (1 − 2η ) N = 4ηλ ξ Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 62 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện N = 4ζλ , Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật N = 4ξζ với: N 10 = −ζ (1 − 2ζ ) N = 4ηζ , λ = 1− ξ −η − ζ (iii) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều hình trụ đáy tam giác: z ζ ξ ≥0 η≥0 1−ξ −η ≥ −1≤ ζ ≤ 6 η ζ = −1 ξ 3 y v r n=6 nd = N = λa , N = λb N = ξa , N = ξb ve x (3.9c) Với: N = ηa , N = ηb λ = − ξ − η, a= 1−ζ , b= 1+ζ (iv) Nội suy tuyến tính hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều hình trụ có đáy tứ giác: z ζ −1≤ξ≤1 −1≤η≤1 −1≤ζ ≤1 η y ξ vr n =8 n =8 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính nd = ve x Trang 63 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện N1 = Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật (a b2 c2 ), N = (a1 b2 c ), N = (a1 b1 c2 ) c c c N4 = N7 = (a b1 c1 ) , N = (a b2 c1 ), N = (a1 b2 c1 ) c c c (a1 b1 c1 ) , c Với : N8 = (a b1 c1 ) c (3.9d) a1 = + ξ , a = − ξ b1 = + η , b2 = − η c1 = + ζ , c = − ζ Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 64 [...]... hình trụ có đáy tứ giác: z 8 ζ −1≤ξ≤1 6 5 −1≤η≤1 −1≤ζ ≤1 5 6 3 4 η 4 7 1 2 1 3 y ξ 2 vr n =8 n =8 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính nd = 8 ve x Trang 63 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện N1 = Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 1 (a 2 b2 c2 ), N 2 = 1 (a1 b2 c 2 ), N 3 = 1 (a1 b1 c2 ) c c c N4 = N7 = 1 (a 2 b1 c1 ) , N 5 = 1 (a 2 b2 c1 ), N 6 = 1 (a1 b2 c1 ) c c c 1 (a1 b1 c1 ) , c Với : N8 = 1 (a 2 b1 c1 ) c (3.9d)... N 8 = 4ξζ với: N 10 = −ζ (1 − 2ζ ) N 9 = 4ηζ , λ = 1− ξ −η − ζ (iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều hình trụ đáy tam giác: z ζ 4 ξ ≥0 η≥0 1−ξ −η ≥ 0 −1≤ ζ ≤ 0 6 5 6 4 2 η 1 ζ = −1 1 ξ 3 3 y 3 v 2 r n=6 nd = 6 N 1 = λa , N 4 = λb N 2 = ξa , N 5 = ξb ve x (3.9c) Với: N 3 = ηa , N 6 = ηb λ = 1 − ξ − η, a= 1−ζ , 2 b= 1+ζ 2 (iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương. .. N 5 = 1 (a 2 b2 c1 ), N 6 = 1 (a1 b2 c1 ) c c c 1 (a1 b1 c1 ) , c Với : N8 = 1 (a 2 b1 c1 ) c (3.9d) a1 = 1 + ξ , a 2 = 1 − ξ b1 = 1 + η , b2 = 1 − η c1 = 1 + ζ , c 2 = 1 − ζ Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 64